人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第一冊(cè))同步講義第07講 拓展一：異面直線所成角（含解析）

第07講拓展一：異面直線所成角（傳統(tǒng)法與向量法）一、知識(shí)點(diǎn)歸納1、（傳統(tǒng)法）核心技巧：平移使相交具體操作，通過平移一條（或2條），使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在三角形中利用余弦定理求角2、（向量法）用向量運(yùn)算求兩條直線所成角已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩異面直線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的任意兩點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0.二、題型精講題型01求異面直線所成角（定值）(傳統(tǒng)法）【典例1】（2023春·河北保定·高一定州市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）在平行六面體SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】取DM中點(diǎn)K，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，

因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0或其補(bǔ)角.因?yàn)榈酌鍿KIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，利用余弦定理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，利用余弦定理得SKIPIF1<0，所以異面直SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：B.【典例2】（2023春·河北張家口·高一河北省尚義縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值為（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，延長(zhǎng)SKIPIF1<0至點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0,，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角或其補(bǔ)角，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得，SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：D【典例3】（2023春·河南開封·高一河南省杞縣高中?？茧A段練習(xí)）正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為______．

【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】在正方體SKIPIF1<0右側(cè)作出一個(gè)全等的正方體SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖，

易知SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的平面角或補(bǔ)角，不妨設(shè)正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式1】（2023春·吉林四平·高一?？茧A段練習(xí)）在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將三棱柱SKIPIF1<0補(bǔ)成長(zhǎng)方體SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0或其補(bǔ)角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，因此，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：D.【變式2】（2023春·河南鄭州·高一河南省新鄭市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，SKIPIF1<0是半圓柱底面的直徑，SKIPIF1<0是半圓柱的高，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為________．

【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，如圖，取PC的中點(diǎn)E，連接DE，AE，可得SKIPIF1<0，所以異面直線AD與BC所成的角為SKIPIF1<0（或其補(bǔ)角）．又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面PAC，所以SKIPIF1<0平面PAC．且SKIPIF1<0平面PAC，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.

題型02求異面直線所成角（定值）(向量法）【典例1】（2023春·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】如圖，以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：B.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解法一

如圖，設(shè)O，C，D分別為線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角或其補(bǔ)角.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：D.解法二

如圖，設(shè)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，M（0，0，3），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選:D.【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在多面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是正方形，則SKIPIF1<0______；異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為______．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】由四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0為正三角形，設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，因?yàn)樗倪呅蜝EFG是正方形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；設(shè)異面直線AG與DE所成角為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以異面直線AG與DE所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【變式1】（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知正方體SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是正方形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中心，則SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B【變式2】（2023春·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)?？计谥校┤鐖D，圓柱的軸截面為矩形SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在上、下底面圓上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】方法一

如圖（1），在SKIPIF1<0上取點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．易知四邊形SKIPIF1<0為矩形，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或其補(bǔ)角是異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：D．方法二

如圖（2），在SKIPIF1<0上取點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．易知四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0．由已知條件，得SKIPIF1<0為圓柱的一條母線．以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸建立如圖（2）的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0．故選：D．【變式3】（2023春·浙江·高一期中）已知直三棱柱SKIPIF1<0的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點(diǎn)，那么異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值等于________．【答案】SKIPIF1<0/0.7【詳解】因?yàn)橹比庵鵖KIPIF1<0的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，所以SKIPIF1<0為等邊三角形，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如圖，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)橹比庵鵖KIPIF1<0的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型03易錯(cuò)題型求異面直線所成角忽略角的取值范圍【典例1】（2023春·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0=λSKIPIF1<0，若異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0的余弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】如圖，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，則A1（2，0，2），D1（0，0，2），E（0，2，1），A（2，0，0）.所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去SKIPIF1<0）,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，故cosθ=SKIPIF1<0，

