專(zhuān)題09 與圓有關(guān)的綜合壓軸題（原卷版）

專(zhuān)題9與圓有關(guān)的綜合壓軸題題型一：圓與三角函數(shù)相似的結(jié)合【例1】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D是弧BC的中點(diǎn)，BC與AD、OD分別交于點(diǎn)E、F．（1）求證：DO∥AC；（2）求證：DE?DA＝DC2；（3）若tan∠CAD=12，求sin∠【例2】已知，在中，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的分別交，于點(diǎn)，，連接，連接交于點(diǎn)．求證：為的切線(xiàn)．（2）求證：（3）若，，求的長(zhǎng)度．【例3】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，點(diǎn)E在圓外，OE⊥AC于D，BE交⊙O于點(diǎn)F，連接BD，BC，CF，∠BFC＝∠AED．求證：AE是⊙O的切線(xiàn)；（2）求證：△BOD∽△EOB；（3）設(shè)△BOD的面積為S1，△BCF的面積為S2，若tan∠ODB=53，求題型二：圓與三角形、四邊形的綜合【例1】如圖，內(nèi)接于中，弦BC交AD于點(diǎn)E，連接CD，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，BG交于點(diǎn)H，．(1)如圖1，求證：DB平分；(2)如圖2，于點(diǎn)N，CN＝CG，求證：AN＝HG；(3)如圖3．在（2）的條件下，點(diǎn)F在AE上，連接BF、CF，且，，BC＝5．求AE的長(zhǎng)．【例2】如圖，在△ABC中，，D為邊BC上一點(diǎn)，于點(diǎn)E，以DE為直徑的⊙O分別交線(xiàn)段BD，AD于點(diǎn)F，G，連結(jié)EF，EG．(1)求證：．(2)若，當(dāng)DG與四邊形DGEF其它三邊中的一邊相等時(shí)，求所有滿(mǎn)足條件的BD的長(zhǎng)．(3)當(dāng)時(shí)，連結(jié)OC交AD于點(diǎn)H，記△DOH的面積為，△ACH的面積為，若，則的值為．（在橫線(xiàn)上直接寫(xiě)出答案）【例3】．在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD．(1)如圖1，已知AB⊥AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，CE⊥AD于點(diǎn)E．若AD＝7，CE＝4，求AE的長(zhǎng)度：(2)如圖2，當(dāng)∠B＝45°，AC＝AD時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連接DF，求證：DC＝．(3)如圖3，當(dāng)∠B＝45°，AC＝12，點(diǎn)D是邊BC中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AC交AC于點(diǎn)N，當(dāng)線(xiàn)段DN取最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【例4】(1)發(fā)現(xiàn)：如圖1，在平面內(nèi)，已知⊙A的半徑為r，B為⊙A外一點(diǎn)，且AB＝a，P為⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，易得PB的最大值為，最小值為；（用含a，r的代數(shù)式表示）(2)應(yīng)用：①如圖2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E為AD邊中點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)沿EF將△AEF翻折得到△PEF，連接PB，則PB的最小值為；②如圖3，點(diǎn)P為線(xiàn)段AB外一動(dòng)點(diǎn)，分別以PA、PB為直角邊，P為直角頂點(diǎn)，作等腰Rt△APC和等腰Rt△BPD，連接BC、AD．若AP＝3，AB＝7，求AD的最大值；(3)拓展：如圖4，已知以AB為直徑的半圓O，C為弧AB上一點(diǎn)，∠ABC＝60°，P為弧BC上任意一點(diǎn)，CD⊥CP交AP于D，連接BD，若AB＝6，則BD的最小值為．題型三：瓜豆原理【例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半徑為2，P為⊙A上任意一點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，則OE的最小值是（）A．1 B．32 C．2 D．【例2】如圖，等邊△ABC中，AB＝2，點(diǎn)D是以A為圓心，半徑為1的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，取CD的中點(diǎn)E，連接BE，則線(xiàn)段BE的最大值與最小值之和為．【例3】如圖，直線(xiàn)y=34x+3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，⊙O的半徑為2，點(diǎn)P是⊙O上動(dòng)點(diǎn)，△ABP面積的最大值為cm【例4】如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為2，圓心坐標(biāo)為（4，0），y軸上有點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)C是⊙A上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，則OP的范圍是．【例5】如圖，∠BAD＝90°，AB＝AD＝4，點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且BC＝2，點(diǎn)M為線(xiàn)段CD中點(diǎn)，則線(xiàn)段AM的取值范圍為．課后作業(yè):1、如圖，矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，連接DE，P是DE上一點(diǎn)，∠BPC＝90°，延長(zhǎng)CP交AD于點(diǎn)F．⊙O經(jīng)過(guò)P、D、F，交CD于點(diǎn)G．（1）求證DF＝DP；（2）若AB＝12，BC＝10，求DG的長(zhǎng)；（3）連接BF，若BF是⊙O的切線(xiàn)，直接寫(xiě)出ABBC2、（2021?泰安中考）如圖1，O為半圓的圓心，C、D為半圓上的兩點(diǎn)，且＝．連接AC并延長(zhǎng)，與BD的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E．（1）求證：CD＝ED；（2）AD與OC，BC分別交于點(diǎn)F，H．①若CF＝CH，如圖2，求證：CF?AF＝FO?AH；②若圓的半徑為2，BD＝1，如圖3，求AC的值．3、（2021?寧波中考）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD為直徑，上存在點(diǎn)E，滿(mǎn)足＝，連結(jié)BE并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，BE與AD交于點(diǎn)G．（1）若∠DBC＝α，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠AGB．（2）如圖2，連結(jié)CE，CE＝BG．求證：EF＝DG．（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)CG，AD＝2．①若tan∠ADB＝，求△FGD的周長(zhǎng)．②求CG的最小值．4．如圖1，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為12cm，∠B＝60°，M，N分別在邊AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，沿折線(xiàn)MB﹣BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)C重合）；△APC的外接圓⊙O與CD相交于點(diǎn)E，連接PE交AC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．(1)∠APE＝°；(2)若⊙O與AD相切，①判斷⊙O與CD的位置關(guān)系；②求的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求CF的最大值，并判斷此時(shí)PE與AC的位置關(guān)系；(4)若點(diǎn)N在⊙O的內(nèi)部，直接寫(xiě)出t的取值范圍．5．為了解決一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們常常采用從特殊到一般的思想，先從特殊的情形入手，從中找到解決問(wèn)題的方法．已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)E．【特殊情形】(1)如圖①，，過(guò)圓心O作，垂足為F．當(dāng)BD是圓O的直徑時(shí)，求證：．【一般情形】(2)如圖②，，過(guò)圓心O作，垂足為F．當(dāng)BD不是圓O的直徑時(shí)，求證