反常積分的概念

第一節(jié)反常積分的概念

第二節(jié)無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂判別

第三節(jié)瑕積分的性質(zhì)與收斂判別

第十一章反常積分一、內(nèi)容簡(jiǎn)介本章主要介紹無(wú)窮積分與無(wú)界函數(shù)反常積分的概念、計(jì)算及其絕對(duì)收斂和條件收斂性的判別。本章是常義積分理論的擴(kuò)展，也是含參變量積分理論的基礎(chǔ)，其中關(guān)于含參數(shù)反常積分的收斂性的判別相當(dāng)繁瑣，做習(xí)題的難度較大．二、學(xué)習(xí)要求（1）了解無(wú)界函數(shù)反常積分的收斂性判別法以及絕對(duì)可積和平方可積的概念；（2）正確理解無(wú)窮積分與無(wú)界函數(shù)反常積分的收斂性；（3）掌握無(wú)窮積分收斂性的比較判別法和A-D判別法三、學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：反常積分收斂性的比較判別法和A-D判別法難點(diǎn)：含參數(shù)反常積分的條件收斂性的判別11.1反常積分概念一、引例二、無(wú)窮限的廣義積分三、無(wú)界函數(shù)的廣義積分

一、問(wèn)題提出第一節(jié)反常積分的概念例：0xy1b解：由于這個(gè)圖形不是封閉的曲邊梯形,而在x軸的正方向是開(kāi)口的，即這是的積分區(qū)間為[1，∞），顯然當(dāng)b改變時(shí)，曲邊梯形的面積也隨之改變，則所求曲邊梯形的面積為1二、無(wú)窮限的廣義積分.定義1:設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,+

)上連續(xù),取b>a,如果極限存在,則稱(chēng)此極限為函數(shù)

f(x)在無(wú)窮區(qū)間[a,+

)上的廣義積分,記作(1)這時(shí)也稱(chēng)廣義積分

收斂;若上述極限不存在,就稱(chēng)廣義積分

發(fā)散,這時(shí)記號(hào)

不再表示數(shù)值了。

例如：oyxb1例1計(jì)算廣義積分解aboxy解:證練習(xí)1.確定下列無(wú)窮積分是否收斂，若收斂算出它的值.解：練習(xí)2計(jì)算廣義積分解三、無(wú)界函數(shù)的廣義積分定義中C為瑕點(diǎn)，以上積分稱(chēng)為瑕積分.例４

計(jì)算廣義積分解oyxaa

圖5-7-1證

例５證明廣義積分ò101dxxq當(dāng)1<q時(shí)收斂，當(dāng)13q時(shí)發(fā)散.當(dāng)q<1時(shí),收斂;當(dāng)q

1時(shí),發(fā)散.

證:當(dāng)q=1時(shí)當(dāng)q

1時(shí),

因此,當(dāng)q<1時(shí),廣義積分

收斂,其值為當(dāng)q

1時(shí),

廣義積分

發(fā)散.

例7計(jì)算廣義積分解故原廣義積分發(fā)散.例8計(jì)算廣義積分解瑕點(diǎn)注意

廣義積分與定積分不同，尤其是瑕積分，它與定積分采用同一種表達(dá)方式，但其含義卻不同，遇到有限區(qū)間上的積分時(shí)，要仔細(xì)檢查是否有瑕點(diǎn)。

廣義積分中，N-L公式，換元積分公式、分部積