人教版高數(shù)必修四第7講：平面向量基本定理及坐標運算

平面向量基本定理與坐標運算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示;2.會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算.3.會用坐標表示平面向量共線的條件，進而解決一些相關問題.4.了解平面向量的基本定理及其意義.一、平面向量基本定理：1．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個_____不共線_____不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的__任一__向量，有且只有_一對實數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2特別提醒：(1)我們把不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量二、平面向量的坐標表示：如圖，在直角坐標系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個__單位向量_、作為基底任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得…………eq\o\ac(○,1)，我們把叫做向量的（直角）坐標，記作…………eq\o\ac(○,2)其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐標表示與相等的向量的坐標也為特別地，，，特別提醒：設，則向量的坐標就是點的坐標；反過來，點的坐標也就是向量的坐標因此，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示三、平面向量的坐標運算：（1）若，，則=，=兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差（2）若，，則一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標（3）若和實數(shù)，則實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標（4）向量平行的充要條件的坐標表示：設=(x1,y1)，=(x2,y2)其中∥()的充要條件是類型一平面向量基本定理的應用【例1】?(2012·南京質(zhì)檢)如圖所示，在△ABC中，H為BC上異于B，C的任一點，M為AH的中點，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________.[審題視點]由B，H，C三點共線可用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))來表示eq\o(AH,\s\up6(→)).解析由B，H，C三點共線，可令eq\o(AH,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，又M是AH的中點，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→)).所以λ＋μ＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)(1－x)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應用起著至關重要的作用．當基底確定后，任一向量的表示都是唯一的．【訓練1】如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起．若eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則x＝________，y＝________.解析以AB所在直線為x軸，以A為原點建立平面直角坐標系如圖，令AB＝2，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,2)，過D作DF⊥AB交AB的延長線于F，由已知得DF＝BF＝eq\r(3)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2＋eq\r(3)，eq\r(3))．∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，∴(2＋eq\r(3)，eq\r(3))＝(2x,2y)．即有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋\r(3)＝2x，,\r(3)＝2y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(3),2)，,y＝\f(\r(3),2).))另解：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(\r(3),2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以x＝1＋eq\f(\r(3),2)，y＝eq\f(\r(3),2).答案1＋eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),2)[例1]在△OAB中，，AD與BC交于點M，設=，=，用,表示.BCAOMD[解題思路]：若是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，則根據(jù)平面向量的基本定理，平面內(nèi)的任何向量都可用線性表示.本例中向量,可作基底,故可設=m+n,為求實數(shù)m,n,需利用向量與共線,向量與共線,建立關于m,n的兩個方程.BCAOMD解析：設=m+n，則,∵點A、M、D共線，∴與共線，∴，∴m+2n=1.① 而，∵C、M、B共線，∴與共線，∴，∴4m+n=1.② 聯(lián)立①②解得:m=，n=，∴練習：1．若已知、是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是()A．與—B．3與2C．＋與—D．與2BABACPNM2．在△ABC中,已知AM︰AB=1︰3,AN︰AC=1︰4，BN與CM交于點P,且,試用表示.解：∵AM︰AB=1︰3,AN︰AC=1︰4,，∴，，∵M、P、C三點共線，故可設，t∈R,于是，……①同理可設設，s∈R,．…②由①②得，由此解得，∴．類型二平面向量的坐標運算【例2】?(2011·合肥模擬)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→)).求M，N的坐標和eq\o(MN,\s\up6(→)).[審題視點]求eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))的坐標，根據(jù)已知條件列方程組求M，N.解∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(1,8)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(6,3)．∴eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))＝3(1,8)＝(3,24)，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))＝2(6,3)＝(12,6)．設M(x，y)，則eq\o(CM,\s\up6(→))＝(x＋3，y＋4)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝3，,y＋4＝24，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝20.))∴M(0,20)．同理可得N(9,2)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．利用向量的坐標運算解題，主要就是根據(jù)相等的向量坐標相同這一原則，通過列方程(組)進行求解；在將向量用坐標表示時，要看準向量的起點和終點坐標，也就是要注意向量的方向，不要寫錯坐標．