2021年海南省天一大聯(lián)考高考數(shù)學三模試卷（解析版）

2021年海南省天一大聯(lián)考高考數(shù)學三模試卷

一、單項選擇題(共8小題).

1.已知z=(l+2i)z,則|z|=()

A.百B.75C.3D.5

2.己知集合4={在2|-2＜》＜2},B={0,1},則下列判斷正確的是()

A.B&AB.AAB=0C.AQBD.BQA

3.已知二方是不共線的非零向量，若(2之-端)//(2+2百，則實數(shù)&=()

A.-4B.1C.-1D.2

4.“三個臭皮匠頂個諸葛亮”是一句俗語，比喻人多智慧多.假設每個“臭皮匠”單獨解

決某個問題的概率均為0.6,現(xiàn)讓三個“臭皮匠”分別獨立處理這個問題，則至少有一人

解決該問題的概率為()

A.0.6B.0.784C.0.8D.0.936

5.設數(shù)列{斯}的前〃項和為s?,若3斯+S"-2=“I(〃23),且C攵=1，〃3=3,則〃2021=()

A.4041B.4039C.2021D.2019

已知a￡(-22L)sin2則sina：

6.,6人=()

A.四4+加「2s

B.D.

101055

(X)=乙則哨-=(

7.已知函數(shù)/(X)為奇函數(shù),,g(x)為偶函數(shù)，且F(x)-g)

g⑴

Ae?+le2_]cbe?

B.D.

2

ee1+e1-e2

8.直四棱柱ABCQ-ASGOi的所有棱長均相等，/A￡?C=120°,M是8叢上一動點，當

AiM+MC取得最小值時，直線4M與SC所成角的余弦值為(

A.2?B.金C.—

555。?唔

二、多項選擇題(共4小題).

9.已知函數(shù)/(x)=|sinm:|,下列說法正確的是()

A./(%)為偶函數(shù)

B.f(x)的最小正周期為2

C.所有的整數(shù)都是f(x)的零點

D.f(x)在［0,1］上單調遞增

10.已知正四面體A3C。的棱長為m則（）

A.ABLCD

B.四面體A8CD的表面積為/質之

C.四面體ABC。的體積為恒z'

12_

D.四面體ABCD的外接球半徑為近

4

11.從1,2,3,4,5,6中任取三個不同的數(shù)組成一個三位數(shù)，則在所有組成的數(shù)中（）

A.奇數(shù)有60個

B.包含數(shù)字6的數(shù)有30個

C.個位和百位數(shù)字之和為6的數(shù)有24個

D.能被3整除的數(shù)有48個

12.如圖所示，“嫦娥五號”月球探測器飛行到月球附近時，首先在以月球球心尸為圓心

的圓形軌道I上繞月飛行，然后在P點處變軌進入以尸為一個焦點的橢圓軌道n上繞月

飛行，最后在Q點處變軌進入以F為圓心的圓形軌道in繞月飛行，設圓形軌道I的半徑

為R,圓形軌道in的半徑為廣，則（）

A.橢圓軌道II上任意兩點距離最大為2R

B.橢圓軌道H的焦距為R-r

C.若r不變，則R越大，橢圓軌道H的短軸越短

D.若R不變，則r越小橢圓軌道II的離心率越大

三、填空題（共4小題）.

13.任何疫苗在上市前都要經(jīng)過反復試驗和檢測，以確保其安全有效，某種預防新冠肺炎的

疫苗在5個國家進行臨床試驗，統(tǒng)計得到的疫苗有效率分別為95%,94%,69%,91%,

86%,則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.

22

14.雙曲線（b>0）的離心率為匹，則b=_____,過雙曲線的右焦點尸作

4b22

直線垂直于雙曲線的一條漸近線，垂足為A,設O為坐標原點，則|OA|=.

19

15.已知m>0,n>0,ni+n=1,則一+—二的最小值為_____.

mn+1

16.已知點P(m6)為曲線y=/〃(2x+l)上的一個動點，則北需趴的最小值為.

四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.在①6+c=ll,(2)cosJ?=-y?③sinC=3sin8這三個條件中任選一個，補充在下面問題

中，若問題中的三角形存在，求〃和c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△A3C,它的內角A,B,C的對邊分別為〃，b,c,且。=7,/?cosA=4,

?

18.已知等差數(shù)列｛斯｝滿足。2+。3=11，。5-。3=6.

