大學(xué)《微積分》課件2正項(xiàng)級(jí)數(shù)

§7.3正項(xiàng)級(jí)數(shù)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的基本定理二、比較判別法三、比值判別法四、根值判別法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的基本定理

正項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)

定理7

6

正項(xiàng)級(jí)數(shù)

收斂的充分必要條件是

它的部分和數(shù)列Sn有界

正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列Sn是單調(diào)增加數(shù)列

即

S1

S2

Sn

1

Sn

單調(diào)數(shù)列收斂的充要條件是該數(shù)列有界,又因?yàn)楣?P72,極限存在準(zhǔn)則II)定理7

7(比較判別法)un

cvn

(n

1,2,

c是大于0的常數(shù))

那么二、比較判別法

用比較準(zhǔn)則來(lái)判別級(jí)數(shù)的斂散性，注：選擇一個(gè)斂散性已知的級(jí)數(shù)作為比較級(jí)數(shù).關(guān)鍵在于定理7

7(比較判別法)

如果0

un

cvn

(n

1

2

c

0

為常數(shù))

那么

解

例1

判定級(jí)數(shù)的斂散性

所以所給級(jí)數(shù)也收斂

且其和小于2

解

它的各項(xiàng)均大于級(jí)數(shù)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)

而后一個(gè)級(jí)數(shù)是發(fā)散的

所以由比較判別法可知調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散

解

當(dāng)p

1時(shí)

有它的各項(xiàng)均小于級(jí)數(shù)用比較準(zhǔn)則來(lái)判別級(jí)數(shù)的斂散性，注：選擇一個(gè)斂散性已知的級(jí)數(shù)作為比較級(jí)數(shù).關(guān)鍵在于幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)、p–級(jí)數(shù)

解

因?yàn)榻o級(jí)數(shù)發(fā)散

解

因?yàn)榫毩?xí):

判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性

發(fā)散收斂收斂1.

un

,

vn均為無(wú)窮小時(shí),

l

的值反映了它們不同階的比較.注:

2.

若un

為無(wú)窮小,關(guān)鍵在于尋找un

的等價(jià)無(wú)窮小量.定理7

7(比較判別法)

如果0

un

cvn

(n

1

2

c

0

為常數(shù))

那么那么找另一個(gè)級(jí)數(shù)與之做比較時(shí),例7解：而發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散.練習(xí):

判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性

發(fā)散收斂

若正項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)當(dāng)l

1時(shí)級(jí)數(shù)收斂

(2)當(dāng)l

1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散

(3)當(dāng)l

1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

三、比值判別法

定理7

8(達(dá)朗貝爾比值判別法)定理7

8(達(dá)朗貝爾比值判別法)

當(dāng)l

1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

注意：1、當(dāng)l

1時(shí)，判別法失效.例如：調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散P-級(jí)數(shù)收斂定理7

8(達(dá)朗貝爾比值判別法)

當(dāng)l

1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

注意：2、極限不存在（非無(wú)窮），判別法失效.收斂，但是例如n為偶數(shù)n為奇數(shù)極限不存在定理7

8(達(dá)朗貝爾比值判別法)

當(dāng)l

1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

發(fā)散，但是例如極限不存在注意：2、極限不存在（非無(wú)窮），判別法失效.定理7

8(達(dá)朗貝爾比值判別法)

解

因?yàn)樗约?jí)數(shù)當(dāng)0

x

1時(shí)收斂

當(dāng)x

1時(shí)發(fā)散

當(dāng)l

1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

且當(dāng)x>1時(shí),例8.

解

因?yàn)樗约?jí)數(shù)當(dāng)0

x

1時(shí)收斂

當(dāng)x

1時(shí)發(fā)散

且當(dāng)x>1時(shí),例8.例9.練習(xí):

判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性

發(fā)散收斂發(fā)散四、根值判別法

定理7

9(柯西根值判別法)(1)當(dāng)

1時(shí)

級(jí)數(shù)收斂

(2)當(dāng)

1(或

)時(shí)

級(jí)數(shù)發(fā)散

(3)當(dāng)

1時(shí)

不能用此法判定級(jí)數(shù)的斂散性

定理7

9(柯西根值判別法)當(dāng)

1時(shí)

方法失效

時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

,

p–

級(jí)數(shù)

但級(jí)數(shù)收斂

;級(jí)數(shù)發(fā)散.注意：定理7

9(柯西根值判別法)

解

因?yàn)?/p>

當(dāng)a

1時(shí)

根值判別法失效

但此時(shí)

通項(xiàng)的極限不為零

所以級(jí)數(shù)也發(fā)散

所以當(dāng)0

a

1時(shí)

級(jí)數(shù)收斂

當(dāng)a

1時(shí)

級(jí)數(shù)發(fā)散

當(dāng)

1時(shí)

方法失效

例10.

解

因?yàn)?/p>

當(dāng)a

1時(shí)

根值判別法失效

但此時(shí)

通項(xiàng)的極限不為零

所以級(jí)數(shù)也發(fā)散

所以當(dāng)0

a

1時(shí)

級(jí)數(shù)收斂

當(dāng)a

1時(shí)

級(jí)數(shù)發(fā)散

此外，當(dāng)a>1時(shí)，通項(xiàng)例10.練習(xí):

9、判斷級(jí)數(shù)的斂散性.收斂小結(jié)1、記住幾個(gè)級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)、p