排列與組合復(fù)習(xí)

排列組合復(fù)習(xí)

計(jì)數(shù)的基本原理排列組合排列數(shù)Anm公式組合數(shù)Cnm公式組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)應(yīng)用本章知識(shí)結(jié)構(gòu)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理

完成一件事,有n類(lèi)辦法,在第1類(lèi)辦法中,有m1種不同的方法,在第2類(lèi)辦法中,有m2種不同的方法……在第n類(lèi)辦法中,有mn種不同的方法,則完成這件事有N=m1+m2+……+mn種不同的方法分步計(jì)數(shù)原理

完成一件事,需要分成n個(gè)步驟,在第1步中,有m1種不同的方法,在第2步中,有m2種不同的方法……在第n步中,有mn種不同的方法,則完成這件事有N=m1×m2×……×mn種不同的方法分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理之間的區(qū)別與聯(lián)系1．分類(lèi)計(jì)數(shù)原理中各類(lèi)方法之間是互相獨(dú)立的，每一類(lèi)每一種方法都能直接完成這件事情，分步計(jì)數(shù)原理中，各個(gè)步驟之間是相互聯(lián)系的，依次完成所有步驟才能完成這件事情．2．分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的重點(diǎn)在一個(gè)“類(lèi)”字，分步計(jì)數(shù)原理的重點(diǎn)在一個(gè)“步”字，應(yīng)用加法原理時(shí)，要注意“類(lèi)”與“類(lèi)”之間的獨(dú)立性和并列性，在各類(lèi)辦法中彼此是獨(dú)立的，并列的．應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理時(shí)，要注意“步”與“步”之間的連續(xù)性，做一件事需分成若干個(gè)步驟，每個(gè)步驟相繼完成，最后才算做完整個(gè)工作練習(xí)1：書(shū)架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，5本不同的語(yǔ)文書(shū)，6本不同的英語(yǔ)書(shū)．（1）若從這些書(shū)中任取一本，有多少種不同的取法？（2）若從這些書(shū)中，取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各一本，有多少種不同的取法？（3）若從這些書(shū)中取不同的科目的書(shū)兩本，有多少種不同的取法？

答案：N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．N=m1×m2×m3=90．N=3×5＋3×6＋5×6=63．練習(xí)2：

由數(shù)字0，1，2，3，4可以組成多少個(gè)三位整數(shù)（各位上的數(shù)字允許重復(fù)）？解：要組成一個(gè)三位數(shù)，需要分成三個(gè)步驟：第一步確定百位上的數(shù)字，從1～4這4個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)數(shù)字，有4種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，共有5種選法；第三步確定個(gè)位上的數(shù)字，仍有5種選法．根據(jù)乘法原理，得到可以組成的三位整數(shù)的個(gè)數(shù)是

N=4×5×5=100．

答：可以組成100個(gè)三位整數(shù)．

從n個(gè)不同的元素中，任取A個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同的元素中取出A個(gè)元素的一個(gè)排列。排列與排列數(shù)所有排列的個(gè)數(shù)叫做排列數(shù)，用表示。判斷下列幾個(gè)問(wèn)題是不是排列問(wèn)題?①?gòu)陌嗉?jí)5名優(yōu)秀團(tuán)員中選出3人參加上午的團(tuán)委會(huì)②1000本參考書(shū)中選出100本給100位同學(xué)每人一本③1000名來(lái)賓中選20名貴賓分別坐1～20號(hào)貴賓席組合

④兩個(gè)組合的元素完全相同為相同組合注①n個(gè)不同元素②m≤n③組合與元素的順序無(wú)關(guān)排列與元素的順序有關(guān)

從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)表示方法Cmn從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m﹗例2

計(jì)算:

C10

7(2)C7

4(1)C例3

求證

mCnCn

m+1=m+1n-m判斷下列幾個(gè)問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題?⑤四個(gè)足球隊(duì)舉行單循環(huán)比賽(每?jī)申?duì)比賽一場(chǎng))共有多少種比賽?⑥四個(gè)足球隊(duì)舉行單循環(huán)比賽的所有冠亞軍的可能性情況有多少種?③從2,3,4,5,6中任取兩數(shù)構(gòu)成指數(shù),有多少個(gè)不同的指數(shù)?④從2,3,4,5,6中任取兩數(shù)相加,有多少個(gè)不同的結(jié)果?①十個(gè)人相互通了一封信,共有多少封信?②十個(gè)人相互通了一次電話,共打了多少個(gè)電話?1）由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)共有個(gè)。2）用0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有個(gè)。

3）五名同學(xué)排成一排，其中的甲乙兩同學(xué)必須站在兩端，共有種不同排法。4810012例1典型例題例2從1到6這六個(gè)數(shù)字中任取5個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),且個(gè)位和百位必須是奇數(shù),這樣的五位數(shù)共有多少個(gè)?萬(wàn)千百十個(gè)萬(wàn)千百十個(gè)萬(wàn)千百十個(gè)解法一:N==144個(gè)解法二:N=-=144個(gè)有條件的排列問(wèn)題有條件的排列問(wèn)題

例3七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。a)若三個(gè)女孩要站在一起，有多少種不同的排法？解：將三個(gè)女孩看作一人與四個(gè)男孩排隊(duì)，有

種排法，而三個(gè)女孩之間有種排法，所以不同的排法共有：（種）。捆綁法有條件的排列問(wèn)題七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。b)若三個(gè)女孩要站在一起，四個(gè)男孩也要站在一起，有多少種不同的排法？不同的排法有：（種）說(shuō)一說(shuō)捆綁法一般適用于問(wèn)題的處理。相鄰有條件的排列問(wèn)題七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。c)若三個(gè)女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？解：先把四個(gè)男孩排成一排有種排法，在每一排列中有五個(gè)空檔（包括兩端），再把三個(gè)女孩插入空檔中有種方法，所以共有：（種）排法。有條件的排列問(wèn)題七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。c)若三個(gè)女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？插空法有條件的排列問(wèn)題七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。d)若三個(gè)女孩互不相鄰，四個(gè)男孩也互不相鄰，有多少種不同的排法？不同的排法共有：（種）說(shuō)一說(shuō)插空法一般適用于問(wèn)題的處理?；ゲ幌噜廈有條件的排列問(wèn)題七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。e)若其中的A小孩必須站在B小孩的左邊，有多少種不同的排法？BAA解：A在B左邊的一種排法必對(duì)應(yīng)著A在B右邊的一種排法，所以在全排列中，A在B左邊與A在B右邊的排法數(shù)相等，因此有：排法。（種）有條件的排列問(wèn)題七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。e)若其中的A小孩必須站在B小孩的左邊，有多少種不同的排法？BA對(duì)應(yīng)思想例4

有12名劃船運(yùn)動(dòng)員,其中3人只會(huì)劃左舷,4人只會(huì)劃右舷,其它5人既會(huì)劃左舷,又會(huì)劃右舷,現(xiàn)要從這12名運(yùn)動(dòng)員中選出6人平均分在左右舷參加劃船比賽,有多少種不同的選法?

例5

某班一天有數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、物理、英語(yǔ)、