2023-2024學年九年級數(shù)學中考專題培優(yōu)訓練第9講隱圓模型（原卷版）

中考數(shù)學幾何模型9：隱圓模型名師點睛撥開云霧開門見山【點睛1】觸發(fā)隱圓模型的類型（1）動點定長模型若P為動點，但AB=AC=AP原理：圓A中，AB=AC=AP則B、C、P三點共圓，A圓心，AB半徑備注：常轉全等或相似證明出定長（2）直角圓周角模型固定線段AB所對動角∠C恒為90°原理：圓O中，圓周角為90°所對弦是直徑則A、B、C三點共圓，AB為直徑備注：常通過互余轉換等證明出動角恒為直角（3）定弦定角模型固定線段AB所對動角∠P為定值原理：弦AB所對同側圓周角恒相等則點P運動軌跡為過A、B、C三點的圓備注：點P在優(yōu)弧、劣弧上運動皆可（4）四點共圓模型①若動角∠A+動角∠C=180°原理：圓內接四邊形對角互補則A、B、C、D四點共圓備注：點A與點C在線段AB異側（5）四點共圓模型②固定線段AB所對同側動角∠P=∠C原理：弦AB所對同側圓周角恒相等則A、B、C、P四點共圓備注：點P與點C需在線段AB同側【點睛2】圓中旋轉最值問題條件：線段AB繞點O旋轉一周，點M是線段AB上的一動點，點C是定點（1）求CM最小值與最大值（2）求線段AB掃過的面積（3）求最大值與最小值作法：如圖建立三個同心圓，作OM⊥AB，B、A、M運動路徑分別為大圓、中圓、小圓結論：①CM1最小，CM3最大②線段AB掃過面積為大圓與小圓組成的圓環(huán)面積③最小值以AB為底，CM1為高；最大值以AB為底，CM2為高典題探究啟迪思維探究重點例題1.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A`MN，連接A`C，則A`C長度的最小值是__________．變式練習>>>1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點F在邊AC上，并且CF=2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是__________．例題2.如圖，已知圓C的半徑為3，圓外一定點O滿足OC=5，點P為圓C上一動點，經(jīng)過點O的直線l上有兩點A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不經(jīng)過點C，則AB的最小值為________．變式練習>>>2．如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分別是直線BC、AB上的兩個動點，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，連接PF、PD，則PF+PD的最小值是_________．例題3.如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE=DF，連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H，若正方形邊長為2，則線段DH長度的最小值是________．變式練習>>>3．如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值是_________．例題4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，點D是AC上的一個動點，以CD為直徑作圓O，連接BD交圓O于點E，則AE的最小值為_________．變式練習>>>4．如圖，正方形ABCD的邊長為4，動點E、F分別從點A、C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿AB、CD向終點B、D移動，當點E到達點B時，運動停止，過點B作直線EF的垂線BG，垂足為點G，連接AG，則AG長的最小值為．例題5.如圖，等邊△ABC邊長為2，E、F分別是BC、CA上兩個動點，且BE=CF，連接AE、BF，交點為P點，則CP的最小值為________．變式練習>>>5．在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，則BC的長的取值范圍是________．例題6.如圖，ABCD為正方形，O為AC、BD的交點，△DCE為Rt△，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若OE＝，則正方形的面積為（）A．5 B．4 C．3 D．2變式練習>>>6．如圖，BE，CF為△ABC的高，且交于點H，連接AH并延長交于BC于點D，求證：AD⊥BC.例題7.如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，AC為對角線，過點D作DF⊥AB，垂足為E，交CB延長線于點F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，則ED的長為．變式練習>>>7．（1）如圖1，E是正方形ABCD的邊AB上的一點，過點E作DE的垂線交∠ABC的外角平分線于點F，求證：FE=DE.（2）如圖2，正方形ABCD，∠EAF＝45°，當點E，F(xiàn)分別在對角線BD、邊CD上，若FC＝6，則BE的長為．圖1圖2例題8.在銳角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△A1BC1，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉過程中，點P的對應點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值．變式練習>>>8．如圖，已知等邊△ABC的邊長為8，點P是AB邊上的一個動點（與點A、B不重合）．直線l是經(jīng)過點P的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點B的對應點是點B’．當PB=6時，在直線l變化過程中，求△ACB’面積的最大值．達標檢測領悟提升強化落實1.如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，AB=10，AC=8．D是弧BC上的一個動點，連接AD，過點C作CE⊥AD于E，連接BE．在點D移動的過程中，BE的最小值為．2.如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的長分別為3，5，求三角形OBE的面積．3.如圖，正方形ABCD的邊長是4，點E是AD邊上一動點，連接BE，過點A作AF⊥BE于點F，點P是AD邊上另一動點，則PC+PF的最小值為________．4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一動點，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于點F，則CF的最大值是_________．5.如圖，△ABC為等邊三角形，AB=3，若P為△ABC內一動點，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長度的最小值為_________．6.如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一個動點（含端點B，不含端點C），連接AD，過點C作CE⊥AD于E，連接BE，在點D移動的過程中，BE的取值范圍是_________．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，點D為線段BC上一動點．以CD為⊙O直徑，作AD交⊙O于點E，連BE，則BE的最小值為_________．8.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，點D是AC邊上一動點，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點E，則線段CE長度的最小值為_________．9.如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝8，點O