2024屆四川省瀘州市瀘縣高三數(shù)學（理）仿真模擬試題（一模）含解析

2024屆四川省瀘州市瀘縣高三數(shù)學（理）仿真模擬試題（一模）第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知全集為，集合，，則集合等于（

）A． B． C． D．2．若復數(shù)，為虛數(shù)單位，則的虛部為（

）A． B． C．1 D．23．若，則=（

）A． B． C． D．4．已知，則（

）A． B．0 C． D．5．設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，則()．A．c>b>a B．b>c>aC．a(chǎn)>c>b D．a(chǎn)>b>c6．已知函數(shù)且，則等于（

）A． B． C． D．7．將函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x的圖象向左平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)（

）A．在區(qū)間[0，]上單調(diào)遞增B．最小正周期為C．圖象關(guān)于對稱D．圖象關(guān)于(，0)對稱8．已知兩個平互垂直，有下列命題：①一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線；②一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線；③一個平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個平面；④過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面．其中真命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．49．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．不存在這樣的實數(shù)k10．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當時，，則下列結(jié)論正確的是（

）①的圖象關(guān)于直線對稱；②是周期函數(shù)，且2是其一個周期；③；④關(guān)于的方程（）在區(qū)間上的所有實根之和是12.A．①④ B．①②④ C．③④ D．①②③11．已知球O是正三棱錐（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，，，點E是線段BC的中點，過點E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（

）A． B． C． D．12．已知且，且，且，則（

）A． B．C． D．第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．當時，冪函數(shù)為減函數(shù)，則實數(shù)的值為.14．設(shè)函數(shù)，且的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為，則在區(qū)間上的最大值為15．如圖，圓臺中，，其外接球的球心O在線段上，上下底面的半徑分別為，，則圓臺外接球的表面積為.16．若的面積是外接圓面積的，則．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．已知，且.(1)求的值；(2)若，求的值.18．在中,角、、所對的邊分別為、、已知,且.（1）求的值；（2）若，求周長的最大值.19．已知函數(shù)．（Ⅰ）若是的極值點，確定的值；（Ⅱ）當時，，求實數(shù)的取值范圍．20．如圖1，正方形的邊長為2，分別為的中點，將沿折成如圖2所示的二面角，且二面角的大小為，點在線段上（包含端點）運動，連接．(1)若為的中點，直線與平面的交點為，試確定點的位置，并證明：直線平面；(2)是否存在點，使得直線與平面所成的角為？若存在，求此時的長；若不存在，請說明理由．21．已知函數(shù)f（x）＝ae﹣x+lnx﹣1（a∈R）．(1)當a≤e時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性：(2)若函數(shù)f（x）恰有兩個極值點x1，x2（x1＜x2），且x1+x2≤2ln3，求的最大值．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22．已知曲線C：(α為參數(shù))和定點A(0,)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是此曲線的左、右焦點，以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求直線AF2的極坐標方程；(2)經(jīng)過點F1且與直線AF2垂直的直線l交曲線C于M，N兩點，求||MF1|－|NF1||的值．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若對于任意實數(shù)x，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．1．B【分析】先計算，再計算.【詳解】，，，故選：B．2．C【分析】由共軛復數(shù)的定義和復數(shù)虛部的定義求解.【詳解】復數(shù)，則，的虛部為1.故選：C3．C【分析】運用整體代換的思想，找出已知角與所求角之間的關(guān)系，根據(jù)誘導公式即可求解.【詳解】.故選：C.4．A【分析】由弦切互化可得，進而由余弦的二倍角公式以及齊次式的計算即可求解.【詳解】由可得，故，故選：A5．D【詳解】試題分析：，，；且；.考點：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.6．A【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式及求出，再計算即可得解.【詳解】若，則，即，無解；若，則，即，解得，所以，故選：A7．C根據(jù)輔助角公式可得，再由三角函數(shù)圖象的平移變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】，其圖象向左平移個單位長度，可得，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間[0，]上不單調(diào)，故A不正確；最小正周期為，故B不正確；當時，，即，故C正確、D不正確；故選：C8．A【分析】根據(jù)兩個平面垂直的定義、性質(zhì)判斷．【詳解】對于①，當兩個平面垂直時，一個平面內(nèi)的不垂直于交線的直線不垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線，故①是假命題．對于②，設(shè)兩個相互垂直的平面為，平面平面．∵平面平面，∴當時，必有，而，∴，而在平面內(nèi)與l平行的直線有無數(shù)條，這些直線均與n垂直，故一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，即②是真命題．對于③，當兩個平面垂直時，一個平面內(nèi)的任意一條直線不一定垂直于另一個平面，象上圖中平面內(nèi)與不平行的直線與平面不垂直，故③是假命題．對于④，當兩個平面垂直時，過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，若該直線不在第一個平面內(nèi)，則此直線不一定垂直于另一個平面，故④是假命題．故選：A．9．B【分析】利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及一元二次方程的根進行求解.【詳解】由題意得，在區(qū)間上至少有一個實數(shù)根，又的根為，且在或兩側(cè)異號，而區(qū)間的區(qū)間長度為2，故只有2或-2在區(qū)間內(nèi)，∴或，∴或，故A，C，D錯誤.故選：B.10．A【分析】由對稱性判斷①，由周期性判斷②，周期性與奇偶性、單調(diào)性判斷③，作出函數(shù)的大致圖象與直線，由它們交點的性質(zhì)判斷④．【詳解】由可知的圖象關(guān)于直線對稱，①正確；因為是奇函數(shù)，所以，所以，所以是周期函數(shù)，其一個周期為4，但不能說明2是的周期，故②錯誤；由的周期性和對稱性可得.又當時，，所以在時單調(diào)遞增，所以，即，③錯誤；又時，，則可畫出在區(qū)間上對應(yīng)的函數(shù)圖象變化趨勢，如圖易得（）即（）在區(qū)間上的根分別關(guān)于1，5對稱，故零點之和為，④正確.故選：A.本題考查函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性，考查函數(shù)的零點，掌握函數(shù)的基本性質(zhì)是解題基礎(chǔ)．函數(shù)零點問題常用轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．11．A【分析】如圖，是在底面的射影，求出底面外接圓的半徑和幾何體外接球的半徑，當截面垂直于時截面面積最小，求出截面圓的半徑即得解.【詳解】如圖：

