2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)專題12 將軍飲馬模型（原卷版）專題培優(yōu)訓(xùn)練

專題12將軍飲馬模型模型1、將軍飲馬--兩定一動(dòng)求線段和的最小值【模型探究】A，B為定點(diǎn)，m為定直線，P為直線m上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+BP的最小。圖1圖2（1）如圖1，點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：輔助線：連接AB交直線m于點(diǎn)P，則AP+BP的最小值為AB.（2）如圖2，點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：輔助線：過(guò)點(diǎn)A作關(guān)于定直線m的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接A’B交直線m于點(diǎn)P，則AP+BP的最小值為A’B.例1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)C在直線MN上，∠BCN＝30°，點(diǎn)P為MN上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，BP．當(dāng)AP+BP的值最小時(shí)，∠CBP的度數(shù)為_(kāi)____．例2．如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，M是線段上的-一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是中點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________．例3．如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為5，A、B、三點(diǎn)在一條直線上，且．若D為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．例4．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE＝2，當(dāng)EF＋CF取得最小值時(shí)，則∠ECF的度數(shù)為多少？模型2、將軍飲馬--兩動(dòng)一定求線段和的最小值【模型探究】已知定點(diǎn)A位于定直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.輔助線：過(guò)點(diǎn)A作關(guān)于定直線m、n的對(duì)稱點(diǎn)A’、A’’，連接A’A’’交直線m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’A’’.例1．如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且OP＝4，點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PEF周長(zhǎng)的最小值等于4，則α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°例2．如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，使周長(zhǎng)最小，則的度數(shù)為_(kāi)________．例3．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則△DEF的周長(zhǎng)的最小值是（）A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6例4．如圖所示，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)分別在上，求周長(zhǎng)的最小值．模型3、將軍飲馬--兩動(dòng)兩定求線段和的最小值【模型探究】A，B為定點(diǎn)，在定直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）如圖1，兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：輔助線：連接AB交直線m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB.（2）如圖2，一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：輔助線：過(guò)點(diǎn)B作關(guān)于定直線n的對(duì)稱點(diǎn)B’，連接AB’交直線m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB’.圖1圖2（3）如圖3，兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：輔助線：過(guò)點(diǎn)A、B作關(guān)于定直線m、n的對(duì)稱點(diǎn)A’、B’，連接A’B’交直線m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’B’.（4）如圖4，臺(tái)球兩次碰壁模型：輔助線：同圖3輔助線作法。圖3圖4例1．如圖，，點(diǎn)M，N分別是邊，上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的大小=___．例2．如圖，點(diǎn)A在y軸上，G、B兩點(diǎn)在x軸上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC與GB關(guān)于y軸對(duì)稱，∠GAH＝60°，P、Q分別是AG、AH上的動(dòng)點(diǎn)，則BP＋PQ＋CQ的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9例3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)P、Q分別為CE、CD上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．模型4、將軍飲馬--線段差的最大值【模型探究】A，B為定點(diǎn)，在定直線m上分別找兩點(diǎn)P，使PA與PB的差最大。（1）如圖1，點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：輔助線：延長(zhǎng)AB交直線m于點(diǎn)P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。（2）如圖2，點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：輔助線：過(guò)B作關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB’，PA-PB最大值為AB’圖1圖2例1．如圖，在等邊中，E是邊的中點(diǎn)，P是的中線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是________．例2．如圖，，，AD是∠BAC內(nèi)的一條射線，且，P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是______．例3．如圖，，為上一動(dòng)點(diǎn)，，過(guò)作交直線于，過(guò)作交直線于點(diǎn)，若，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，則________．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．2．如圖，在中，，，，，EF垂直平分BC，點(diǎn)P為直線EF上的任意一點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是（

）A．7 B．6 C．12 D．83．如圖，在中，是邊的垂直平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．84如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．70°5．如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且OP＝4，點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PEF周長(zhǎng)的最小值等于4，則α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°6．如圖，在等邊中，BC邊上的高，E是高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB的中點(diǎn)，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在最小值，則這個(gè)最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．87．如圖，在中，，，的面積為12，于點(diǎn)D，直線EF垂直平分BC交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，P是線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值是（）A．6 B．7 C．10 D．128.如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為8，BD平分∠ABC．若M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．89．如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，連接，，若，，周長(zhǎng)最小時(shí)，，之間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．10．如圖，點(diǎn)D是∠FAB內(nèi)的定點(diǎn)且AD=2，若點(diǎn)C、E分別是射線AF、AB上異于點(diǎn)A的動(dòng)點(diǎn)，且△CDE周長(zhǎng)的最小值是2時(shí)，∠FAB的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°11．如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)P是它內(nèi)部一點(diǎn)，OP=2，如果點(diǎn)Q、點(diǎn)R分別是OA、OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PQ+QR+RP的最小值是__________．12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)C在直線MN上，∠BCN＝30°，點(diǎn)P為MN上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，BP．當(dāng)AP+BP的值最小時(shí)，∠CBP的度數(shù)為_(kāi)____．13．如圖，，，AD是∠BAC內(nèi)的一條射線，且，P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是______．14．如圖，在等邊中，E是邊的中點(diǎn)，P是的中線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是________．15.如圖，在中，，，，，平分交于點(diǎn)，，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．如圖，分別以線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，以大于AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，在直線MN上取一點(diǎn)C，連接CA，CB，點(diǎn)D是線段AC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CD＝AC，點(diǎn)P是直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，PB，若BC＝4，則PD+PB的最小值為_(kāi)__．17．如圖，在中．，若，，，將折疊，使得點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為AD，點(diǎn)P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為_(kāi)__．18．如圖，，為上一動(dòng)點(diǎn)，，過(guò)作交直線于，過(guò)作交直線于點(diǎn)，若，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，則________．19．如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，使周長(zhǎng)最小，則的度數(shù)為_(kāi)________．如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為5，A、B、三點(diǎn)在一條直線上，且．若D為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．