人教版高數(shù)選修23第1講：計(jì)數(shù)原理

計(jì)數(shù)原理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.掌握分類計(jì)數(shù)原理，分布計(jì)數(shù)原理的概念.2.掌握分類計(jì)數(shù)原理與分布計(jì)數(shù)原理的區(qū)別.3.能解決分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的綜合題.1.分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理(1)分類計(jì)數(shù)原理：完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，…，在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法注意：eq\o\ac(○,1)分類計(jì)數(shù)原理又稱為加法原理；eq\o\ac(○,2)弄清楚完成“一件事”的含義，即知道做“一件事”或完成一個(gè)“事件”在題目中具體所指的內(nèi)容；eq\o\ac(○,3)解決“分類”問(wèn)題，用分類計(jì)數(shù)原理，即完成事件通過(guò)途徑A，就不必再通過(guò)途徑B，可以單獨(dú)完成；eq\o\ac(○,4)每個(gè)題中，標(biāo)準(zhǔn)不同，分類也不同，分類的基本要求是：每一種方法必屬于某一類(不漏)，任意不同類的兩種方法是不同的方法(不重).(2)分步計(jì)數(shù)原理:完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.注意：eq\o\ac(○,1)分步計(jì)數(shù)原理又稱為乘法原理；eq\o\ac(○,2)弄清楚完成“一件事”的含義，即知道完成一個(gè)“事件”在每個(gè)題中需要經(jīng)過(guò)哪幾個(gè)步驟；eq\o\ac(○,3)解決“分步”問(wèn)題，用分步計(jì)數(shù)原理，需要分成若干個(gè)步驟，每個(gè)步驟都完成了，才算完成一個(gè)事件，注意各步驟間的連續(xù)性；eq\o\ac(○,4)每個(gè)題中，標(biāo)準(zhǔn)不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必須且只需連續(xù)做完幾步，既不漏步也不重步；二是每個(gè)步驟之間的方法是無(wú)關(guān)的，不能相互替代.2.分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別辨別運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是“分類”還是“分步”，也就是說(shuō)“分類”時(shí)，各類辦法中的每一種方法都是獨(dú)立的，都能直接完成這件事，而“分步”時(shí)，各步中的方法是相關(guān)的，缺一不可，當(dāng)且僅當(dāng)做完個(gè)步驟時(shí)，才能完成這件事。類型一分類計(jì)數(shù)原理例1：王剛同學(xué)衣服上左、右各有一個(gè)口袋，左邊口袋裝有30張英語(yǔ)單詞卡片，右邊口袋裝有20張英語(yǔ)單詞卡片，這些英語(yǔ)單詞卡片都互不相同，問(wèn)從口袋里任取一張英語(yǔ)單詞卡片，有多少種不同的取法？[解析]從口袋中任取一張英語(yǔ)單詞卡片的方法分兩類，第一英：從左邊口袋取一張英語(yǔ)單詞卡片，有30種不同的取法；第二類：從右邊口袋取一張英語(yǔ)單詞卡片，有20種不同的取法，上述任何一種取法都能獨(dú)立完成取一張英語(yǔ)單詞卡片的事件，應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理，所以從口袋里任取一張英語(yǔ)單詞卡片有30+20=50種不同取法.練習(xí)1：用10元、5元和1元來(lái)支付20元錢(qián)的書(shū)款,不同的支付方法有()種 [答案]Ｃ[解析]只用一種幣值有2張10元,4張5元,20張1元,共3種;用兩種幣值的有1張10元,2張5元;1張10元,10張1元;3張5元,5張1元;2張5元,10張1元;1張5元,15張1元,共5種;用三種幣值的有1張10元,1張5元,5張1元,共1種.由分類計(jì)數(shù)原理得,共有3+5+1=9種.練習(xí)2：把10個(gè)蘋(píng)果分成三堆,要求每堆至少有1個(gè),至多有5個(gè),則不同的分法共有（）種 種 種 種[答案]A[解析]按每堆蘋(píng)果的數(shù)目可分為4類,即1,4,5;2,3,5;3,3,4;2,4,4,且每類中只有一種分法.類型二分步計(jì)數(shù)原理例2：要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？[解析]從3名工人中選1名上日班和1名上晚班，可以看成是經(jīng)過(guò)先選1名上日班，再選1名上晚班這兩個(gè)步驟完成.