全等三角形復(fù)習(xí)課件

《全等三角形》復(fù)習(xí)沈丘縣第一初級中學(xué)夏志勇11/29/20231教學(xué)目標(biāo)1.回顧本章所學(xué)知識內(nèi)容，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)框架，使所學(xué)知識系統(tǒng)化。2.熟練掌握三角形全等的條件，學(xué)會多角度.多方位的觀察圖形和思考問題。3.進(jìn)一步學(xué)習(xí)有條理的思考.運用四步法來完成證明題。4.感受全等三角形與生活的密切聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的價值，增強用數(shù)學(xué)的意識。11/29/202321、全等三角形的概念及其性質(zhì)全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形，重合的點叫做對應(yīng)頂點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角。全等三角形性質(zhì)：（1）對應(yīng)邊相等（2）對應(yīng)角相等（3）周長相等（4）面積相等注意：“全等”的記法“≌”，全等變換：平移、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)。11/29/202332、全等三角形的性質(zhì)：3、三角形全等的條件：SSSSASASAAAS

HL4、應(yīng)用：利用全等三角形性質(zhì)證明兩條線段或兩個角相等。

（1）：全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。（2）：全等三角形的周長相等、面積相等。（3）：全等三角形的對應(yīng)邊上的對應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等。知識回顧11/29/20234知識回顧等腰△性質(zhì)與判定定理角平分線性質(zhì)與判定定理線段垂直平分線性質(zhì)與判定定理基本作圖畫線段畫角畫垂線畫垂直平分線畫角平分線全等相關(guān)知識點命題、公理、定理互逆命題與互逆定理11/29/20235首先：我們把與三角形全等相關(guān)的知識點大致分成三個層次，以便同學(xué)們了解自己的學(xué)習(xí)程度和應(yīng)努力的方向。第一層次：兩個三角形以較明顯的形式呈現(xiàn)，易發(fā)現(xiàn)，幾種基本的形式見下圖：11/29/20236（1）線段相等、平行AEDCFBFCDBAEFCABDE11/29/20237（2）公共邊、公共角ADCBADCBDBCACBAOFED11/29/20238（3）對頂角AOCDB11/29/20239有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊.有公共角的，公共角是對應(yīng)角.有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角.一對最長的邊是對應(yīng)邊，一對最短的邊是對應(yīng)邊.一對最大的角是對應(yīng)角，一對最小的角是對應(yīng)角.在找全等三角形的對應(yīng)元素時一般有什么規(guī)律？11/29/202310知識回顧：一般三角形

全等的條件：1.定義（重合）法；2.SSS；3.SAS；4.ASA；5.AAS.直角三角形全等特有的條件：HL.包括直角三角形不包括其它形狀的三角形解題中常用的4種方法11/29/202311例1：如圖，點A、F、E、C在同一直線上，AF＝CE，BE=DF，BE∥DF，求證：AB∥CD。證明：∥∥AE=CFBE＝DF≌(S.A.S.)11/29/202312第二層次：兩個三角形的呈現(xiàn)不明顯，有重疊的部分，需從已知條件出發(fā)找需要的三角形（可用陰影標(biāo)出）11/29/20231314例2、如圖，已知AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于點M，AC、BE相交于點N，∠1=∠2，試說明：（1）△ABE≌△ACD（2）AM=ANANMEDCB12創(chuàng)造條件?。?1/29/202314第三層次：題目的條件、結(jié)論都需要全面考慮，綜合所學(xué)的知識點并能靈活運用（特別是輔助線的添加）。11/29/202315例3：如圖，AB、CD相交于E，且AB＝CD，AC＝DB。求證：EA＝ED證：連接AD在△ADC和△DAB中

AC＝DB（已知）AB＝CD（已知）BC＝BC∴△ADC≌△DAB（S.S.S）∴∠1＝∠2ABDEC∴EA＝ED（等角對等邊）（公共邊）21如果連接的是BC，情況又會怎么樣呢？11/29/202316證明題思路分析方法：①要證什么②已有什么③還缺什么④創(chuàng)造條件注意1、證明兩個三角形全等，要結(jié)合題目的條件和結(jié)論，選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?/p>

