管理運籌學第九章 目標規(guī)劃

管理運籌學第九章目標規(guī)劃目標規(guī)劃問題舉例有優(yōu)先權的目標規(guī)劃的圖解法復雜情況下的有優(yōu)先權的目標規(guī)劃加權目標規(guī)劃本章內容1234目標規(guī)劃問題舉例有優(yōu)先權的目標規(guī)劃的圖解法復雜情況下的有優(yōu)先權的目標規(guī)劃加權目標規(guī)劃本章內容1234§1目標規(guī)劃問題舉例例2商務活動企業(yè)在進行盈虧平衡預算時，不能只集中在一種產品上，需要用多產品的盈虧分析來解決具有多個盈虧平衡點的決策問題（多產品的盈虧平衡點往往是不一致的）。例1企業(yè)生產不同企業(yè)的生產目標是不同的。但隨著環(huán)境問題的日益突出，可持續(xù)發(fā)展已成為全社會必須考慮的問題。因此，企業(yè)生產必須承擔起社會責任，考慮環(huán)境污染、社會效益、公眾形象等多個方面。§1目標規(guī)劃問題舉例

例3投資企業(yè)投資時不僅僅要考慮收益率，還要考慮風險。通常，風險大的投資收益率更高。因此，企業(yè)管理者只有在對收益率和風險承受水平有明確的期望值時，才能得到滿意的決策。例4裁員企業(yè)裁員時要考慮很多可能彼此矛盾的因素。裁員的首要目的是壓縮人員開支，但忠誠度就很難保證,員工的心理壓力、工作壓力等都會增加，可能產生負面影響。例5營銷營銷方案的策劃和執(zhí)行存在多個目標。既希望能達到立竿見影的效果，又希望營銷的成本控制在某一個范圍內。目標規(guī)劃問題舉例有優(yōu)先權的目標規(guī)劃的圖解法復雜情況下的有優(yōu)先權的目標規(guī)劃加權目標規(guī)劃本章內容1234§2有優(yōu)先權的目標規(guī)劃的圖解法

例6一位投資商有一筆資金準備購買股票。資金總額為90000元，目前可選的股票有A和B兩種（可以同時投資于兩種股票）。其價格以及年收益率和風險系數(shù)如所示。

股票價格/元年收益/（元/年）風險系數(shù)A2030.5B5040.2A股票的收益率為（3/20）×100%=15%，股票B的收益率為4/50×100%=8%，A的收益率比B大，但同時A的風險也比B大。這也符合高風險高收益的規(guī)律。 試求一種投資方案，使得一年的總投資風險不高于700，且投資收益不低于10000元。§2有優(yōu)先權的目標規(guī)劃的圖解法

兩個目標變量：限制風險、確保收益。 假設目標限制風險的優(yōu)先權比目標確保收益大，必須首先滿足第一個目標，再盡量滿足第二個目標。建立模型： 設x1、x2

分別表示投資商所購買的A股票和B股票的數(shù)量。資金總額的約束：總投資額不能高于90000元。即20x1+50x2≤90000。

注意：資產總額的約束是剛性約束，是不允許突破的?！?有優(yōu)先權的目標規(guī)劃的圖解法

風險約束：總風險不能超過700。投資的總風險0.5x1+0.2x2。引入兩個變量d1+和d1?，等式如下。

d1+表示總風險高于700的部分，d1?表示總風險少于700的部分，d1+

，d1?≥0。 把d1+和d1?這樣的變量稱為偏差變量。偏差變量的作用是允許約束條件不被精確滿足。0.5x1+0.2x2=700+d1+?d1?一、約束條件§2目標規(guī)劃的圖解法

等式轉換可得

0.5x1+0.2x2?d1++d1?=700。年收入約束：年收入=3x1+4x2

引入變量d2+和d2?，分別表示年收入超過與低于10000的數(shù)量。第2個目標可表示為3x1+4x2?d2++d2?=10000§2有優(yōu)先權的目標規(guī)劃的圖解法

二、有優(yōu)先權的目標函數(shù)