先選1名上日班，共有3種選法；上日班的工人選定后，上晚班的工人有2種選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，所求的不同的選法數(shù)是：N=3×2=6.練習(xí)1：有四名同學(xué)同時(shí)參加了學(xué)校的100m,800m,1500m三項(xiàng)跑步比賽,則獲得冠軍(無(wú)并列名次)的可能性有種 種 種 D. 24種[答案]Ａ[解析]第一步,100m冠軍有4種可能;第二步,800m冠軍也有4種可能;第三步,1500m冠軍有4種可能,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,共有4×4×4=4練習(xí)2：將5封信投入3個(gè)郵筒中,不同的投法有()種 [答案]Ｂ[解析]第1封信有3種投法,第2封信也有3種投法……第5封信同樣有3種投法,完成5封信投入3個(gè)郵筒這件事,按分步計(jì)數(shù)原理共有3×3×3×3×3=35種方法.類型三分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別例3：設(shè)有5幅不同的國(guó)畫(huà)，2幅不同的油畫(huà)，7幅不同的水彩畫(huà)，問(wèn)：(1)從中取一幅畫(huà)布直房間，有多少種不同的選法？(2)從這些國(guó)畫(huà)、油畫(huà)、水彩畫(huà)中各選一幅布置房間，有多少種不同的選法？[解析](1)分三類：第一類從國(guó)畫(huà)中選一幅，共5種；第二類從油畫(huà)中選一幅，共有2種；第三類從水彩畫(huà)中，選一幅，共有7種，由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5+2+7=14種不同的選法.(2)分三步：第一步從國(guó)畫(huà)中選一幅共5種；第二步從油面中選一幅共有2種；第三步從水彩畫(huà)中選一幅共：7種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×2×7=70種不同的選法.練習(xí)1：已知集合若從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則在直角坐標(biāo)系的第一、第二象限不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為() [答案]Ｃ[解析]取法可分為兩類.(1)以集合M中的元素為橫坐標(biāo),N中的元素為縱坐標(biāo),從集合M中取一個(gè)元素的方法有3種,要使點(diǎn)在第一、第二象限內(nèi),則從N集合中只能取5,6兩個(gè)元素中的一個(gè),共有2種取法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有3×2=6個(gè)點(diǎn).(2)以集合N中的元素為橫坐標(biāo),M中的元素為縱坐標(biāo),從集合N中任取一個(gè)元素的方法有4種,要使點(diǎn)在第一、第二象限內(nèi),則從M中只能取1,3兩個(gè)元素中的一個(gè),共有2種取法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有4×2=8個(gè)點(diǎn),綜上,利用分類計(jì)數(shù)原理,共有6+8=14個(gè)點(diǎn).類型四兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用例4：有10本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，9本不同的語(yǔ)文書(shū)，8本不同的英語(yǔ)書(shū)，從中任取兩本不同英的書(shū)，共有________種不同的取法.[答案]242[解析]任取兩本不同類的書(shū)，有三類：一、取數(shù)學(xué)、語(yǔ)文各一本，二、取語(yǔ)文、英語(yǔ)各一本，三、取數(shù)學(xué)、英語(yǔ)各一本.然后求出每類取法，利用分類加法計(jì)數(shù)原理即可得解.取兩本書(shū)中，一本數(shù)學(xué)、一本語(yǔ)文，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有10×9=90種不同取法；取兩本書(shū)中，一本語(yǔ)文、一本英語(yǔ)，有9×8=72種不同取法；取兩本書(shū)中，一本數(shù)學(xué)、一本英語(yǔ)，有10×8=80種不同取法.綜合以上三類，利用分類加法計(jì)數(shù)原理，共有90+72+80=242種不同取法.練習(xí)1：有不同的中文書(shū)9本,不同的英文書(shū)6本,不同的法文書(shū)5本,從其中取出不是同一國(guó)文字的書(shū)2本,則不同的取法有()種. 56 [答案]Ｄ[解析]取出的書(shū)為中文、英文的有9×6=54種;取出的書(shū)為中文、法文的有9×5=45種;取出的書(shū)為英文、法文的有6×5=30種.共有54+45+30=129種．1.從A地到B地每天有直達(dá)班車4班，從A地到C地，每天有5個(gè)班車，從C地到B地，每天有3個(gè)班車，則從A地到B地，每天共有()種不同乘車方法. 