2021年高考數(shù)學(xué)1月大數(shù)據(jù)模擬卷01（山東、海南專用解析版）

I月大數(shù)據(jù)精選模擬卷01(山東、海南專用)

數(shù)學(xué)試卷

本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知集合A={x|x(x—1)40},集合8={R-1<X<1},則AB=()

A.1x|-l<x<l|B.|x|-l<x<01C.|x|-l<x<l|D.{x[0<x<l}

【答案】C

【詳解】

因?yàn)锳={x|x(x—1)K0}={乂0<1},8=何一1<x<1},

所以AuB={X-l<x〈l}.

2.復(fù)數(shù)」一的共鈍復(fù)數(shù)是()

4z-3

617.617.617.617.

A.11B.-----1C.----11D.------1

2525252525252525

【答案】A

【詳解】

3z+2(3i+2)(4i+3)-6+17/617.

因?yàn)?----=--------------=--------=--------1,

4z-3(4z-3)(4z+3)-252525

所以其共鈍復(fù)數(shù)是?+?i.

2525

3.淮南市正在創(chuàng)建全國(guó)文明城市，某校數(shù)學(xué)組辦公室為了美化環(huán)境，購(gòu)買了5盆月季花和4盆菊花，各盆

大小均不一樣，將其中4盆擺成一排，則至多有一盆菊花的擺法種數(shù)為()

A.960B.1080C.1560D.3024

【答案】B

【詳解】

解：一盆菊花都沒(méi)有的擺法種數(shù)為{=120,只有一盆菊花的擺法種數(shù)為960,

則至多有一盆菊花的擺法種數(shù)為120+960=1080，故選：B.

4.埃及胡夫金字塔是世界七大奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，現(xiàn)已測(cè)得它的塔傾角為52，則

該四棱錐的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（）（注：塔傾角是指該四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角,

2

D.

45

【答案】B

【詳解】

如圖所示：

。為正方形A8C。的中心，E為CO的中點(diǎn),

則CDJ.PE,CDLPO,PEcPO=P,

所以CD_L平面PEO,

所以CDJ.EO，

所以NPEO是側(cè)面與底面所成的角，

則NPEO=52,

設(shè)CD=a,PE=h',PO=h，

cos520=—=—

由題意得：，“5,

2

解得/?=—a.

3

5.龍馬負(fù)圖、神龜載書圖像如圖甲所示，數(shù)千年來(lái)被認(rèn)為是中華傳統(tǒng)文化的源頭；其中洛書有云，神龜出

于洛水，甲殼上的圖像如圖乙所示，其結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五

方白圈皆陽(yáng)數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù)；若從陽(yáng)數(shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，則被抽到的2個(gè)數(shù)的數(shù)字之和超過(guò)10的概率

為（）

OCKXXXXXX)/

圖甲

【答案】A

【詳解】

依題意，陽(yáng)數(shù)為1、3、5、7、9,故所有的情況為（1,3）,（1,5）,（1,7）,（1,9）,（3,5）,（3,7）,（3,9）,

（5,7）,（5,9）,（7,9）,共10種，

42

其中滿足條件的為（3,9）,（5,7）,（5,9）,（7,9）,共4種，故所求概率尸=布=不

6.中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：C=Wlog2^l+^,它表

示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率。取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率5、信道內(nèi)

部的高斯噪聲功率N的大小，其中一叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的I可以忽略不計(jì)，

N

按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W,而將信噪比之從1000提升至5000,則C大約增加了（）

N

附：臉”0.3010

A.20%B.23%C.28%D.50%

【答案】B

【詳解】

將信噪比一從1000提升至5000時(shí)，

N

Wlog(1+5000)-Wlog(1+1000)

C增加比率為22

Wlog2(l+1000)

lg5000IglOOO

log25001-log21001lg2lg2

logJ001?igiooo

~愴2

匕盛X0.23=23%.

