72-數(shù)項級數(shù)收斂性判別法

節(jié)數(shù)項級數(shù)收斂性判別法章?8/18/2021（Interrogateofconstanttermseries）一、正項級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂四、小結(jié)與思考練習(xí)一、正項級數(shù)及其審斂法收斂部分和序列有界.收斂,∴部分和數(shù)列有界,故又已知故有界.若

則稱定理

1

正項級數(shù)為正項級數(shù).單調(diào)遞增,收斂,從而也收斂.證:“”若“”(Interrogate

of

positive

term

ser?8/18/2021?8/18/2021證根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是收斂的．?8/18/2021(常數(shù)p>0)解:

1)

若因為對一切而調(diào)和級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,由比較審斂法可知p級數(shù)例2

討論p

級數(shù)的斂散性.?8/18/2021因為當(dāng)故考慮強級數(shù)的部分和故強級數(shù)收斂,由比較審斂法知p級數(shù)收斂.時,2)若?8/18/2021解?8/18/2021定理3(比較審斂法的極限形式)設(shè)兩正項級數(shù)滿足

則有當(dāng)0<l<∞時,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;當(dāng)l=0當(dāng)l=∞?8/18/2021解?8/18/2021?8/18/2021?8/18/2021?8/18/2021(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:

(1)時,級數(shù)收斂;或

時,

級數(shù)發(fā)散.收斂,由比較審斂法可知?8/18/2021定理4

比值審斂法(

D’

Alembert

判別法)設(shè)

為正項級數(shù),

且

則所以級數(shù)發(fā)散.時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.因此說明:

當(dāng)例如,

p

–

級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.?8/18/2021從而(2)當(dāng)時?8/18/2021?8/18/2021對任意給定的正數(shù)為正項級證明提示:即分別利用上述不等式的左,右部分,可推出結(jié)論正確.定理5

根值審斂法(

Cauchy判別法)設(shè)數(shù),

且

則?8/18/2021時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,p–級數(shù)級數(shù)收斂;但級數(shù)發(fā)散.?8/18/2021說明:?8/18/2021二、交錯級數(shù)及其審斂法則各項符號正負相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).定理6

(

Leibnitz

判別法若)

交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂,且其和其余項滿足(Interrogate

of

staggered

seri?8/18/2021證:是單調(diào)遞增有界數(shù)列,故又故級數(shù)收斂于S,且?8/18/2021收斂收斂收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:?8/18/2021三、絕對收斂與條件收斂(Absolute

convergence

and

conditional

converg定義

對任意項級數(shù)

若

收斂,則稱原級數(shù)

絕對收斂；若原級數(shù)收斂,

但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,

則稱原數(shù)

條件收斂.例如：

為條件收斂.均為絕對收斂.?8/18/2021證:

設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令?8/18/2021定理7

絕對收斂的級數(shù)一定收斂.證:(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.?8/18/2021例11

證明下列級數(shù)絕對收斂:（補充題）(2)令收斂,因此?8/18/2021絕對收斂.?8/18/2021絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)具有完全不同的性質(zhì).?8/18/2021*定理8

絕對收斂級數(shù)不因改變項的位置而改變其和.*定理9(絕對收斂級數(shù)的乘法)設(shè)級數(shù)

與

都絕對收斂,其和分別為則對所有乘積

按任意順序排列得到的級數(shù)也絕對收斂,

其和為說明:條件收斂級數(shù)不具有這兩條性質(zhì).內(nèi)容小結(jié)利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性利用正項級數(shù)審斂法不滿足必要條件

發(fā)

散滿足比值審斂法根值審斂法收

斂發(fā)

散比較審斂法不定

部分和極限用它法判別

積分判別法?8/18/2021(

L.

P374,

5

)則交錯級數(shù)收斂概念:

為收斂級數(shù)絕對收斂條件收斂Leibniz判別法:3.任意項級數(shù)審斂法?8/18/2021課外練習(xí)習(xí)題7－2 1-8思考練習(xí)1、設(shè)正項級數(shù)提示:收斂,

能否推出

收斂?由比較判斂法可知收斂注意:反之不成立.例如,收