2、全等三角形，是證明兩條線段或兩個角相等的重要方法之一，證明時

①要觀察待證的線段或角，在哪兩個可能全等的三角形中。②有公共邊的，公共邊一定是對應(yīng)邊，有公共角的，公共角一定是對應(yīng)角，有對頂角，對頂角也是對應(yīng)角總之，證明過程中能用簡單方法的就不要繞彎路。11/29/2023171、如圖,某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊,現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃,那么最省事的辦法是拿()去配.練習(xí)一:

③11/29/20231819實際運用2.測量如圖河的寬度，某人在河的對岸找到一參照物樹木Ａ，視線ＡＢ與河岸垂直，然后該人沿河岸步行１０步（每步約0.75M）到O處，進(jìn)行標(biāo)記，再向前步行10步到D處，最后背對河岸向前步行20步，此時樹木A，標(biāo)記O，恰好在同一視線上，則河的寬度為

米。15ABODC11/29/202319練習(xí)二:

3、如圖∠B=∠DEF,BC=EF,補充條件求證:ΔABC≌ΔDEFDEFABC(1)若要以“SAS”為依據(jù)，還缺條件

＿＿＿＿＿；

AB=DE(2)若要以“ASA”為依據(jù)，還缺條件＿＿＿＿；

∠ACB=∠DFE(3)若要以“AAS”為依據(jù)，還缺條件＿＿＿＿＿

∠A=∠D(4)若要以“SSS”為依據(jù)，還缺條件＿＿＿

AB=DEAC=DF(5)若∠B=∠DEF=90°要以“HL”為依據(jù)，還缺條件＿＿＿＿＿AC=DF11/29/202320==__ABCDP4、已知：如圖,P是BD上的任意一點AB=CB,AD=CD.求證:PA=PC①要證明PA=PC可將其放在ΔAPB和ΔCPB或ΔAPD和ΔCPD考慮②已有兩條邊對應(yīng)相等（其中一條是公共邊）

③還缺一組夾角對應(yīng)相等

若能使∠ABP=∠CBP或∠ADP=∠CDP即可。

創(chuàng)造條件－－ΔABD≌ΔCBD

分析：練習(xí)二:

11/29/2023214、已知：P是BD上的任意一點AB=CB,AD=CD.求證PA=PC證明：在△ABD和△CBD中

AB=CBAD=CDBD=BD∴△ABD≌△CBD(SSS)

∴∠ABD=∠CBD

在△ABP和△CBP中

AB=BC∠ABP=∠CBPBP=BP∴△ABP≌△CBP(SAS)

∴PA=PC==__ABCDP11/29/2023223、如圖△ABD≌△EBC，AB=3cm,BC=5cm,求DE的長解：∵△ABD≌△EBC∴AB=EB、BD=BC∵BD=DE+EB∴DE=BD-EB=BC-AB=5-3=2cm11/29/202323知識回顧：一般三角形

全等的條件：1.定義（重合）法；2.SSS；3.SAS；4.ASA；5.AAS.直角三角形全等特有的條件：HL.包括直角三角形不包括其它形狀的三角形解題中常用的4種方法11/29/202324練習(xí)1：如圖，AB=AD,CB=CD.求證:AC平分∠BADADCB證明：在△ABC和△ADC中

AC=ACAB=ADCB=CD∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠BAC=∠DAC∴AC平分∠BAD11/29/2023252、如圖，D在AB上，E在AC上，AB=AC,∠B=∠C,試問AD=AE嗎？為什么？EDCBA解：AD=AE理由：在△ACD和△ABE中∠B=∠CAB=AC∠A=∠A∴△ACD≌△ABE（ASA）∴AD=AE11/29/2023263、如圖，OB⊥AB,OC⊥AC,垂足為B,C,OB=OCAO平分∠BAC嗎？為什么？OCBA答：AO平分∠BAC理由：∵OB⊥AB,OC⊥AC∴∠B=∠C=90°