3

7.已知點(diǎn)尸是邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。所在平面上一點(diǎn)，滿足PA-(PB+PC+PD)=0,貝的最

小值是()

AV5—V2?x/2—l\[5—V2n\[2—I

3322

【答案】A

【詳解】

解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0),5(1,0),C(l,l),0(0,1),

設(shè)尸(x,y),則以=(—x,—y),=x,—y),

PC=(l-x,l-y),PD=(-x,1-y)=>PB+PC+PD=(2-3x,2-3y),

由題意知：(一x)(2-3x)+(—y)(2-3y)=(),

,半徑為r=也的圓上,

3

又pq表示圓上的點(diǎn)到P的距離,

8.已知函數(shù)〃%)=爐+3%3+%+2,若“a)+/(a-2)>4,則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.(-oo,l)B.(-oo,2)C.(1,+℃)D.(2,+<x>)

【答案】C

【詳解】

解：根據(jù)題意，設(shè)g(x)=,f(x)—2=/+3/+%，其定義域?yàn)镽,

貝iJgl—x'M-lV+SxS+x'n-glx),貝ijg(x)為奇函數(shù)，

又由g'(x)=5/+9d+l>0,則g(x)在R上為增函數(shù),

故/⑹+%-2)>4=%)-2>-4-2)+2=>%)-2>-[仆-2)-2]

=g(a)>-g(a-2)=g(a)>g(2-a),必有a>2-a.

解得4>1,即4的取值范圍為

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,

全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知曲線C:"a?+〃）尸=1（）

A.若根=0,〃>0,則C是兩條直線

B.若加=〃>0,則C是圓，其半徑為薪

C.若〃2>〃>0,則C是橢圓，其焦點(diǎn)在X軸上

D.若mn<0，則。是雙曲線,其漸近線方程為y=±

【答案】AD

【詳解】

,1

對(duì)于A,若相=0,〃>0，則C:〃y2=1即y=±一尸，為兩條直線，故A正確；

y/n

對(duì)于B,若加=〃>0,則C:f+y2=_l,所以C是圓，半徑為L(zhǎng),故B錯(cuò)誤;

nVn

對(duì)于C,若〃2>〃>0,則0<，<4，

mn

.￡2；,212,i

所以C：〃a2+〃y2=i即rL.-j-十1一】為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，故C錯(cuò)誤；

mn

匕=1

對(duì)于D,若WV0,則I.J_j_一為雙曲線,

mn

1

〃+

且其漸近線為＞=土-TX--故D正確.

m

7t}

10.若函數(shù)/（x）=Asin（①x+夕）；A＞0,ty＞0,lel＜不的部分圖像，如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）

\乙）

71

A.^6

B.函數(shù)/（x）的圖像關(guān)于x=?對(duì)稱

函數(shù)〃尤）的圖像關(guān)于點(diǎn)W，o卜寸稱

C.

rr

D.X€一于°時(shí)，“X）的值域?yàn)?/p>

【答案】ABD

【詳解】

由圖像可知A=2,/(0)=2sine=l,即sine='，

jrIT

因?yàn)閨°|＜一，所以0=三,

26

3TCn5n_./._\

--=---F2攵7T,(攵￡Z),

--4---0)~\63v7

8

1.69=2+§左&￡Z），

2乃37r2

周期7=一＞一,.?.（）＜口＜一,即0=2,

co43

f（x）=2sin（2x+5],

jr

對(duì)于A,夕=一,正確；

6

（兀\九71

對(duì)于B,/-=2sin-=2,故圖像關(guān)于x=二對(duì)稱，正確;

16J26

對(duì)于D,xG一［,0時(shí)，2%+，所以/(%)《［—2,1］,正確；

_2J6|_66」7

11.已知。>(),/?>(),且/+〃=2,則下列不等式中一定成立的是()

A.ab<\B.-+-<2C.lg(7+lg/?>0D.a+h<2

ab

【答案】AD

【詳解】

cih<————=1>(Q+Z?)=儲(chǔ)+A?+2〃。W2(/+匕~)=4==>Q+b?2,「.A,。都成立.

又?.?當(dāng)a=_L,/,=立時(shí)，-+->2,此時(shí)B不成立.

22ab

又：怛。+坨/?=3。b40,；.。不成立.

12.己知某校高三年級(jí)有1000人參加一次數(shù)學(xué)模擬考試，現(xiàn)把這次考試的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)分，標(biāo)準(zhǔn)分的分

數(shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為(60,300］,若使標(biāo)準(zhǔn)分X服從正態(tài)分布N(180,900),則下列說(shuō)法正確的有().