(I)求｛斯｝的通項公式；

(II)設等比數(shù)列｛?。凉M足歷=%加=〃6,則｛為｝前7項之和與數(shù)列｛斯｝的第幾項相等？

參考數(shù)據(jù)：46=4096,47=16384.

19.某高中招聘教師，首先要對應聘者的工作經(jīng)歷進行評分，評分達標者進入面試，面試環(huán)

節(jié)應聘者要回答3道題，第一題為教育心理學知識，答對得2分，答錯得0分，后兩題

為學科專業(yè)知識，每道題答對得4分，答錯得0分.

(I)若一共有1000人應聘，他們的工作經(jīng)歷評分X服從正態(tài)分布N(63,132),76

分及以上達標，求進入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)(結果四舍五入保留整數(shù))；

(II)某進入面試的應聘者第一題答對的概率為旦，后兩題答對的概率均為芻，每道題

正確與否互不影響，求該應聘者的面試成績丫的分布列及數(shù)學期望.

附：若隨機變量X?N(H，82),則尸(尸8<X<n+8)=0.6827,P(|i-28<X<

H+28)=0.9545,P(p-38<X<p+38)=0.9973.

20.《九章算術》中將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉腌”，如圖所示，四面體

PABC中，PA_L平面ABC,AC=BC,。是棱AB的中點.

(I)證明：CDLPB.并判斷四面體PACO是否為鱉嚅.若是，寫出其每個面的直角(只

需寫出結論)；若不是，說明理由；

(II)若四面體尸A8C是鱉腌，且AP=AB=2,求二面角A-PB-C的余弦值.

21.已知直線y=2r與拋物線C：)?=2px(p>0)在第一象限內交于點P,點尸到C的準

線的距離為2.

(I)求拋物線C的方程；

(II)過點P且斜率為負的直線交C于點A,點A與AP垂直的直線交C于點B,且A,

B,尸不重合，求點B的縱坐標的最小值.

22.已知函數(shù)f(x)=1+alnx的一個極值點為％=i.

X

(I)求。的值，并說明工=1是f(X)的極大值點還是極小值點；

(II)函數(shù)g(x)=4e,n2-nif(x)(加為常數(shù)且m>0),討論g(x)的零點個數(shù).

參考答案

一、單項選擇題（共8小題）.

1.己知z=（1+2/）z,則|z|=（）

A.MB.75c.3D.5

解：z=（1+2/）i=-2+z,

所以|z|=、/U

故選:B.

2.已知集合4=比62|-2或》＜2},8={0,1},則下列判斷正確的是（）

A.B&AB.AClB=0C.AaBD.BQA

解：：A={-2,-1,0,1},B集合的元素都在集合A中，，BUA.

故選：D.

3.已知之，1是不共線的非零向量，若（2之-瓦）//（a+2b））則實數(shù)左=（）

A.-4B.1C.-1D.2

解：之，芯是不共線的非零向量，且//（之+23），

所以2X2-（-k）Xl=0,

解得k--4.

故選：A.

4.“三個臭皮匠頂個諸葛亮”是一句俗語，比喻人多智慧多.假設每個“臭皮匠”單獨解

決某個問題的概率均為0.6,現(xiàn)讓三個“臭皮匠”分別獨立處理這個問題，則至少有一人

解決該問題的概率為（）

A.0.6B.0.784C.0.8D.0.936

解：根據(jù)題意，三個“臭皮匠”分別獨立處理這個問題，都沒有解決問題的概率外=（1

-0.6）（1-0.6）（1-0.6）=0.064,

則至少有一人解決該問題的概率尸=1-P.=0.936,

故選：D.

5.設數(shù)列{&}的前n項和為Sn,若3a.+S"-2=S”+i（心3）,且az—\,a3—3,則“2021=（）

A.4041B.4039C.2021D.2019

解：3an+Sn-2=S?+i(〃23),

,?-Sn+\~Sfi-2—?！?1-1，

???！?1+〃〃-1(〃23)，

:。2=1，的=3,J。4=5,。4-。3=。3-〃2=2,

???數(shù)列｛斯｝從第二項開始，是以。2=1，公差為2的等差數(shù)歹U,

???。2021=。2+2019〃=1+4038=4039,

故選：B.

..尸/兀兀、.z.ajT、1?/、

6.已知a￡(一萬~，3-'S1n丁則rMsina=()

A.±3V3b.±373c."D.2

101055

解：因為sin2

所以l-cos(a守)=”,整理可得?os(af)=等

TTjr(0,皆),

因為a￡(--r—,—7—),可得a

36

所以sin(a-+-^-)=J1-CQs2(a■^■盧春

兀I.zn

則sina=sin[(a----]=sin(acos----cos

33言X9

_3x'R4TM

5210

故選：A.