【訓練2】在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝()．A．(－2，－4) B．(－3，－5)C．(3,5) D．(2,4)解析由題意得eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．答案B若A(0,1),B(1,2),C(3,4)則2=答案：(-3,-3)解：2=（1，1）2（2，2）=(-3,-3)4．若M(3,-2)N(-5,-1)且,求P點的坐標；解：設P(x,y)則(x-3,y+2)=(-8,1)=(-4,)∴∴P點坐標為(-1,-)類型三平面向量共線的坐標運算【例3】?已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在實數(shù)k，使得ka＋b與a－3b共線，且方向相反？[審題視點]根據(jù)共線條件求k，然后判斷方向．解若存在實數(shù)k，則ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若這兩個向量共線，則必有(k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0.解得k＝－eq\f(1,3).這時ka＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)，\f(4,3)))，所以ka＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)．即兩個向量恰好方向相反，故題設的實數(shù)k存在．向量共線問題中，一般是根據(jù)其中的一些關系求解參數(shù)值，如果向量是用坐標表示的，就可以使用兩個向量共線的充要條件的坐標表示列出方程，根據(jù)方程求解其中的參數(shù)值．【訓練3】(2011·西安質(zhì)檢)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝()．\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))解析設c＝(m，n)，則a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)．∵(c＋a)∥b，∴－3×(1＋m)＝2×(2＋n)，又c⊥(a＋b)，∴3m－n＝0，解得m＝－eq\f(7,9)，n＝－eq\f(7,3).答案D9．已知,當實數(shù)取何值時,＋2與2—4平行？【解析】方法一:∵2—4,∴存在唯一實數(shù)使＋2=2—4）將、的坐標代入上式得（—6，2＋4）=14，—4）得—6=14且2＋4=—4，解得=—1方法二：同法一有＋2=（2—4）,即（—2＋（2＋4=0∵與不共線，∴∴=—1一、選擇題1．設e1、e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是()A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e2[答案]B[解析]∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2與4e2－6e1共線，不能作為基底．2．下面給出了三個命題：①非零向量a與b共線，則a與b所在的直線平行；②向量a與b共線的條件是當且僅當存在實數(shù)λ1、λ2，使得λ1a＝λ2b；③平面內(nèi)的任一向量都可用其它兩個向量的線性組合表示．其中正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析]命題①兩共線向量a與b所在的直線有可能重合；命題③平面內(nèi)的任一向量都可用其它兩個不共線向量的線性組合表示．故①③都不正確．3．給出下列結(jié)論：①若a≠b，則|a＋b|<|a|＋|b|；②非零向量a、b共線，則|a＋b|>0；③對任意向量a、b，|a－b|≥0；④若非零向量a、b共線且反向，則|a－b|>|a|.其中正確的有()個．()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]①中有一個為零向量時不成立；②中a，b若是相反向量則不成立；③、④正確，故選B.4．已知向量e1、e2不共線，實數(shù)x、y滿足(x－y)e1＋(2x＋y)e2＝6e1＋3e2，則x－y的值等于()A．3 B．－3C．6 D．－6[答案]C[解析]∵e1、e2不共線，∴由平面向量基本定理可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝6,2x＋y＝3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－3)).5．設一直線上三點A，B，P滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(λ≠±1)，O為平面內(nèi)任意一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))用eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))表示為()A．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→)) B．eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1＋λ)eq\o(OB,\s\up6(→))C．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))＋λ\o(OB,\s\up6(→)),1＋λ) D．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))[答案]C[解析]∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))－λeq\o(OP,\s\up6(→))，∴(1＋λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))＋λ\o(OB,\s\up6(→)),1＋λ).6．(2014·廣東文，3)已知向量a＝(1,2)、b＝(3,1)，則b－a＝()A．(－2,1) B．(2，－1)C．(2,0) D．(4,3)[答案]B[解析]∵a＝(1,2)、b＝(3,1)，∴b－a＝(3－1,1－2)＝(2，－1)．7．若向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2,3)、eq\o(CA,\s\up6(→))＝(4,7)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－2，－4) B．(2,4)C．(6,10) D．(－6，－10)[答案]A[解析]eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．8．(2014·北京文，3)已知向量a＝(2,4)、b＝(－1,1)，則2a－b＝()A．(5,7) B．(5,9)C．(3,7) D．(3,9)[答案]A[解析]2a－b＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)9．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，－3)、C(－1,3)、eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，則點D的坐標是()A．(11,9) B．(4,0)C．(9,3) D．(9，－3)[答案]D[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，－3)，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＝(10，－6)，設D(x，y)，又C(－1,3)，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x＋1，y－3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝10,y－3＝－6))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9,y＝－3)).10．