2021年山西省晉中市祁縣中學高考數(shù)學模擬試卷（理科）（4月份）（附答案詳解）

2021年山西省晉中市祁縣中學高考數(shù)學模擬試卷（理科）

（4月份）

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合4={xeZ|x>-1},集合B={Y|log2%<2},則AnB=（）

A.{x|-1<x<4}B.{x|0<x<4}

C.{0,1,2,3}D.{1,2,3）

2.若zee且|z+2-2i|=1,則憶一1一2i|的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

3.已知j5,OB，品均為單位向量，且滿足瓦？+2而+2^=6，則荏?前的值為

（）

A.IB.1C.|D.

8888

4.隨著2022年北京冬奧會臨近，中國冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，冰雪運動人數(shù)快速上升，

冰雪運動市場需求得到釋放，將引領(lǐng)戶外用品行業(yè)市場增長.下面是2012年至2018

年中國雪場滑雪人次（萬人次）與同比增長率的統(tǒng)計圖，則下面結(jié)論中不正確的是

（）

A.2013年至2018年，中國雪場滑雪人次逐年增加

B.2013年至2015年，中國雪場滑雪人次和同比增長率均逐年增加

C.2018年與2013年相比，中國雪場滑雪人次的同比增長率近似相等，所以同比增

長人數(shù)也近似相等

D.2018年與2016年相比，中國雪場滑雪人次增長率約為30.5%

5.設a,。是兩個平面，m,〃是兩條直線，下列命題錯誤的是（）

A.若？n1a,n//a,則m1n

B.若a//夕，mca,貝ijm///?

C.若m1a,n///?,則a_L￡

D.若a內(nèi)有兩條相交直線與￡平行，則a〃/?

6.函數(shù)f（x）=符的圖象大致為（）

7.已知尸為橢圓C：攝+2=l（a>b>0）的右焦點，0為坐標原點，尸為橢圓C上

一點，若|0P|=\0F\,乙POF=120°,則橢圓C的離心率為（）

A.當B./C.V2-1D.V3-1

x>0,

8.若不等式組y>0,所表示的平面區(qū)域被直線z=3%-4y分為面積相等

.4%+3y—12<0,

的兩部分，則Z的值是（）

A.16-10V2B.9-竽C.6-10>/2D.105/2-16

9.在4中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c,a=csinB,則tanA的最大值為（）

A.1B.IC.ID.I

10.在棱長為2的正方體4BCD-ABiGd中，。為正方形為B1GD1的中心，P,M,N

分別為。劣，AB,BC的中點，則四面體OP例N的體積為（）

A.白B.[C.迥D.2

126126

11.已知/（X）是定義在R上的奇函數(shù)，其導函數(shù)為尸（X）,且當x>0時，r（x）"nx+

號>0,則不等式（?一1）/（幻<。的解集為（）

A.(-1,1)B.(-8,-l)u(0,l)

C.(-8,-1)U(1,4-00)D.(-l,0)U(l,+8)

12.若alna>blnb>clnc=1,則()

A.eb+clna>ec+alnb>ea+blncB.ec+alnb>eb+clna>ea+blnc

C.ea+blnc>ec+alnb>eb+clnaD.ea+blnc>eb+clna>ec+alnb

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

第2頁，共21頁

13.設是定義在R上周期為2的函數(shù)，當xe(-l,l］時，/(x)=

注裳一^”。，其中meR.若/(2)=/(|),則加的值是______.

14.關(guān)于函數(shù)f(x)=|sinx|+sin|x|有下述四個結(jié)論:

①/(乃是偶函數(shù)；

②/(x)在區(qū)間(4,0)單調(diào)遞減；

③f(x)在［-兀,捫有4個零點；

④/(x)的最大值為2.

其中所有正確結(jié)論的編號是

15.(l—2x)5(l+x)4展開式中的系數(shù)為.

16.已知x>0,y>0,x3+y3=x—y,則多-的最小值是.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.已知向量沅=(2,-1),記=(si嗎cos(8+C)),A、B、C為△ABC的內(nèi)角的內(nèi)角,

其所對的邊分別為mb,c

(1)當沅?五取得最大值時，求角A的大??；

(2)在(1)的條件下，當a=B時，求爐+c2的取值范圍.

18.在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速復工復產(chǎn)，為擴大銷售額，提升產(chǎn)品

品質(zhì)，現(xiàn)隨機選取了100名顧客到公司體驗產(chǎn)品，并對體驗的滿意度進行評分.體驗

結(jié)束后，該公司將評分制作成如圖所示的直方圖.