3=()

7.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，且/(x)-g(x)=ex則

fg(l)

2212l+e?

Ae+l1C~

B.D.

22

eel+e1-e

解：根據(jù)題意,/(X)-g(九)=△則/(I)-g(1)=e，①,

/(-1)-g(-1)=-/(I)-g⑴=e'1=-,變形可得y(i)+g(1)=——,(2)

ee

13

聯(lián)立①②可得：/(I)ee,g⑴—_

~2~

1

eq

則有1112~2~1-e?

"Tl+e2>

e.

e

2

故選：c.

8.直四棱柱ABC。-481G0的所有棱長均相等，N4￡>C=120°,M是上一動點，當

AiM+MC取得最小值時，直線4M與5c所成角的余弦值為()

A.B.返C.—D.

55510

設直四棱柱ABCD-48CQ1的棱長為2,

當AM+MC取得最小值時，M為BBi的中點，

連接40,則則ND41M為直線AM與8C所成角，

此時，A[D=2五,A[M=心，

,：ZADC=120°,.?.△A3。為等邊三角形，得BD=2,

則△AMO為等腰三角形，可得cosNDA淖親

故選：A.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得3分有選錯的得0分

9.已知函數(shù)/(x)=|siniL<|,下列說法正確的是()

A./(x)為偶函數(shù)

B./(x)的最小正周期為2

C.所有的整數(shù)都是/(x)的零點

D./(%)在[0,1]上單調遞增

解：f(x)的定義域為R,且f(-x)=|sin(-TU')|=|sinnx|=f(x),

：.f(x)為偶函數(shù)，的最小正周期為1,

'：于Qk)=|sin%Ti|=O,kWZ,

...所有的整數(shù)都是f(x)的零點，

/（x）在（0,5）上單調遞增，在或，1］上單調遞減，."（X）在［0,1］上沒有單調性.

故選：AC.

10.已知正四面體ABC。的棱長為小則（）

A.ABYCD

B.四面體A3CD的表面積為，加2

C.四面體A8C。的體積為區(qū)3

12_

D.四面體ABCZ）的外接球半徑為近

4

解：A,如圖，取CZ）中點M,連接8M,AM,可得C￡>_LBM,CDLAM,即可得CO_L

面ABM,即有C￡）J_AB,故正確；

8、；正四面體ABC。的各棱長為m.?.正四面體ABC。的表面積=4x2^2=?a2.故

正確；

C、如圖，設A在底面BCF的投影為“，則8”=近■8，

3

22=

^^A/AB-BH—a>四面體ABCD的體積為工,返a2?近巴=返之，故錯；

D、將正四面體ABC。，補成正方體，則正四面體48C。的棱為正方體的面上對角線，

?..正四面體A8C。的棱長為小正方體的棱長為亞a,正四面體的外接球，就是以

2

正四面體的棱為面對角線的正方體的外接球，球的直徑就是正方體的對角線的長，所以

正方體的對角線為2凡2R=叵?xJQ，，R=1.故正確.

24

故選：ABD.

11.從1,2,3,4,5,6中任取三個不同的數(shù)組成一個三位數(shù)，則在所有組成的數(shù)中（）

A.奇數(shù)有60個

B.包含數(shù)字6的數(shù)有30個

C.個位和百位數(shù)字之和為6的數(shù)有24個

D.能被3整除的數(shù)有48個

解：對于4先確定個位，有3種選擇方法，再確定百位和十位，故有&'&2=60個，

故A正確；

對于B：從1,2,3,4,5中任選2個和6全排，故有C52A38=60個，故8錯誤；

對于C：個位和百位數(shù)字之和為6有(1,5),(2,4),2A22Ali=16個，故C錯誤；

對于。：能把3整除，則三個數(shù)字之和為3的倍數(shù)，共有(1,2,3),(1,2,6),

(1,3,5),(1,5,6),(2,3,4),(2,4,6),(3,4,5),(4,5,6)

八種選擇，

故能被3整除的數(shù)有8A3^=48個，故。正確.

故選：AC.