已知△ABC中，點A(－2,3)、點B(－3，－5)，重心M(1，－2)，則點C的坐標為()A．(－4,8) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(4,3)))C．(8，－4) D．(7，－2)[答案]C[解析]設點C的坐標為(x，y)，由重心坐標公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝\f(－2＋－3＋x,3),－2＝\f(3＋－5＋y,3)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8,y＝－4)).11．已知i、j分別是方向與x軸正方向、y軸正方向相同的單位向量，O為原點，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，則點A位于()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三象限 D．第四象限[答案]D[解析]∵x2＋x＋1>0，－(x2－x＋1)<0，∴點A位于第四象限．二、填空題12．在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，M為BC的中點，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝________(用a、b表示)．[答案]－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b[解析]∵eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，∴4eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(AC,\s\up6(→))＝3(a＋b)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.13．已知向量a與b不共線，實數(shù)x、y滿足等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，則x＝________，y＝________.[答案]eq\f(47,11)eq\f(16,11)[解析]∵a、b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＝4y＋7,10－y＝2x))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(47,11),y＝\f(16,11))).14．若點O(0,0)、A(1,2)、B(－1,3)，且eq\o(OA′,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB′,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))，則點A′的坐標為________．點B′的坐標為________，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))的坐標為________．[答案](2,4)(－3,9)(－5,5)[解析]∵O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1,3)，eq\o(OA′,\s\up6(→))＝2×(1,2)＝(2,4)，eq\o(OB′,\s\up6(→))＝3×(－1,3)＝(－3,9)．∴A′(2,4)，B′(－3,9)，eq\o(A′B′,\s\up6(→))＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．15．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝________.[答案](－3，－5)[解析]eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)．∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－5)．三、解答題16．如圖，已知△ABC中，M、N、P順次是AB的四等分點，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CA,\s\up6(→))＝e2，試用e1、e2表示eq\o(CM,\s\up6(→))、eq\o(CN,\s\up6(→))、eq\o(CP,\s\up6(→)).[解析]利用中點的向量表達式得：eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)e1＋eq\f(1,2)e2；eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)e1＋eq\f(3,4)e2；eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)e1＋eq\f(1,4)e2.17．(1)設向量a、b的坐標分別是(－1,2)、(3，－5)，求a＋b，a－b,2a＋3b的坐標；(2)設向量a、b、c的坐標分別為(1，－3)、(－2,4)、(0,5)，求3a－b＋c的坐標．[解析](1)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3，2－5)＝(2，－3)；a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)；2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(－2＋9,4－15)＝(7，－11)．(2)3a－b＋c＝3(1，－3)－(－2,4)＋(0,5)＝(3，－9)－(－2,4)＋(0,5)＝(3＋2＋0，－9－4＋5)＝(5，－8)．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎鞏固一、選擇題1．已知a＝(－1,3)、b＝(x，－1)，且a∥b，則x等于()A．－3 B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3) D．3[答案]C[解析]由a∥b，得(－1)×(－1)－3x＝0，解得x＝eq\f(1,3).2．(2014·安徽宿州市朱仙莊煤礦中學高一月考)若A(3，－6)、B(－5,2)、C(6，y)三點共線，則y＝()A．13 B．－13C．9 D．－9[答案]D[解析]∵A、B、C共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－8,8)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，y＋6)，∴－8(y＋6)＝24，∴y＝－9.3．向量a＝(3,1)、b＝(1,3)、c＝(k,7)，若(a－c)∥b，則k等于()A．3 B．－3C．5 D．－5[答案]C[解析]a－c＝(3－k，－6)，b＝(1,3)，由題意得，9－3k＝－6，∴k＝5.4．設e1、e2是兩個不共線的向量，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)與向量b＝－(e2－2e1)共線，則()A．λ＝0 B．λ＝－1C．λ＝－2 D．λ＝－eq\f(1,2)[答案]D[解析]由共線向量定理，存在t∈R，使a＝tb，即e1＋λe2＝t(－e2＋2e1)，∵e1，e2不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2t＝1,λ＝－t))，解得λ＝－eq\f(1,2).5．已知向量a＝(3,4)、b＝(cosα，sinα)，且a∥b，則tanα＝()A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3) D．－eq\f(3,4)[答案]B[解析]∵a∥b，∴3sinα－4cosα＝0，∴tanα＝eq\f(4,3).6．