(1)將評分低于80分的為“良”，80分及以上的為“優(yōu)”.根據(jù)已知條件完成下面

2x2列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為體驗評分為“優(yōu)良”與

性別有關(guān).

良優(yōu)合計

男40

女40

合計

(2)為答謝顧客參與產(chǎn)品體驗活動，在體驗度評分為［50,60)和(90,100］的顧客中用

分層抽樣的方法選取了6名顧客發(fā)放優(yōu)惠卡.若在這6名顧客中，隨機選取4名再發(fā)

放紀念品，記體驗評分為［50,60)的顧客獲得紀念品數(shù)為隨機變量X,求X的分布列

和數(shù)學期望.

2

附表及公式：K2n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

>^0)

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.如圖，在四棱錐M-4BCD中，4B14D,4M1平面ABC。,

AB=AM=AD=2.

(1)證明：△BOM是正三角形；

(2)若CD〃平面ABM,2CD=AB,求二面角C--。的

余弦值.

第4頁，共21頁

20.已知橢圓C：攝+5=l(a>b>0)的長軸長是離心率的兩倍，直線/：4x-4y+

3=0=交。于A，B兩點,且AB的中點橫坐標為一點

(1)求橢圓C的方程；

(2)若M,N是橢圓C上的點，O為坐標原點，且滿足|OM『+|ON|2=:,求證：

OM,ON斜率的平方之積是定值.

21.已知函數(shù)/(x)=xe*—abix—ax+a—e.

(1)若/(%)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)若/(乃僅有一個零點，求〃的取值范圍.

22.在直角坐標系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為為參數(shù))，以坐標原點為

極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為2pcos。-3psin。-

12=0.

(1)當k=2時，求出G的普通方程，并說明該曲線的圖形形狀.

(2)當/c=l時，P是曲線G上一點，Q是曲線上一點，求PQ的最小值.

23.已知函數(shù)/(x)=2|x|+|x-2|.

(1)求不等式f(x)<4的解集；

(2)記/(x)的最小值為M,a,b,c為正實數(shù)且a+b+c=3M,求證:>6.

第6頁，共21頁

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

求出集合A,集合B,由此能求出4nB.

【解答】

解：,?,集合4={x6Z|x>-l},

集合B={x|log2x<2}={x|0<x<4},

二4nB={1,2,3},

故選：D.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查兩個復數(shù)差的幾何意義，求復數(shù)的模的最值，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)兩個復數(shù)差的幾何意義，求得|z-1-2tl的最小值.

【解答】

解：???|z+2-2i|=1,.?.復數(shù)z對應點在以C(-2,2)為圓心、以1為半徑的圓上.

而|z-1-24表示復數(shù)z對應點與點做1,2)間的距離，

故|z—1-2。的最小值是|4C|一1=2,

故選：A.

3.【答案】B

【解析】解：OA，0B，元均為單位向量，且滿足成+2詬+2元=6，

故A,B,C圍成△ABC,

設BC的中點為。，連接OA,OB,OC,0D,

A

因為方+2裙+2元=6，

OA+4OD=0"

故A,O,。三點共線，且4。=40D,

v0A=OB=OC=1,

故ABOC為等腰三角形，

故有。。1BC,即4DJLBC,且。0=士AD=1+-=-,

444

???BD=yJOB2-OD2=Jr_（：）2=手=”，

.-.AB-AC=（AD+函?（AD+DC）=AD2+（DB+DC）-AD+Dfi-DC=（j）2+0-

盧）2=±

k478

故選：B.

設BC的中點為。，根據(jù)條件得到ABOC為等腰三角形，且0DL8C,即4。1BC,且

。。=；,AD=1+1=5（再代入數(shù)量積即可求解結(jié)論.

444

本題考查向量的數(shù)量積的應用，考查向量的表示以及計算，考查計算能力，屬于中檔題.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查統(tǒng)計圖的應用，考查運算求解能力，是中檔題.

觀察2012年至2018年中國雪場滑雪人次（萬人次）與同比增長率的統(tǒng)計圖，結(jié)合統(tǒng)計圖

的性質(zhì)能求出結(jié)果.