12.如圖所示，“嫦娥五號”月球探測器飛行到月球附近時，首先在以月球球心廠為圓心

的圓形軌道I上繞月飛行，然后在P點處變軌進入以尸為一個焦點的橢圓軌道II上繞月

飛行，最后在。點處變軌進入以尸為圓心的圓形軌道ni繞月飛行，設圓形軌道I的半徑

為R,圓形軌道HI的半徑為r,則()

A.橢圓軌道H上任意兩點距離最大為2K

B.橢圓軌道H的焦距為R-r

C.若r不變，則R越大，橢圓軌道H的短軸越短

D.若R不變，則r越小橢圓軌道II的離心率越大

解：由題可知橢圓軌道I的半徑為R,

22

H為橢圓，設為與七=1,所以a+c=R①，

in為圓形軌道，半徑為r,所以a-c=r@,

對于A：由題可知橢圓II上任意兩點最大距離為2a=R+r#2R,故A不正確:

對于8：橢圓II的焦距為2c,

①-②得，2c=R-r,故8正確;

對于C：由①②得。="三，。=與二,

所以2b=2力2_?2=2，-促；）2_在；）2=2后,

若r不變，R越大，28越大，故C不正確;

2

2r_

對于D：1-R1,

R+r—+1

r

2

R不變，r越小，顯越大,R―越小，則e越大，故。正確.

r—+1

r

故選：BD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.任何疫苗在上市前都要經(jīng)過反復試驗和檢測，以確保其安全有效，某種預防新冠肺炎的

疫苗在5個國家進行臨床試驗，統(tǒng)計得到的疫苗有效率分別為95%,94%,69%,91%,

86%,則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為87%.

解：根據(jù)題意可得，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為695+0?膽+°;69+0.91+0.；北*100%=87%.

故答案為：87%.

22

14.雙曲線（匕>0）的離心率為匹，則6=1,過雙曲線的右焦點F作直

4b22一

線垂直于雙曲線的一條漸近線，垂足為A,設。為坐標原點，則1。川=2

22r=

解：雙曲線二-4=1（6>o）的離心率為Y9,

4b22

可得血+/=返.則〃=i,

22

2-

雙曲線-^_-y2=l的右焦點尸（代，0）,

一條漸近線方程為：X-2y=0,

所以|AQ=71+221,

所以，QAk2一]2=2

故答案為：1;2.

15.已知帆>0,n>0,m+n=1,則—口』；-的最小值為一—江7^--

mn+12v

解：\*;7t>0,n>0,tn+n=1,

?1一（m+n+1）=1

2________

A—-^-=—（--t^-）?（w+n+1）（n+1+2m）》當?工X2\怛支

mn+12mn+122mn+122vmn+1

=%加，當且僅當止！=馬■時取等號，

2mn+1

—Tr的最小值是搟"反

故答案為:

16.已知點P（m。）為曲線y=/〃（2x+l）上的一個動點，則?^電L的最小值為

解：忸號葭5I的幾何意義為動點p（小b）到直線2x-y+5=0的距離，

設與直線2x-y+5=0平行的直線切曲線y=/〃（2x+l）于點M（如州），

...尸伉（2x+i）,高，則y'屋x。巧親丁

2

由;5—77=2,得沏=0,則切點坐標為（0,0）,

zxo1

；」2aj￡+5|的最小值即為切點00）到直線2x-y+5=0的距離，等于界■5.

故答案為：述.

四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.在①Z?+c=ll,（2）COSB=Y?③sinC=3sinB這三個條件中任選一個，補充在下面問題

中，若問題中的三角形存在，求6和c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△48C,它的內角4,B,C的對邊分別為“，b,c,且a=7,6cos4=4,

?

222

解：若選①，VZ?+c=ll,cosA=b+c-&,,

2bc

AA.2_2

又?.?〃cosA=4,/.cosA=—,—=———,

bb2bc

.,.b2+c2-49=8c,而b=11-c,

...（11-c）2+c2-49=8c,解得:c=12（舍）或c=3,

故c=3,b=8；

若選②，cosB=?2上,2a,2=/I,即49+.c2-,b2=工i,

2ac714c7

A49+c2-/=2您,

,2^22,2^22

又Z?cosA=4,b?———2——--=———-———=4,

2bc2c

.??//+/-49=8c②，聯(lián)立①②，解得：b=8,c=5；

若選③，sinC=3sinB,由正弦定理得：c=3b,

VZ?cosA=4,.*./?2+c2-49=8c,又c=3b,

：.b2+(3b)2-49=246,解得：

10

V/?>0,:?b=.—/c=------，63支;

1010

故答案為：若選①，c=3,6=8；若選②，匕=8,c=5；

若選③,b=12^634,-36+3師

1010

18.已知等差數(shù)列｛小｝滿足。2+a3=11，。5-。3=6.