參考數(shù)據(jù)：①尸(〃一bvX<〃+b)=0.6827；②尸(〃-2cr<X<〃+2cr)=0.9545；③

P(//-3cr<X<//+3b)=0.9973

A.這次考試標(biāo)準(zhǔn)分超過(guò)180分的約有450人

B.這次考試標(biāo)準(zhǔn)分在(90,270］內(nèi)的人數(shù)約為997

C.甲、乙、丙三人恰有2人的標(biāo)準(zhǔn)分超過(guò)180分的概率為:3

O

D.P(240<X<270)=0.0428

【答案】BC

【詳解】

選項(xiàng)A；因?yàn)檎龖B(tài)分布曲線關(guān)于x=180對(duì)稱，

所以這次考試標(biāo)準(zhǔn)分超過(guò)180分的約有Lxl000=500人，故本說(shuō)法不正確；

2

選項(xiàng)B：由正態(tài)分布N(180,900),可知：A=180,cr=30,

所以P(90<XW270)=P(180-3x30<XW180+3x30)=0.9973,

因此這次考試標(biāo)準(zhǔn)分在(90,270]內(nèi)的人數(shù)約為1000x0.9973U997人，故本說(shuō)法正確；

選項(xiàng)C：因?yàn)檎龖B(tài)分布曲線關(guān)于X=180對(duì)稱，

所以某個(gè)人標(biāo)準(zhǔn)分超過(guò)180分的概率為L(zhǎng),

2

11劣

因此甲、乙、丙三人恰有2人的標(biāo)準(zhǔn)分超過(guò)180分的概率為。；(一)2(1—-)=-,故本說(shuō)法正確；

228

選項(xiàng)D：由題中所給的公式可知：

P(90<X<270)=P(18()-3x30<X<180+3x30)=0.9973,

P(120<X<240)=P(180-2x30<X<180+2x30)=0.9545,

所以由正態(tài)分布的性質(zhì)可知：

P(240<X<270)=g[P(90<XW270)-尸(120<XW240)]=g(0.9973-0.9545)=0.0214,所以

本說(shuō)法不正確.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.傾斜角為?的直線過(guò)雙曲線。：?-丁=1的焦點(diǎn)，且與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=,

【答案】2y/3

【詳解】

由雙曲線C：]_—y2=l標(biāo)準(zhǔn)方程可知：a=百*=1,所以有°=歸行=反1=2，

因此焦點(diǎn)的坐標(biāo)為。20),由雙曲線的對(duì)稱性不妨設(shè)，直線A3過(guò)右焦點(diǎn)(2,0),

7T

所以直線AB方程方程為y-0=(tan一)?(x-2)=y=x-2,與雙曲線聯(lián)立得：

4

2

二一=1

2

<3'=>2x-12x+15=0,設(shè)A。］,%),B(x2,y2),

因此有：玉+々=6,芯工2=~，

22

所以|=J1+(tan—)?|西-x2\=>/2-+x2)-4x,x2=0x^6-4x^=26.

14.將數(shù)列｛2〃+l｝與｛4〃—3｝的公共項(xiàng)從小到大排列得數(shù)列｛《,｝,則an=.

【答案】4〃+1

【詳解】

解:因?yàn)閿?shù)列｛2〃+1｝是以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

數(shù)列｛4“—3｝是以1首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，

所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列｛4｝是以5為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，

所以｛。,｝的通項(xiàng)公式為4=5+(〃-1)4=4"+1,

15.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德是世界上公認(rèn)的三位最偉大的數(shù)學(xué)家之一，其墓碑上刻著他認(rèn)為最滿意的一個(gè)

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn).如圖，一個(gè)“圓柱容球”的兒何圖形，即圓柱容器里放了一個(gè)球，該球頂天立地，四周碰邊，在該

22

圖中，球的體積是圓柱體積的一，并且球的表面積也是圓柱表面積的一，若圓柱的表面積是6〃，現(xiàn)在向

33

圓柱和球的縫隙里注水，則最多可以注入的水的體積為.

【詳解】

2

設(shè)球的半徑為r,則由題意可得球的衣面積為4萬(wàn)戶=§x6萬(wàn)，??.r=1，

AG

...圓柱的底面半徑為1，高為2,...最多可以注入的水的體積為乃XFX2——x%xF=」.