故選：B.【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考階段練習(xí)）正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】如圖，建立空間直接坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，易知，A(2，0，0)，E(0，1，2)，C(0，2，0)，F(xiàn)(2，2，1)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0<SKIPIF1<0>=SKIPIF1<0.因?yàn)楫惷嬷本€AE與FC所成角為銳角.所以異面直線AE與FC所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故A，B，C錯(cuò)誤.故選：D.【變式1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）如圖，將SKIPIF1<0的菱形SKIPIF1<0沿對(duì)角線SKIPIF1<0折起，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】如圖，取BD中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：SKIPIF1<0.【變式2】（2023秋·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為正三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正三角形，故以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值等于SKIPIF1<0.故選：A.題型04求異面直線所成角（最值或范圍）【典例1】（2023·遼寧大連·?？寄M預(yù)測(cè)）有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的余弦值的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】將半正多面體補(bǔ)成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)榘胝嗝骟w的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，故正方體的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的余弦值的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：C【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<02，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在上底面SKIPIF1<0上，且滿足三棱錐SKIPIF1<0的體積等于1，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正切值的最小值為_________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0所以點(diǎn)P到平面BFE的距離SKIPIF1<0SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的高為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去)，設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0最小，此時(shí)SKIPIF1<0最小，因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即直線CP與SKIPIF1<0所成角的正切值的最小值為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正四面體SKIPIF1<0內(nèi)接于半徑為SKIPIF1<0的球SKIPIF1<0中，在平面SKIPIF1<0內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是______；直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的取值范圍為______.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【詳解】在正四面體SKIPIF1<0中，設(shè)A在面SKIPIF1<0內(nèi)的投影為E，故E為三角形SKIPIF1<0的中心，設(shè)正四面體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為x，球O的半徑為R，則SKIPIF1<0，依題意正四面體SKIPIF1<0內(nèi)接于半徑為SKIPIF1<0的球SKIPIF1<0中，故球心O在SKIPIF1<0上，設(shè)球的半徑為R,則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去），則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故P的軌跡為平面SKIPIF1<0內(nèi)以E為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，而SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，且P在SKIPIF1<0之間時(shí)，SKIPIF1<0最小，最小值是SKIPIF1<0；以E為圓心，SKIPIF1<0所在直線為x軸，在底面SKIPIF1<0內(nèi)過點(diǎn)E作SKIPIF1<0的垂線為y軸，SKIPIF1<0為z軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,設(shè)直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.【變式1】（2023春·江蘇南京·高二?？奸_學(xué)考試）如圖，四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．現(xiàn)將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，當(dāng)二面角SKIPIF1<0處于SKIPIF1<0過程中，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】設(shè)向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角大小為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點(diǎn)E，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)橹本€夾角范圍為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值范圍是SKIPIF1<0．故選：D．【變式2】（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0為底面SKIPIF1<0的中心，點(diǎn)SKIPIF1<0在側(cè)面SKIPIF1<0的邊界及其內(nèi)部移動(dòng)，若SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值的最大值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在側(cè)面SKIPIF1<0內(nèi)取一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0易知三角形SKIPIF1<0為直角三角形，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，對(duì)稱軸為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0故選：C【變式3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0兩兩垂直，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，記直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的所成角的余弦值的取值范圍為_____________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0兩兩垂直，且SKIPIF1<0，所以由勾股定理可知SKIPIF1<0，所以三棱錐為正三棱錐，記SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0內(nèi)的投影為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心半徑為SKIPIF1<0的圓，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的所成角為SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.題型05已知線線角求參數(shù)【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且底面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)運(yùn)動(dòng)（不與SKIPIF1<0重合），且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為___________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0為菱形，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方向分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，易知平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，點(diǎn)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且四邊形SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成銳二面角的余弦值；（2）點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角最小時(shí)，求線段SKIPIF1<0的長(zhǎng).【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】試題分析：以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．（1）因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以是平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，．因?yàn)镾KIPIF1<0．設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，從而SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成二面