【解答】

解：由2012年至2018年中國雪場滑雪人次（萬人次）與同比增長率的統(tǒng)計圖，得：

對于4,2013年至2018年，中國雪場滑雪人次逐年增加，故A正確；

對于B,2013年至2015年，中國雪場滑雪人次和同比增長率均逐年增加，故B正確；

對于C,2018年與2013年相比，中國雪場滑雪人次的同比增長率近似相等，

但是同比增長人數(shù)也不相等，2018年比2013年增長人數(shù)多，故C錯誤；

第8頁，共21頁

對于力，2018年與2016年相比，中國雪場滑雪人次增長率約為：

"71泮*100%=30.4635%?30.5%.故。正確.

故選：C.

5.【答案】C

【解析】解：對于A：當m1a,則直線g相當于平面a的法向量，由于n〃a,則m1n,

故A正確；

對于8：由于a〃0,mea,根據(jù)面面平行的性質(zhì)的應用，則m〃氏故B正確；

對于C：由于mA.a,n//P，則a10,故C錯誤：

對于力：在a內(nèi)有兩條相交直線與夕平行，根據(jù)明面面平行的判定，則?！?,故。正確；

故選：C.

直接利用線面平行的判定和性質(zhì)，面面平行的判定和性質(zhì)判定4、B、a力的結(jié)論.

本題考查的知識要點：線面平行的判定和性質(zhì)，面面平行的判定和性質(zhì)，主要考查學生

對基礎(chǔ)知識的理解，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

-XCOSX

【解析】解：f(-x)=U穿

2閉=-/(X)，

則/(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除C,D,

由/"(X)=。得％=0或cosx=0,

即右側(cè)第一個零點為x=］時，當0<x<5,/(x)>0,排除8,

故選：A.

判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，利用當0<x<5,/(x)>0,利用排除即可.

本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)的奇偶性和對稱性，函數(shù)值的符號，利

用排除法是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：設橢圓的左焦點為則M(-c,0),所以|OM|=c,

又|OP|=|OF|=c,且4POF=120。，所以|OP|=|。"|=c,4PoM=60°,

所以三角形POM為邊長為c的等邊三角形，則點P的坐標為(_|,字)，

則由橢圓的定義可得|PM|+\PF\=2a,

即c+_c)2+(苧)2=c+Wc=2a，所以(=高=8-1，

所以橢圓的離心率為b-l,

故選：D.

設出橢圓的左焦點M,根據(jù)已知得出三角形POM為等邊三角形，由此求出點P的坐標,

再利用橢圓的定義可得|PM|+\PF\=2a,化簡即可求解.

本題考查了橢圓的性質(zhì)與定義，涉及到等邊三角形的性質(zhì)，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，作出不等式組

(X>0,

y>0,所表示的平面區(qū)域，

(4x+3y-12<0,

如圖：

設直線z=3x—4y與x軸的交點為C,

直線4x+3y-12=0與x軸交點為A,

與y軸交點為8；

直線4x+3y-12=0與x軸交點為A,

與y軸交點為8,易得4(3,0),點8為(0,4),則|4B|=dT5=5,

直線4x+3y-12=0與3x-4y=z相互垂直，則4BCD,

若不等式組表示的平面區(qū)域被直線z=3x-4y分為面積相等的兩部分，則S-BC

2S.CD，

則有|4B|=&|BC|=5，則|BC|="，

又由3為（0,4）,則C的坐標為（0,4-苧），

點C在直線z=3x-4y上，貝iJz=-4y=-4x（4-竽）=1072-16,

故選：D.

根據(jù)題意，作出不等式組對應的平面區(qū)域，設直線z=3x-4y與x軸的交點為C,直線

4刀+3丫-12=0與》軸交點為A，與)，軸交點為B；求出AB的坐標以及|AB|的值，分

析可得△ABCSABC。，由相似三角形的性質(zhì)可得|BC|的值，進而可得C的坐標，將C

的坐標代入直線z=3久-4y,計算可z的值，即可得答案.

本題考查線性規(guī)劃的應用，涉及不等式組表示平面區(qū)域，注意分析兩個三角形相似，屬

于中檔題.

第10頁，共21頁

9.【答案】C

【解析】解：在△48C中，a=csinB,

所以si兀4=sinCsinB,

整理得：sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC,

故兩邊都除以sinBsinC,

得到康+高1,

故1N2整理得tcmBtanC>4,

當且僅當=tanC=2時，等號成立,

tanB+tanCtanBtanC]

所以tcmA=-tan(8+C)=—

1-tanBtanC1-tanBtanC^tanBtanC

當tan麗C取最小值時，儡泮最大值,1一薪薪取最小值,

故1、的最大值為§

tanBtanC'

即當tanBtanC=4時，tanA的最大值為g.