(I)求｛斯｝的通項公式；

(II)設等比數(shù)列｛b｝滿足匕2=。2,%=四，則｛瓦｝前7項之和與數(shù)列｛?！埃牡趲醉椣嗟?？

參考數(shù)據(jù)：46=4096,4’=16384.

解：（I）設等差數(shù)列｛斯｝的首項為⑶，公差為”,

2a1+3d=11a,=1

得11

由02+03=11,?5-(13=6,，解得《

l2d=6ld=3

=

.,.ana\+(〃-1)d—1+3(H*1)—3n-2；

boip,

(II),.,岳=。2=4,加=。6=16,...等比數(shù)列｛瓦,｝的公比q=----=——=4>

b24

則b[4號=1'

???出”｝前7項之和T?=*4=41號_=5461，

由3〃-2=5461,得"=涔女=1821.

二｛兒｝前7項之和與數(shù)列｛斯｝的第1821項相等.

19.某高中招聘教師，首先要對應聘者的工作經(jīng)歷進行評分，評分達標者進入面試，面試環(huán)

節(jié)應聘者要回答3道題，第一題為教育心理學知識，答對得2分，答錯得0分，后兩題

為學科專業(yè)知識，每道題答對得4分，答錯得0分.

(I)若一共有1000人應聘，他們的工作經(jīng)歷評分X服從正態(tài)分布N(63,132),76

分及以上達標，求進入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)(結果四舍五入保留整數(shù))；

(II)某進入面試的應聘者第一題答對的概率為羊，后兩題答對的概率均為金，每道題

正確與否互不影響，求該應聘者的面試成績y的分布列及數(shù)學期望.

附：若隨機變量X?N(u，82),則尸(-5<X<H+8)=0.6827,P(p-25<X<

H+28)=0.9545,P(p-36<X<^+38)=0.9973.

解：(1)由題意可知76分及以上達標的概率為2?[1-p([1-CJ<X<|1+O)[=0』5865,

進入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)約為1000X0.15865^159人；

（2）（的可能取值為0,2,4,6,8,10,

:.p（r=o）=（i-—）x&三）2=^^；

4"5"100

p（y=2）=—x（1-—）2=-^-；

4'5"100

P（y=4）=（1-34）XC；1X4-|x（l-^4）=^2

P（y=6）=|xcjx|x（1-4）=^

445525

P（y=8）=（1多X曲2=條

344一12

p（r=io）=—x—x

45~5~~25：

所以y的分布列為：

Y0246810

P1326412

10010025252525

=0X^—x32+6X-^+8義4

:.E<y）■10025+10X—=7.9

100…'2525

20.《九章算術》中將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉膈”，如圖所示，四面體

PABC中，P4_L平面A8C,AC^BC,。是棱4B的中點.

(I)證明：CDLPB.并判斷四面體PACQ是否為鱉嚅.若是，寫出其每個面的直角(只

需寫出結論)；若不是，說明理由；

(II)若四面體PA8C是鱉腌，且AP=AB=2,求二面角A-PB-C的余弦值.

【解答】（I）證明：平面ABC,C￡>u平面ABC,

：.PA1CD,

?：AC=BC,。是棱AB的中點，J.CDLAB,

又PAnA8=A,PA,ABu平面PAB,

...CD_L平面PAB,

；PBu平面PAB,

：.CD±PB.

四面體PAC。是鱉席，直角分別為/PAC,ZPAB,/AOC和/PDC.

(II)解：過點D作DELPB于E,連接CE,

由(I)知，C。，平面PAB,

：.ACED為二面角A-PB-C的平面角，

；四面體PABC是鱉席，且AC=BC,AB=2,

.?.△ABC為等腰直角三角形，CD=1,

22=2

在Rtz^PAB中，PB=VPA+ABV2-

S?BD=—PA?BD=—DE-PB,

22

.nF_PA>BD_2Xl_V2

PB——2&F，

在RtZXCDE中，tanNCED=%=方=加，

_DE-

1JQ

...cosNCE￡>=娛=",

V33_

故二面角A-PB-C的余弦值為返.

3

21.已知直線y=2r與拋物線C：J=2px(p>0)在第一象限內交于點P,點P到C的準

線的距離為2.

(I)求拋物線C的方程；

(II)過點P且斜率為負的直線交C于點4,點A與AP垂直的直線交C于點B,且A,

B,P不重合，求點B的縱坐標的最小值.

，y=2x

解：(I)聯(lián)立49