在Rt△ABO和Rt△ACO中

OB=OCAO=AO∴Rt△ABO≌Rt△ACO

（HL）∴∠BAO=∠CAO∴AO平分∠BAC11/29/2023274、如圖，AC和BD相交于點O,OA=OC,OB=OD

求證：DC∥AB證明：在△ABO和△CDO中

OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD∴△ABO≌△CDO（SAS）∴∠A=∠C∴DC∥ABAODBC11/29/202328練習(xí)5：如圖，小明不慎將一塊三角形模具打碎為兩塊，他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去，就能配一塊與原來一樣的三角形模具呢？如果可以，帶那塊去合適？為什么？BA11/29/202329FEDCBA6、如圖，已知AC∥EF,DE∥BA,若使△ABC≌△EDF,還需要補充的條件可以是或或或AB=EDAC=EFBC=DFDC=BF11/29/2023307：已知AC=DB,∠1=∠2.

求證:∠A=∠D21DCBA證明：在△ABC和△DCB中

AC=DB∠1=∠2

BC=CB∴△ABC≌△DCB（SAS）∴∠A=∠D

11/29/2023318、如圖，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。請問圖中有那幾對全等三角形？請任選一對給予證明。FEDCBA△ABF≌△DEC△CBF≌△FEC△ABC≌△DEF答：11/29/2023329、如圖，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么AC等于AD嗎？為什么？4321EDCBA解：AC=AD理由：在△EBC和△EBD中∠1=∠2∠3=∠4EB=EB∴△EBC≌△EBD(AAS)∴BC=BD在△ABC和△ABD中

AB=AB

∠1=∠2BC=BD∴△ABC≌△ABD(SAS)

∴AC=AD11/29/20233310、已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：BE=AD

EDCAB變式：以上條件不變，將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)一定角度（大于零度而小于六十度），以上的結(jié)論還成立嗎？證明：∵△ABC和△ECD都是等邊三角形∴AC=BCDC=EC∠BCA=∠DCE=60°∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE即∠BCE=∠DCA在△ACD和△BCE中

AC=BC∠BCE=∠DCADC=EC∴△ACD≌△BCE(SAS)∴BE=AD11/29/202334分析：由于兩個三角形完全重合，故面積、周長相等。至于D，因為AD和BC是對應(yīng)邊，因此AD＝BC。C符合題意。說明：本題的解題關(guān)鍵是要知道中兩個全等三角形中，對應(yīng)頂點定在對應(yīng)的位置上，易錯點是容易找錯對應(yīng)角

。例題精析：連接例題11/29/202335例2如圖2，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，求證：⊿ADF≌⊿CBE

11/29/202336

分析：已知△ABC≌△A1B1C1

，相當(dāng)于已知它們的對應(yīng)邊相等.在證明過程中，可根據(jù)需要，選取其中一部分相等關(guān)系.例3已知：如圖3，△ABC≌△A1B1C1，AD、A1D1分別是△ABC和△A1B1C1的高.求證：AD=A1D1圖311/29/202337例4：求證：有一條直角邊和斜邊上的高對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。分析：首先要分清題設(shè)和結(jié)論，然后按要求畫出圖形，根據(jù)題意寫出已知求證后，再寫出證明過程。說明：文字證明題的書寫格式要標(biāo)準(zhǔn)。11/29/202338例5、如圖6，已知：∠A＝90°，AB=BD，ED⊥BC于D.求證：AE＝ED

提示：找兩個全等三角形，需連結(jié)BE.圖611/29/202339例6、如圖：AB=AC，BD=CD，若∠B=28°則∠C=

；11/29/202340如圖：將紙片△ABC沿DE折疊，點A落在點F處，已知∠1+∠2=100°，則∠A=

度；11/29/2023411.如圖1：△ABF≌△CDE，∠B=30°，∠BAE=∠DCF=20°.求∠EFC的度數(shù).練習(xí)題：2、如圖2，已知：AD平分∠BAC，AB=AC，連接BD，CD，并延長相交AC、AB于F、E點．則圖形中有（