故選：C.

直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦定理和基本不等式的應用求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦定理和基本不等式的應用，主要考

查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】B

【解析】解：如圖,

在棱長為2的正方體4BCD-4B1GD1中,

求得PM=PN=Vl2+22+I2=V6，OM=ON=V12+22=通,

OP=12+(V2)2=V3>MN=&，

取MN的中點Q,連接P。，OQ,可得PQLMN,OQLMN,

PQ=yjPN2-NQ2=亨,OQ=y/ON2-NQ2=15-；苧，

11+5-3

在AOQP中，由余弦定理可得，cos/OQP=號逅=試7，

x~x~

???sinZ.OQP=y/1-cos2Z.OQP=急，

則O到平面PMN的距離八=OQ-sin/OQP=誓x篇=言.

11/7T>J2255

"IVZo-PMN=-x-xV2x—X-？==-.

故選：B.

由題意畫出圖形，分別求出產(chǎn)例、PN、MN、OP、OM、ON的長度，再求出。到平面

PMN的距離，代入棱錐體積公式求解.

本題考查多面體體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是中

檔題.

11.【答案】B

【解析】解:令g(x)=f(x)lnx,則g'(x)=f'(x)lnx+詈>0,

???g(x)在(0,+8)時單調(diào)遞增，又g(l)==0,

6(0,1)時，g(x)<0,x6(1,+8)時，g(x)>0,

當x6(0,1)時，Inx<0,<0,/(%)>0,

xe(l,+8)時,Inx>0,g(x)>0,二f(x)>0,

/(x)>0在(0,+8)上恒成立，

又/(%)是奇函數(shù),/(0)=0,

/(%)<0在(—8,0)上恒成立，

①當x>0時，/(x)>0,x2—1<0,即0cx<1,

②當x<0時，/(x)<0,.1?%2—1>0,即x<—l,

由①②得不等式的解集是(一8,-1)u(0,1),

故選：B.

令。(外=/(x)，nx,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求出不等式的解集即可.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是中檔

題.

12.【答案】C

第12頁，共21頁

【解析】解：設g(%)=xlnx,g'(x)=Inx+1,令g'(%)=Inx+1>0,，%%

：?x>1,g(x)遞增函數(shù)，

設/⑴=詈，?㈤=殳F=4=匕等，

廿ezxexxex

vclnc=1,??.當%>c時，xlnx>1,:./'(%)<0,

???/(%)在［1,+8)上單調(diào)遞減，

valna>blnb>clnc=1,a>b>c>1,

cr、)，，八，，，、daJ,Inc

-/(a)<f(b)</(c)，???靛V演V封

???ealnb>eblna,ealnc>eclna,eblnc>eclnb^

???ea+clnb>eb+clna,ea+blnc>eb+clna,ea+blnc>ea+clnb,

??.ea+blnc>ea+clnb>eb+clna,

故選：C.

通過構(gòu)造函數(shù)g(%)=得到%>1時g(%)遞增函數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)/(%)=等,利用/(%)

在［1,+8)上單調(diào)遞減，得到f(a)</(b)</(c),即詈<,<臂，變形可得到.

本題考查了通過構(gòu)造函數(shù)，利用構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性再通過合理變形解決問題，屬于中檔

題.

13.【答案】1

【解析】解：???/。)是定義在R上周期為2的函數(shù)，當時，f(x)=

(x2+2%4-m,-1<%<0

(石,0<%<1

???/(|)==(-1)2+2x(-i)+m=-1+m,

嗚)=JI=5

13,<

???一=---Fm=>m=1,

44

故答案為：1.

根據(jù)已知中函數(shù)的周期性以及函數(shù)的解析式，結(jié)合已知的等式，可得結(jié)論.

本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】①②④

【解析】解：函數(shù)/(x)=|sinx|+sin|x|有下述四個結(jié)論：

對于①，由于/■(-%)=|sin(-x)|+sin|-x|=/(x)所以函數(shù)為偶函數(shù)，故①正確;

對于②，由％€(一；,0)時，/(x)=|sinx|+sin|x|=—sinx—sinx=—2sinx,故函數(shù)

在(一》0)上單調(diào)遞減，故②正確；

對于③，當x=—兀，0,兀時，函數(shù)的值為0,故函數(shù)f(x)在［―兀,兀］有3個零點，故③錯

誤；

對于④，當x20時，函數(shù)/'(X)=sinx+|s譏%|的最大值為2,故④正確.

