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PAGE由平行線截得的比例線段知識(shí)講解責(zé)編:康紅梅【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握平行線截線段成比例的基本事實(shí)及應(yīng)用;2、理解并掌握通過平行線截比例線段的基本事實(shí)等分一條已知線段;2、經(jīng)歷運(yùn)用分類思想針對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的不同位置分別探究的過程,初步領(lǐng)略運(yùn)用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)、化歸和分類討論等思想進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的策略.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行線截線段成比例基本事實(shí):兩條直線被一組平行線(不少于3條)所截,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例已知如圖,直線l1、l2、l3是一組等距離的平行線,l4、l5是任意畫的兩條直線,分別于這組平行線一下相交于點(diǎn)A,B,C,D,E,F(xiàn),則比例式成立.要點(diǎn)詮釋:上圖的變式圖形:分A型和X型;A型X型則常用的比例式:依然成立.要點(diǎn)二、把已知線段AB五等分.已知線段AB,請(qǐng)利用尺規(guī)作圖把線段AB五等分.作法以A為端點(diǎn)作一條射線,并在射線上依次截取線段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.連結(jié)A5B,并過點(diǎn)A1,A2,A3,A4分別作A5B的平行線,依次交AB于點(diǎn)B1,B2,B3,B4.則點(diǎn)B1,B2,B3,B4就是所求作的把線段AB五等分的點(diǎn).依據(jù):實(shí)際上,過點(diǎn)A作l∥A5B,根據(jù)平行線分線段成比例的基本事實(shí),就可以得到如下關(guān)系式∵AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5,∴AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,∴點(diǎn)B1,B2,B3,B4把線段AB五等分.要點(diǎn)詮釋:在射線上截取等長(zhǎng)的線段時(shí)使用的作圖工具是圓規(guī),不能使用直尺進(jìn)行量取,尺規(guī)作圖中的直尺是沒有刻度的,它的用途是畫線或者連線.【典型例題】類型一、平行線截線段成比例1.(2016?蘭州)如圖,在△ABC中,DE∥BC,若=,則=()A. B. C. D.【思路點(diǎn)撥】直接利用平行線分線段成比例定理寫出答案即可.【答案】C.【解析】解:∵DE∥BC,∴==,故選C.【總結(jié)升華】本題考查了平行線分線段成比例定理,了解定理的內(nèi)容是解答本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)定義或定理,難度不大.舉一反三【變式】如圖,在⊿ABC,DG∥EC,EG∥BC,求證:【答案】∵DG∥EC,∴,∵EG∥BC,∴,∴,即.2.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,點(diǎn)E、F、G、H分別在矩形ABCD的各邊上,EF∥AC∥HG,EH∥BD∥FG,則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是().A.B.13C.D.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)矩形的對(duì)角線相等,利用勾股定理求出對(duì)角線的長(zhǎng)度,然后根據(jù)平行線分線段成比例的基本事實(shí)列式表示出EF、EH的長(zhǎng)度之和,再根據(jù)四邊形EFGH是平行四邊形,即可得解.【答案與解析】在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,
根據(jù)勾股定理,AC=BD===,
∵EF∥AC∥HG,
∴,
∵EH∥BD∥FG,
∴,
∴=1,
∴EF+EH=AC=,
∵EF∥HG,EH∥FG,
∴四邊形EFGH是平行四邊形,
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=2(EF+EH)=.
故選D.【總結(jié)升華】本題考查了平行線分線段成比例的基本事實(shí),矩形的對(duì)角線相等,勾股定理,根據(jù)平行線分線段成比例的基本事實(shí)求出是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn)..3.如圖,AM是△ABC的中線,P是AM上任意一點(diǎn),BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于E、D兩點(diǎn).求證:DE∥BC.【答案與解析】延長(zhǎng)AM到H,使HM=MP,連接BH、CH
∵BM=MC
∴四邊形BPCH是平行四邊形
∵BH∥CD,CH∥BE
在△ABH和△ACH中,
有,∴DE∥BC
【總結(jié)升華】平行線所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例,而兩條平行線中的線段與所截得的線段不成比例.舉一反三
【變式】如圖,在△ABC(AB>AC)的邊AB上取一點(diǎn)D,在邊AC上取一點(diǎn)E,使AD=AE,直線DE和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,求證:.【答案】過點(diǎn)C作CF∥AB交DP于點(diǎn)F,∵CF∥AB,∴∠ADE=∠EFC∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠FEC∴∠EFC=∠FEC∴CF=CE∵CF∥AB∴,即.4.如圖已知△ABC中AB=AC,AD⊥BC,M是AD的中點(diǎn),CM交AB于P,DN∥CP交AB于N,若AB=6cm,求AP的值.
【答案與解析】∵AB=AC,AD⊥BC
∴BD=DC
∵DN∥CP
∴BN=NP又AM=MD
∴AP=PN==2cm【總結(jié)升華】此題利用平行線截線段成比例的基本事實(shí),結(jié)合中點(diǎn)定義找出線段的比值,進(jìn)而求出線段的長(zhǎng).舉一反三【變式】如圖,直線l1∥l2∥l3,直線AC分別交l1,l2,l3于點(diǎn)A,B,C,直線DF分別交l1,l2,l3于點(diǎn)D,E,F(xiàn),AC與DF相交于點(diǎn)G,且AG=2,GB=1,BC=5,則的值為()B.2C.D.【答案】D.提示:∵AG=2,GB=1,∴AB=AG+BG=3,∵直線l1∥l2∥l3,∴=.5把已知線段a(如圖)三等分.【答案與解析】作法1.把已知線段a的兩端點(diǎn)分別標(biāo)注字母A,B,再以A為端點(diǎn)作一條射線,并在射線上依次截取線段AA1=A1A2=A2A35.
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