）對全等三角形.A、2

B、3

C4

D、5C圖1圖2（800）11/29/2023423、如圖3，已知：△ABC中，DF=FE，BD=CE，AF⊥BC于F，則此圖中全等三角形共有（

）

A、5對B、4對C、3對D2對

4、如圖4，已知：在△ABC中，AD是BC邊上的高，AD=BD，DE=DC，延長BE交AC于F，求證：BF是△ABC中邊上的高.

提示：關(guān)鍵證明△ADC≌△BFCB11/29/202343

5、如圖5，已知：AB=CD，AD=CB，O為AC任一點，過O作直線分別交AB、CD的延長線于F、E，求證：∠E=∠F.提示：由條件易證△ABC≌△CDA從而得知∠BAC＝∠DCA，即：AB∥CD.11/29/202344知識梳理：1：什么是全等三角形？一個三角形經(jīng)過哪些變化可以得到它的全等形？2：全等三角形有哪些性質(zhì)？3：三角形全等的判定方法有哪些？能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。一個三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)可以得到它的全等形。（1）：全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。（2）：全等三角形的周長相等、面積相等。（3）：全等三角形的對應(yīng)邊上的對應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等。SSS、SAS、ASA、AAS、HL(RT△)11/29/202345總結(jié)提高學(xué)習(xí)全等三角形應(yīng)注意以下幾個問題：（1):要正確區(qū)分“對應(yīng)邊”與“對邊”，“對應(yīng)角”與“對角”的不同含義；（2）：表示兩個三角形全等時，表示對應(yīng)頂點的字母要寫在對應(yīng)的位置上；（3）：要記住“有三個角對應(yīng)相等”或“有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等”的兩個三角形不一定全等；（4）：時刻注意圖形中的隱含條件，如“公共角”、“公共邊”、“對頂角”11/29/2023465、已知:如圖AB=AE,∠B=∠E，BC=EDAF⊥CD求證：點F是CD的中點分析：要證CF=DF可以考慮CF、DF所在的兩個三角形全等，為此可添加輔助線構(gòu)建三角形全等，如何添加輔助線呢?連結(jié)AC,AD

添加輔助線是幾何證明中很重要的一種思路

拓展練習(xí)11/29/202347證明：連結(jié)ＡＣ和ＡＤ∵在△ＡＢＣ和△ＡＥＤ中，ＡＢ＝ＡＥ，∠B=∠E，

ＢＣ＝ＥＤ∴△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ（ＳＡＳ）∴ＡＣ＝ＡＤ（全等三角形的對應(yīng)邊相等）∵ＡＦ⊥ＣＤ∴∠AFC=∠AFD=90°，

在Ｒt△AFC和Ｒt△AFD中ＡＣ＝ＡＤ（已證）ＡＦ＝ＡＦ（公共邊）∴Ｒt△AFC≌Ｒt△AFD（ＨＬ）∴ＣＦ＝ＦＤ（全等三角形的對應(yīng)邊相等）∴點F是CD的中點11/29/202348

6、如圖，△DAC和△EBC均是等邊三角形，AE、BD分別與CD、CE交于點M、N，有如下結(jié)論：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN。其中，正確結(jié)論的個數(shù)是().(A)3個（B）2個(C)1個（D）0個B11/29/2023497、如圖：以△ABC的兩邊AB、AC為邊分別向外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE、CD交于點O.求證：OA平分∠DOE。ABCDEOGH11/29/2023508.如圖，在R△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，點D是AB的中點，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延長線于E，求證：BC垂直且平分DE.11/29/2023519.已知：如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長線上截取CG=AB，連結(jié)AD、AG。求證：△AD