故答案為：①②④.

直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用，函數(shù)的零點和方程的根

的關(guān)系判斷①②③④的結(jié)論.

本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用，函數(shù)的零

點和方程的根的關(guān)系，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】24

【解析】解：(1-2x)5展開式的通項公式為晨+1=C^-2x)k,

m

(1+x)4展開式的通項公式為7nl+1=C^x,

則/的系數(shù)為點盤-2ClCl+4鬣瑪-8c其：=4-60+160-80=24,

故答案為：24.

分別求出兩個展開式的通項公式，進行討論求解即可.

本題主要考查二項式定理的應用，分別求出展開式的通項公式，利用心的次數(shù)關(guān)系進行

討論求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

16.【答案】2+2V2

【解析】解：x>0,y>0,x3+y3=x-y,

.婷+曠

??3—_±,且%>y,

x-y

3-2y51+鏟

令f(x,y)=-=*一

xy-y2-1，

令t=?l,則/(t)=獸,

f(t)=(—1)2，t>1，

令r(t)>o,解得：t>i+VL

???f(t)在(1,1+式)上單調(diào)遞減，在(1+V2,+8)上單調(diào)遞增,

???f(t)M=f(l+&)=2或+2，

第14頁，共21頁

即手的最小值為2&+2，

故答案為：2&+2.

3321+

先由題設得到：言=1，且%>y，再令f(%y)=上；=誓-，然后構(gòu)造函數(shù)f(t)=

?yy廠

—,t>i,最后利用導數(shù)求得其最小值，即可解決問題.

C—1

本題主要考查導數(shù)在處理函數(shù)最值問題中的應用，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)???沆=(2,-1),n=(sinpcos(B+C)),

.,.m-n=2sin^—cos(B+C)=2sing+cosA=2sin^+(1—2sin2=-2(sin^—

3+2,

c,c4a

V0<<7T,-0<-<

22

sin^=I，即時，沆.五取得最大值；

(2),:a—V3?sinA=乎，

、abc75c

???由正弦定理其=前=痂=逅=2,

2

???b=2sinB,c=2sinC,

C=7T—(4+B)=——B,

AZ?2+c2=4sin2B+4sin2C=4sin2B+4sm2(^--8)

47r、

1-cos2B1-cos(丁-28)

=4—「+——f—]

4TT47r

cos2B4-cos-Q-COS2B4-sin-^-sin2B

=4(1-------------------------------------------------------)

=44-\[3sin2B—cos2B

=4+2sin(2B-￡),

c/r?/27rTtor>兀,7Tt

???0<B<—,——<2B——<—,

3666

???-i<sin(2S-^)<1,

A3<62+c2<6,

則產(chǎn)+。2的取值范圍為(3,6].

【解析】(1)由兩向量的坐標，利用平面向量的數(shù)量積運算列出關(guān)系式，利用誘導公式

及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后得到關(guān)于sin^的二次函數(shù)，由4的范圍求出?的

范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出此時sin?的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出

沅,記取得最大值時A的度數(shù)；

(2)由a及sinA的值，利用正弦定理表示出匕與c,再利用三角形的內(nèi)角和定理用B表

示出C,將表示出的b與c代入爐+?2中，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后利

用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由B的范圍求出這個角的范圍,

利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出此時正弦函數(shù)的值域，即可確定出爐+c2的取值范圍.

此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，正弦函數(shù)的定義域與性質(zhì)，以及三角函

數(shù)的恒等變形，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵.

18.【答案】解：(1)列聯(lián)表下:

良優(yōu)合計

男202040

女204060

合計4060100

由題得，K2=100(20X40-20X20)2=*=乞代>2,706,

40X60X60X409

所以能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為體驗評分為“優(yōu)良”與性別有關(guān).

(2)由己知得體驗度評分為［50,60)和［90,100］的顧客分別有10人，20人，

則在隨機抽取的6人中評分為［50,60)有2人，評分為［90,100］有4人.

則X可能的取值有O1,2,

P(X=O)W建，

P(X=1)=^=*

P(X=2)=萼=

'715

則X的分布列為:

X012

186

P

151515

所以EX=0x2+1x2+2x2=￡

第16頁，共21頁

【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論：

（2）由題意知隨機變量X可能的取值有0,1,2,計算對應的概率值，寫出分布列，求

出數(shù)學期望.

