固體物理重點計算題

1.3、證明：面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。證明：〔1〕面心立方的正格子基矢〔固體物理學(xué)原胞基矢〕：由倒格子基矢的定義：，同理可得：即面心立方的倒格子基矢與體心立方的正格基矢相同。所以，面心立方的倒格子是體心立方?！?〕體心立方的正格子基矢〔固體物理學(xué)原胞基矢〕：由倒格子基矢的定義：，同理可得：即體心立方的倒格子基矢與面心立方的正格基矢相同。所以，體心立方的倒格子是面心立方。1.5、證明倒格子矢量垂直于密勒指數(shù)為的晶面系。證明：因為，利用，容易證明所以，倒格子矢量垂直于密勒指數(shù)為的晶面系。1.6、對于簡單立方晶格，證明密勒指數(shù)為的晶面系，面間距滿足：，其中為立方邊長；并說明面指數(shù)簡單的晶面，其面密度較大，容易解理。解：簡單立方晶格：，由倒格子基矢的定義：，，倒格子基矢：倒格子矢量：，晶面族的面間距：面指數(shù)越簡單的晶面，其晶面的間距越大，晶面上格點的密度越大，單位外表的能量越小，這樣的晶面越容易解理。1.9、畫出立方晶格〔111〕面、〔100〕面、〔110〕面，并指出〔111〕面與〔100〕面、〔111〕面與〔110〕面的交線的晶向。解：1、(111)面與(100)面的交線的AB，AB平移，A與O點重合，B點位矢：，(111)面與(100)面的交線的晶向，晶向指數(shù)。2、(111)面與(110)面的交線的AB，將AB平移，A與原點O重合，B點位矢：，(111)面與(110)面的交線的晶向，晶向指數(shù)。2.3、假設(shè)一晶體的相互作用能可以表示為試求：〔1〕平衡間距；〔2〕結(jié)合能〔單個原子的〕；〔3〕體彈性模量；〔4〕假設(shè)取，計算及的值。解：〔1〕求平衡間距r0由，有：結(jié)合能：設(shè)想把分散的原子〔離子或分子〕結(jié)合成為晶體，將有一定的能量釋放出來，這個能量稱為結(jié)合能〔用w表示〕〔2〕求結(jié)合能w〔單個原子的〕題中標明單個原子是為了使問題簡化，說明組成晶體的根本單元是單個原子，而非原子團、離子基團，或其它復(fù)雜的基元。顯然結(jié)合能就是平衡時，晶體的勢能，即Umin即：〔可代入r0值，也可不代入〕〔3〕體彈性模量由體彈性模量公式：〔4〕m=2，n=10，，w=4eV，求α、β①②將，代入①②2.6、bcc和fccNe的結(jié)合能，用林納德—瓊斯(Lennard—Jones)勢計算Ne在bcc和fcc結(jié)構(gòu)中的結(jié)合能之比值．＜解＞3.10、設(shè)晶體中每個振子的零點振動能為，使用德拜模型求晶體的零點振動能。證明:根據(jù)量子力學(xué)零點能是諧振子所固有的，與溫度無關(guān)，故T=0K時振動能就是各振動模零點能之和。和代入積分有，由于一股晶體德拜溫度為~，可見零點振動能是相當(dāng)大的，其量值可與溫升數(shù)百度所需熱能相比較．3.11、一維復(fù)式格子求〔1〕，光學(xué)波，聲學(xué)波。〔2〕相應(yīng)聲子能量是多少電子伏。〔3〕在300k時的平均聲子數(shù)。〔4〕與相對應(yīng)的電磁波波長在什么波段。＜解＞〔1〕，〔2〕〔3〕〔4〕5.1、設(shè)有一維晶體的電子能帶可寫成，其中為晶格常數(shù)，是電子的質(zhì)量。試求〔1〕能帶寬度；〔2〕電子在波矢k狀態(tài)的速度；〔3〕帶頂和帶底的電子有效質(zhì)量。解：〔1〕=－coska+(2cos2ka－1)]＝(coska－2)2－1當(dāng)ka＝(2