(2014·山東濟南商河弘德中學高一月考)若向量b與向量a＝(2,1)平行，且|b|＝2eq\r(5)，則b＝()A．(4,2) B．(－4,2)C．(6，－3) D．(4,2)或(－4，－2)[答案]D[解析]設b＝(x，y)，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝20,x＝2y))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4,y＝－2)).二、填空題7．設i、j分別為x、y軸方向的單位向量，已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝2i，eq\o(OB,\s\up6(→))＝4i＋2j，eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(AC,\s\up6(→))，則點C的坐標為________．[答案](1，－1)[解析]由已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,2)，設C點坐標為(x，y)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x－2，y)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(AC,\s\up6(→))，∴(2,2)＝－2(x－2，y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2＝2,－2y＝2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－1)).∴點C的坐標為(1，－1)．8．設向量a＝(4sinα，3)、b＝(2,3sinα)，且a∥b，則銳角α＝________.[答案]eq\f(π,4)[解析]由已知，得12sin2α＝6，∴sinα＝±eq\f(\r(2),2)，∴α為銳角，∴α＝eq\f(π,4).三、解答題9．設向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)、eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)、eq\o(OC,\s\up6(→))＝(10，k)，當k為何值時，A、B、C三點共線．[解析]∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)、eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)、eq\o(OC,\s\up6(→))＝(10，k)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)．∵A、B、C三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線，∴(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，解得k＝11或k＝－2.能力提升一、選擇題1．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a與b共線，則()A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0[答案]D[解析]∵a、b共線，∴存在t∈R，使a＝tb，∴e1＋λe2＝2te1，∴(1－2t)e1＋λe2＝0 ①若e1、e2共線，則一定存在t、λ.使①式成立；若e1、e2不共線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2t＝0,λ＝0)).2．已知平面向量a＝(1,2)、b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝()A．(－2，－4) B．(－3，－6)C．(－4，－8) D．(－5，－10)[答案]C[解析]∵a∥b，∴1×m－2×(－2)＝0，∴m＝－4.∴2a＋3b＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．3．已知平面向量a＝(x,1)、b＝(－x，x2)，則向量a＋b()A．平行于x軸 B．平行于第一、三象限的角平分線C．平行于y軸 D．平行于第二、四象限的角平分線[答案]C[解析]∵a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，∴a＋b＝(0，x2＋1)，∵1＋x2≠0，∴向量a＋b平行于y軸．4．已知向量a＝(1,0)、b＝(0,1)、c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c與d同向 B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向[答案]D[解析]∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，又a、b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ,1＝－λ))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1,k＝－1)).∴c＝－d，∴c與d反向．二、填空題5．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起點為A(1,2)，終點B在坐標軸上，則B點坐標為________．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0))[解析]由b∥a，可設b＝λa＝(－2λ，3λ)．設B(x，y)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x－1，y－2)＝b.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＝x－1,3λ＝y(tǒng)－2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－2λ,y＝3λ＋2)).又B點在坐標軸上，則1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0)).6．已知點A(eq\r(3)，1)、B(0,0)、C(eq\r(3)，0)．設∠BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))，其中λ等于________．[答案]－3[解析]∵AE為∠BAC的平分線，∴eq\f(|\o(BE,\s\up6(→))|,|\o(CE,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,1)＝2.∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝－2eq\o(CE,\s\up6(→)).∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→))＝－2eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→))＝－3eq\o(CE,\s\up6(→)).三、解答題7．平面內(nèi)給定三個向量a＝(3,2)、b＝(－1,2)、c＝(4,1)，(1)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m、n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k.[解析](1)∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3,2m＋n＝2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9),n＝\f(8,9))).(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,