本問題中目標較高的優(yōu)先權為P1，目標較低的優(yōu)先權為P2。 針對每一個優(yōu)先權，建立一個單一目標的線性規(guī)劃模型。首先建立具有最高優(yōu)先權的目標的線性規(guī)劃模型，求解；然后按優(yōu)先權逐漸降低的順序分別建立單一目標的線性規(guī)劃模型，方法是在原來模型的基礎上修改目標函數(shù)，并把原來模型求解所得的目標最優(yōu)值作為一個新的約束條件加入到當前模型中，并求解?！?有優(yōu)先權的目標規(guī)劃的圖解法

三、圖解法

1．針對優(yōu)先權最高的目標建立線性規(guī)劃20x1＋50x2≤900000.5x1

+0.2x2?d1++d1-=7003x1+4x2?d2++d2-=10000x1,x2,d1+

,d1-≥0建立線性規(guī)劃模型如下：Mind1+；s.t.§2有優(yōu)先權的目標規(guī)劃的圖解法當d1+=d1-=0時，約束條件0.5x1

+0.2x2?d1++d1-=700變?yōu)?.5x1

+0.2x2=700；約束條件3x1+4x2?d2++d2-=10000暫時不起作用?！?有優(yōu)先權的目標規(guī)劃的圖解法

2．針對優(yōu)先權次高的目標建立線性規(guī)劃優(yōu)先權次高（P2）的目標是總收益超過10000。

建立線性規(guī)劃如下：mind2-s.t.

20x1＋50x2≤900000.5x1

+0.2x2?d1++d1-=7003x1+4x2?d2++d2-=10000

d1+＝0x1,x2,d1+

,d1-,d2+,d2-≥0

把第一步求得的d1+＝0作為約束條件放到這個線性規(guī)劃中?！?有優(yōu)先權的目標規(guī)劃的圖解法§2有優(yōu)先權的目標規(guī)劃的圖解法3x1+4x2

=10000直線的左下方區(qū)域中d2->0,右上方區(qū)域中d2-=0，可得d2-最小值，但該區(qū)域和陰影部分無重合，接受d2->0的解。陰影區(qū)域中d2-最小的點即直線0.5x1

+0.2x2=700和20x1＋50x2=90000的交點（810,1476），總風險為700，總收益為3×810+4×1476=2430+5904=8334<10000故沒有達到第二個目標。本例中，優(yōu)先權高的目標實現(xiàn)了，并付出了優(yōu)先權低的目標沒有實現(xiàn)的代價。如果采用“管理運籌學”軟件進行求解，可知d1+=d1-=0,d2+=0,d2-≈1667?！?有優(yōu)先權的目標規(guī)劃的圖解法

求解方法： （1）確定解的可行區(qū)域。 （2）對優(yōu)先權最高的目標求解，如果找不到能滿足該目標的解，則尋找最接近該目標的解。 （3）對優(yōu)先權次之的目標進行求解。注意：必須保證優(yōu)先權高的目標不變。 （4）重復第3步，直至所有優(yōu)先權的目標求解完?！?有優(yōu)先權的目標規(guī)劃的圖解法四、目標規(guī)劃模型的標準化

例6中對兩個不同優(yōu)先權的目標單獨建立線性規(guī)劃進行求解。為簡便，把它們用一個模型來表達：

20x1＋50x2≤900000.5x1

+0.2x2?d1++d1-=7003x1+4x2?d2++d2-=10000x1,x2,d1+

,d1-,d2+,d2-≥0

minP1（d1+）+P2（d2-）s.t.目標規(guī)劃問題舉例有優(yōu)先權的目標規(guī)劃的圖解法復雜情況下的有優(yōu)先權的目標規(guī)劃加權目標規(guī)劃本章內容1234§3復雜情況下的有優(yōu)先權的目標規(guī)劃

例7．一工藝品廠商生產某兩種工藝品A、B，生產產品A需要耗費人力2工時/件，生產產品B需要耗費人力3工時/件。A、B產品的單位利潤分別為250元和125元。為了最大效率地利用人力資源，確定生產的首要任務是保證人員高負荷生產，要求每周總耗費人力資源不能低于600工時，不能超過680工時的極限；次要任務是要求每周的利潤超過70000元；在前兩個任務的前提下，要求每周產品A和B的產量分別不低于200和120件，B產品比A產品更重要，假設B完成最低產量120件的重要性是A完成200件的重要性的2倍。 試求如何安排生產？

解：

該問題中3個不同優(yōu)先權的目標，用P1、P2、P3

表示從高至低的優(yōu)先權。

P1

有兩個目標：每周總耗費人力資源不能低于600工時，也不能超過680工時；

P2

有一個目標：每周的利潤超過70000元；

P3

有兩個目標：每周產品A和B的產量分別不低于200和120件。

§3復雜情況下的有優(yōu)先權的目標規(guī)劃

采用簡化模式，得目標線性規(guī)劃如下：

§3復雜情況下的有優(yōu)先權的目標規(guī)劃x1，x2，d1+,

d1-,d2+,d2-,d3+,d3-,d4+,d4-,d5+,d5-≥0

minP1(d1+)+P1(d2-)+P2(d3-)+P3(d4-)+P3(2d5-)s.t.