本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，也考查了獨立性檢驗以及離散型隨機變量及其

分布列，期望計算問題，是中檔題.

19.【答案】（1）證明：由已知，AM,平面A8CD

所以，AMLAB,AM1AD.

又ZB=AMAD=2,ABLAD,

所以，BD2=AB2+AD2=8,BM2=AB2+AM2=8,DM2=AD2+AM2=8,

則BC=BM=DM,

所以△BDM是正三角形.

（2）解：因為4814。，AM_L平面ABC。，

以A為原點，直線48,AD,AM分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.

由CD〃平面易知CO〃AB,又2CD=AB,貝0),C(l,2,0),0(0,2,0),

M(0,0,2).

所以前=(-2,2,0),BM=(-2,0,2).

設平面的一個法向量為沅=(x,y,z),

則(沆-RD=-2x+2y=0,

Im-BM=-2.x+2z=0,

取x=l,=(1,1,1).

同理可求平面CBM的一個法向量為記=(2,1,2).

所以，cos<沅，元>=署，=2=第，

|m|-|n|3V39

即二面角C-BM-。的余弦值為速.

9

【解析】（1）通過求解BZ）2=力用+力。2=8,BM2=AB2+AM28,DM2=AD2+

AM2=8,即可證明△BOM是正三角形.

(2)以A為原點，直線AB,AD,AM分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.求出

平面8OM的一個法向量，平面CBM的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面

角的余弦函數(shù)值即可.

本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面垂直的判定定理的應用，勾股定理的應用，

考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

20.【答案】解：⑴橢圓C噂+'=l(a>6>0)的長軸長是離心率的兩倍，可得2a=

2e=—,即c=a2,

a

直線/：4%-4y+3=0與橢圓方程聯(lián)立，可得(力2+a2)%2+|a2x+白小一2b2=0,

216a

可得名+冷=一-|^7=-1，即〃=?a2=a2-c2，

1nd2+a2乙

解得c=3,a=它,b=3,

222

則橢圓方程為2/+4y2=1；

(2)證明：設N(s,t),可得2nl2+4/=1,2s24-4t2=1,

相加可得m?+s2+2(n2+t2)=1,

\OM\2+\ON\2=-,即m2+2+s2+t2=。，

44n

可得2+t2=-,

n4

即有2ni?+4rl2=i=4九2+4t2,即為7n2-2t2,

2s24-4t2=1=4n2+4t2,即為s?=2n2,

可得。朋，ON斜率的平方之積為m4=4-A=士即為定值.

m2s22t22n24

【解析】(1)由橢圓的離心率公式可得c=M,聯(lián)立直線/和橢圓方程，運用韋達定理和

中點坐標公式可得b2=[a2=a2-c2,解方程可得a,b,c,進而得到所求橢圓方程;

(2)設N(s,t),代入橢圓方程，結(jié)合條件，運用兩點的距離公式以及直線的斜

率公式，化簡整理，變形即可得到定值.

本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，以及點滿足橢

圓方程和直線的斜率公式，考查化簡整理的轉(zhuǎn)化思想、運算能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：對/。)求導得/''(x)=eX(l+x)-吆亨=(l+x)”p(%>0),

因為/(x)為單調(diào)函數(shù)，故/'(x)>0或((久)<0恒成立，

因為x>0,故只需Q>xe*或a<xe”對于x>0恒成立，

令"(X)=xex,則if(%)=(%+l)ex>0對于％>0恒成立，

第18頁，共21頁

所以u(x)為增函數(shù)，

所以u(x)>u(0)=0,

由于+8時，u(x)t+8,故a2xe*不成立，即/(x)不可能為單調(diào)遞減函數(shù)，

當a<xe”恒成立時，aW0,此時/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以當f(x)為單調(diào)函數(shù)時，a的取值范圍為(-8,0］：

(2)因為"1)=0,所以1時/'(x)的一個零點，

由(1)可知，當a<0時，/(乃為(0,+8)上的增函數(shù)，所以/(x)僅有一個零點，滿足題意，

當a>0時，，令((%)=0得工蠟一a=0,由(1)可知，it(k)=xe*在(0,+8)上為單調(diào)遞

增,且找(x)6(0,+8),

故存在唯一的X。，使得xe*-a=0成立，即。=X0靖。，

當0<x<x()，時