是在底面的射影，由正弦定理得，的外接圓半徑.由勾股定理得棱錐的高設(shè)球的半徑為，則，解得，所以，即與重合，所以當過點E作球O的截面垂直于時，截面面積最小，此時截面半徑為，截面面積為.故選：A.12．A【分析】可設(shè)，利用導數(shù)說明其單調(diào)性，依題意可得，，，從而得出，根據(jù)題意可知，，，這樣即可得出，，的大小關(guān)系．【詳解】解：記，有，所以當時，當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因為且，且，且即，，即，，，則，，，，，，，，．故選：．13．2【分析】根據(jù)給出的函數(shù)為冪函數(shù)，由冪函數(shù)概念知，再根據(jù)函數(shù)在上為減函數(shù)，得到冪指數(shù)應(yīng)該小于0，求得的值應(yīng)滿足以上兩條.【詳解】解：因為函數(shù)既是冪函數(shù)又是上的減函數(shù)，所以，解得.故2.本題考查了冪函數(shù)的概念及性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是掌握冪函數(shù)的定義，此題極易把系數(shù)理解為不等于0而出錯，屬基礎(chǔ)題.14．【分析】先化簡，根據(jù)題意可得到繼而求出，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求得的取值范圍，即可得到答案【詳解】解：，因為的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為，所以即所以即，，所以，因此，則在區(qū)間上的最大值為1，故115．【分析】列出外接球半徑所滿足的方程，解出半徑，得外接球表面積.【詳解】設(shè)外接球半徑為R，則，解得，所以外接球表面積為，故答案為.16．##【分析】由正弦定理表示外接圓的面積，由的面積是外接圓面積的得出，又，化簡即可得出結(jié)果.【詳解】由正弦定理得，則，又的面積是外接圓面積的，所以，即..故答案為.17．(1)(2)【分析】（1）由誘導公式結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系運算求解；（2）由題意構(gòu)造角，結(jié)合兩角和差公式可得，再結(jié)合倍角公式和誘導公式運算求解.【詳解】（1）由題意可得：,即，又因為，則，所以.（2）因為,則，又因為，則,可得,所以.18．（1）；（2）.【分析】（1）由已知式子和三角函數(shù)公式可得，進而得到的值；（2）由可得，利用基本不等式可求出的最大值，即可求出周長的最大值.【詳解】解：（1）由,得,由正弦定理，得,由余弦定理，得，整理得，因為,所以，所以.（2）在中,,由余弦定理得，,因為,所以,即,所以,當且僅當時，等號成立.故當時，周長的最大值.19．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）求導，根據(jù)得到答案.（Ⅱ），討論，，三種情況，計算得到答案.【詳解】（Ⅰ）的定義域為，，由題意.若，則，當時，；當時，.所以是極大值點，故．（Ⅱ），①若，則，在上單調(diào)遞增，，滿足題意．②若，則當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；此時當時，，不合題意.③若，則時，，單調(diào)遞減.，不合題意.綜上可知，當，時，，故.本題考查了函數(shù)的極值點問題，恒成立問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵.20．(1)點在平面與平面的交線（即直線）上，證明見解析(2)存在，或．【分析】（1）延長，交于點，利用求的長，利用線線平行證明線面平行；（2）求出和平面的法向量，利用空間向量法求解即可.【詳解】（1）因為直線平面，故點在平面內(nèi)，也在平面內(nèi)，所以點在平面與平面的交線即直線上，延長，交于點，連接，如圖所示．