2x1+3x2-d1++d1-=680,

對應第1個目標，2x1+3x2-d2++d2-=600,對應第2個目標，250x1+125x2-d3++d3-=70000,對應第3個目標，x1-d4++d4-=200,對應第4個目標，x2-d5++d5-=120,對應第5個目標，化解多步線性規(guī)劃問題求解

§3復雜情況下的有優(yōu)先權的目標規(guī)劃x1,x2,d1+,d1?,d2+,d2?,d3+,d3?,d4+,d4?,d5+,d5?≥0

首先考慮P1，建立線性規(guī)劃模型mind1++d2?s.t.2x1+3x2-d1++d1-=680,2x1+3x2-d2++d2-=600,250x1+125x2-d3++d3-=70000,x1-d4++d4-=200,x2-d5++d5-=120,求解可得x1=0，x2=200，d1+=0，d1-=80，

d2+=0，d2-=0，d3+=0，d3-=45000d4+=0，d4-=200，d5+=80，d5-=0,目標函數(shù)d1++d1-=0。

再考慮P2，把前一個線性規(guī)劃目標函數(shù)得到的最優(yōu)值作為新增約束條件，建立線性模型如下:mind3?;

§3復雜情況下的有優(yōu)先權的目標規(guī)劃

s.t.2x1+3x2-d1++d1-=680,2x1+3x2-d2++d2-=600,250x1+125x2-d3++d3-=70000,x1-d4++d4-=200,x2-d5++d5-=120,d1++d1-=0

x1,x2,d1+,d1?,d2+,d2?,d3+,d3?,d4+,d4?,d5+,d5?≥0求解可得，x1=270，x2=20，d1+=0，d1?=80，d2+=d2?=0，

d3+=d3?=0，d4+=70，d4?=0，d5+=0，d5?=100，目標函數(shù)d3?=0?！?復雜情況下的目標規(guī)劃

類似地，對P3建立對應的線性規(guī)劃模型（把上一優(yōu)先權的目標函數(shù)最優(yōu)值作為新增約束條件），模型如下：

mind4?+2d5?s.t.2x1+3x2-d1++d1-=680,2x1+3x2-d2++d2-=600,250x1+125x2-d3++d3-=70000,x1-d4++d4-=200,x2-d5++d5-=120,d1++d1-=0,d3-=0，

x1,x2,d1+,d1?,d2+,d2?,d3+,d3?,d4+,d4?,d5+,d5?≥0

目標1、目標2、目標3和目標4達到了，但目標5有些偏差。

§3復雜情況下的有優(yōu)先權的目標規(guī)劃求解可得：

x1=250，x2=60，d1+=0，d1?=0，d2+=80,d2?=0，

d3+=0,d3?=0，d4+=50，d4?=0，d5+=0，d5?=60，目標函數(shù)

d4?+2d5?=120。使用“管理運籌學軟件”可求得以上結果，在目標規(guī)劃子模型中輸入目標規(guī)劃的數(shù)據(jù)即可，相關輸入方法和注意事項可以參考教科書第211頁。目標規(guī)劃問題舉例有優(yōu)先權的目標規(guī)劃的圖解法

復雜情況下的有優(yōu)先權的目標規(guī)劃加權目標規(guī)劃本章內容1234§4加權目標規(guī)劃

加權目標規(guī)劃是通過量化方法分配給每個目標偏離嚴重程度的一個罰數(shù)權重，建立總的目標函數(shù)，使得每個目標函數(shù)與各自目標的加權偏差之和最小。例7中對每周總耗費的人力資源超過680工時或低于600工時的每工時罰數(shù)權重定為7；每周利潤低于70000元時，每元的罰數(shù)權重為5；每周產品A產量低于200件時