33

16.下列命題中正確的序號(hào)是.

①已知函數(shù)1)的圖象關(guān)于直線X=2對(duì)稱，函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，則“X)是一個(gè)周期為4的函數(shù);

②函數(shù)/(X)=一1+J1-＞和y=JE+J匚工都是既奇又偶函數(shù);

③已知對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)X都有+=2x+l,則/(2)=-1

④函數(shù)在/(x)在(。,切和3,c)上都是增函數(shù)，則函數(shù)/(%)在(a,c)上一定是增函數(shù).

【答案】①③

【詳解】

①因?yàn)楹瘮?shù)f(x-l)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱

所以/(x)=/(2—x),因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為奇函數(shù)，所以——(一1)=/(2-％)

所以一/(幻=/(2+幻，所以/(x)=/(4+x)

所以4是f(x)的一個(gè)周期；故正確

②函數(shù)f(x)=JZW+JT^=O,其定義域?yàn)椋鸏T｝，滿足/(-x)=-/(x)=/(x),所以函數(shù)既是奇

函數(shù)乂是偶函數(shù)，

y=JE+F工的定義域?yàn)椋?｝,所以函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；

③已知對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x都有/(%)+2/1_)=2x+1,利用賦值法令:代替x,

所以七(l卜A2個(gè))丁?1,解得，⑺42x1

則/(2)=-g：正確.

④函數(shù)/(x)在(a,句和S,c)上都是增函數(shù)，若/(%)在x=b處不連續(xù)，則/(%)在(a,c)上不一定單調(diào)遞增,

故錯(cuò)誤；

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.在ABC中，AB=-,b=幣，，求BC邊上的高.在①sinA=亙；②sinA=3sinC；

37

③a-c=2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)

解答計(jì)分.

【詳解】

解：選擇①，

,a幣

在ABC中，由正弦定理得——二——，即正J一百，

sinAsin8

72

解得4=2,

由余弦定理得〃=a2+c2—2accosB，即7=2"+c"-2x2xcx-,

2

化簡(jiǎn)得。2一2G-3=0,解得c=3或c=—l(舍去)；

所以BC邊上的高為h=csinB—3x^~二.

22

選擇②，

在A5C中，由正弦定理得一J二」一，

sinAsinC

乂因?yàn)閟inA=3sinC,所以---二--—,即Q=3C；

3sinCsinC

由余弦定理得力2=a^_^_c2-2accosB，

即7=(3c)2+c2-2x3cxcx—,

2

化簡(jiǎn)得7/=7,解得c=l或c=—1(舍去)；

所以邊上的高為/i=csinB=1xY3=.

22

選擇③，

在ABC中，由Q—c=2,得a=c+2；

由余弦定理得。2=々2+《2一加0cos8，

即7=(C+2)2+C2-2X(C+2)XCX，

2

化筒得+2c—3=0，解得c=l或c=—3(舍去);

所以BC邊上的高為人=csinB=1xY3=.

22

18.己知等比數(shù)列｛4｝中，2a4—34+%=0,且4=(，公比

(1)求明；

(2)設(shè)｛。“｝的前九項(xiàng)和為7；,求證g〈7；＜l.

【詳解】

(1)由已知得：2q2-3q+l=0nq=^!■或q=l(舍去)，

所以…出=(升

,ifi-fiYl.

(2)因?yàn)閝=g,q=；,所以］:2(12)乙

2

因?yàn)槎?［；)在R上為減函數(shù)，且y=(；)＞0恒成立，

所以當(dāng)〃GN*,時(shí)，o＜［g)=；，

所以卜騫=1一,卜.

19.某花圃為提高某品種花苗質(zhì)量，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，在A,B實(shí)驗(yàn)地分別用甲、乙方法培育該品種花

苗.為觀測(cè)其生長(zhǎng)情況，分別在A,B試驗(yàn)地隨機(jī)抽選各50株，對(duì)每株進(jìn)行綜合評(píng)分，將每株所得的綜合

評(píng)分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評(píng)分為80及以上的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗.