因為，為的中點即，所以，所以，．故點在的延長線上且與點的距離為2．連接交于點，因為四邊形為矩形，所以是的中點．連接，則為的中位線，所以，又平面，平面，所以直線平面．（2）如圖由已知可得，，又，所以平面，由于平面，所以平面平面,又因為且，所以為等邊三角形，取的中點，連接，則，因為平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則所以，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則解得，要使直線與平面所成的角為，則，解得或，所以存在點，使得直線與平面所成的角為,此時或.21．(1)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；(2)3【分析】(1)求導得，當a≤0時，恒成立；當0＜a≤e時，令g′（x）＝ex﹣a，分析g（x）單調(diào)性結(jié)合取值得，進而可得結(jié)論.(2)函數(shù)f（x）恰有兩個極值點x1，x2得，故令，則，，構(gòu)造結(jié)合導數(shù)分析單調(diào)性，再判斷最值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），，當a≤0時，恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當0＜a≤e時，令，則ex﹣ax＝0，設(shè)g（x）＝ex﹣ax，則，易知，當0＜x＜lna時，，g（x）單調(diào)遞減，當x＞lna時，，g（x）單調(diào)遞增，∴g（x）≥g（lna）＝elna﹣alna＝a（1﹣lna）≥0，∴，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；綜上，當a≤e時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；（2）依題意，，則，兩式相除得，，設(shè)，則t＞1，x2＝tx1，，∴，，∴，設(shè)，則，設(shè)，則，∴在（1，+∞）單調(diào)遞增，則，∴，則h（t）在（1，+∞）單調(diào)遞增，又x1+x2≤2ln3，即h（t）≤2ln3，h（3）＝2ln3，∴t∈（1，3]，即的最大值為3．思路點睛：對于帶參函數(shù)討論單調(diào)性的問題，一般在求導后結(jié)合對參數(shù)分類討論進行分析；導數(shù)問題中帶有不等式求范圍或最值問題，一般先根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為它的等價條件，結(jié)合式子特征構(gòu)造合適的函數(shù)，再求導結(jié)合單調(diào)性分析最值.22．（1）ρcosθ＋ρsinθ＝;（2）.（1）先將曲線C參數(shù)方程化為普通方程，求出F2點坐標，進而求出直線AF2的直角坐標方程，再化為極坐標方程；（2）根據(jù)條件求出具有幾何意義的直線l參數(shù)方程，代入曲線C的普通方程，運用韋達定理和直線參數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】(1)曲線C：可化為，故曲線C為橢圓，則焦點F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)．所以經(jīng)過點A(0，)和F2(1，0)的直線AF2的方程為x＋＝1，即x＋y-＝0，所以直線AF2的極坐標方程為ρcosθ＋ρsinθ＝.(2)由(1)知，直線AF2的斜率為-，因為l⊥AF2，所以直線l的斜率為，即傾斜角為30°，所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，代入橢圓C的方程中，得13t2－t－36＝0.因為點M，N在點F1的兩側(cè)