(1)求圖中〃的值，并求綜合評(píng)分的中位數(shù)；

(2)用樣本估計(jì)總體，以頻率作為概率，若在A,B兩塊實(shí)驗(yàn)地隨機(jī)抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的

優(yōu)質(zhì)花苗數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān).

優(yōu)質(zhì)花苗非優(yōu)質(zhì)花苗合計(jì)

甲培育法20

乙培育法10

合計(jì)

【詳解】

(1)由0.005xl0+0.010xl0+0.025xl0+axl0+0.020xl0=l,

解得a=0.040.

令得分中位數(shù)為x,由0.020x10+0.040x(90-x)=0.5,

解得x=82.5.

故綜合評(píng)分的中位數(shù)為82.5.

(2)由(1)與頻率分布直方圖，

優(yōu)質(zhì)花苗的頻率為(0.04+0.02)x10=0.6,即概率為0.6,

設(shè)所抽取的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗的顆數(shù)為X,則,

p(x=o)=c；x[2]=_§_；p(x=i)=c：x3x[2]=至；

'，3⑸125'，35⑸125

P(X=2)=C；x(|Jx|喂；p(x=3)=C；x1|j喂.

yyD1ND\/1ND

其分布列為:

X0123

8365427

P

125125125125

39

所以，所抽取的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗的數(shù)學(xué)期望EX=3xg=].

(3)結(jié)合(1)與頻率分布直方圖,

優(yōu)質(zhì)花苗的頻率為(0.04+0.02)X10=0.6，

則樣本中，優(yōu)質(zhì)花苗的顆數(shù)為60棵，列聯(lián)表如下表所示:

優(yōu)質(zhì)花苗非優(yōu)質(zhì)花苗合計(jì)

甲培育法203050

乙培育法401050

合計(jì)6040100

可得KJ幽幽亞史人16.667>6.635?

60x40x50x50

所以，有90%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān)系.

20.如圖，四邊形ABCD是正方形，△PAB與△PAD均是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)尸是PB

的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn).

(1)求證：AF±EF；

(2)求二面角A—PC—8的平面角的正弦值.

【解析】

試題解析：(1)證明：是尸8的中點(diǎn)，且PT=zL8，AF_PB.

'：△P.1B與△上山均是以X為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,

,?PA_AD,PA-.AB.

??JDri，18=K，.4Z>u平面平面ASO

Ha一平面J5C0.

；3。<=平面,傷8，/.PAIBC.

??四邊形X5CZ)是正方形，BC-.IB.

?,24。，必=，九尸du平面RIS,一45u平面PIS，

??BC一平面上

??月Fu平面215，六BC_AF.

?-PBCBC=B，尸8u平面尸SC,BCu平面尸BC,

??平面尸BC.

??Mu平面尸3C，，XF_EF.

(2)解法1：作FH_PC于H，連接，田,

???MF_L平面PBC，產(chǎn)Cu平面PBC???AF_PC.

：KFnm=F，dFu平面，疔H,FHu平面AFH，

尸CL平面H.

：平面，如H，六PC_AH.

...NAHF為二面角A-PC-B的平面角.

設(shè)正方形X5CD的邊長(zhǎng)為2,則PT=,1B=2,AC=Wi，

在RtA尸且g中，在RtAPAC中，

PA-AC246

PC==2道，

PC一亍

在中，sinZ.4J/F=-=—.

AH2

所以二面角X-PC-3的平面角的正弦值為也.

7

解法2：以K為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，切尸所在直線為x軸，N軸，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)產(chǎn)K=1,

則尸(0,0」),5(0,10),C(LL0),Z>(LQ0).

.,?麗=(0JT)，5C=(L050).

設(shè)平面尸3c的法向量為/=Go,由，t三°,得；‘z°,

--!?MBC=05I.X=0.

令y=l,得Z=l，???布=((U1)為平面P3C的一個(gè)法向量.

,/EJ_L平面,45C。，HTu平面P4C，；?平面P4c一平面J5CD.

連接AD，則AD_XC.

平面H4Cn平面X5CD=dC，BDu平面X5CD，

???3。一平面尸XC.

二平面B4C的一個(gè)法向量為麗=(L-LO).

設(shè)二面角，一尸C-3的平面角為8,

則cos0=H哂卜墻4

?*,sin9=Jl-cos~e-

???二面角力-尸。-3的平面角的