60 [答案]C[解析]從A地到B地共分兩類方法，第一類：直達(dá)班車4班；第二類，轉(zhuǎn)車從A到C再到B，共有5×3=15種乘車方法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有4+15=19種不同的乘車方法.2.將6個(gè)蘋(píng)果投入4個(gè)袋子里，不同的投法共有()種 種 種 種[答案]B[解析]每個(gè)蘋(píng)果有4種不同的投法，所以共有46種不同的投法３.從0，1，2，…，9這10個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，能夠確定不在x軸上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()個(gè) 個(gè) 個(gè) 個(gè)[答案]C[解析]要使得點(diǎn)不在x軸上，則縱坐標(biāo)不能為0，故縱坐標(biāo)上的數(shù)字只能有9種選擇，縱坐標(biāo)選好后，橫坐標(biāo)不能與之相同，故也有9種情況，故共可確定9×9=81個(gè)符合題意的點(diǎn).４.書(shū)架上原來(lái)并排放者5本不同的書(shū)，現(xiàn)在要插入3本不同的書(shū)，那么不同的插法有()種 種 種 種[答案]A[解析]我們可以一本一本的插入，先插第一本，可在原來(lái)的5本書(shū)形成的6個(gè)空中插入，共有6種插入的方法；然后再插第二本，這時(shí)書(shū)架上有6本書(shū)形成7個(gè)空，有7種插入方法；再插最后一本，有8種插法，所以共有6×7×8=336種不同的插法.５.某校會(huì)議室有四個(gè)進(jìn)入門(mén)，若從一個(gè)門(mén)進(jìn)，另一個(gè)門(mén)出，不同的走法有________種.[答案]12[解析]根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有4×3=12種不同的走法.６.由三個(gè)數(shù)碼組成的號(hào)碼鎖，每個(gè)號(hào)碼可取0，1，2……９中任意一個(gè)數(shù)字，不同的開(kāi)鎖號(hào)碼設(shè)計(jì)共有________個(gè).[答案]1000[解析]由每個(gè)號(hào)碼可取0到9中任意一個(gè)數(shù)字，有10種取法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有10×10×10=1000個(gè)不同的開(kāi)鎖號(hào)碼.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固1.把10個(gè)蘋(píng)果分成三堆,要求每堆至少有1個(gè),至多有5個(gè),則不同的分法共有)種 種 種 種[答案]Ａ2.一個(gè)包內(nèi)有7本不同的故事書(shū),另一個(gè)包內(nèi)有5本不同的教科書(shū),從兩個(gè)包內(nèi)任取一本的取法有()種 種 種 種[答案]Ｃ[解析](1)從有7本不同故事書(shū)的包內(nèi)任取一本書(shū)的取法有7種;(2)從有5本不同教科書(shū)的包內(nèi)任取一本書(shū)的取法有5種.綜上,共有12種取法．3.從甲地到乙地每天有火車10班,汽車15班,飛機(jī)3班,輪船2班,一天內(nèi)乘不同班次的運(yùn)輸工具由甲地到乙地,不同的走法有()種 種 種 種[答案]Ｃ[解析]由于每班火車、汽車、飛機(jī)、輪船都能完成從甲地到乙地這件事,因此這是一個(gè)分類問(wèn)題,應(yīng)采用分類計(jì)數(shù)原理,有10+15+3+2=30種,即一天內(nèi)乘不同班次的運(yùn)輸工具由甲地到乙地共有30種不同的走法.4.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單,開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目,如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同的插法數(shù)為() [答案]Ａ[解析]原定的5個(gè)節(jié)目共有6個(gè)空位,將其中1個(gè)新節(jié)目插入有6種插法,然后6個(gè)節(jié)目形成7個(gè)空位,將另一新節(jié)目插入,由分步計(jì)數(shù)原理共有7×6=42種方法．名學(xué)生報(bào)名參加地理探寶、人與自然、航模課外興趣小組,每人選報(bào)一種,則不同報(bào)名種數(shù)有() [答案]Ａ6.已知集合若從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則在直角坐標(biāo)系的第一、第二象限不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為() [答案]Ｃ[解析]取法可分為兩類.(1)以集合M中的元素為橫坐標(biāo),N中的元素為縱坐標(biāo),從集合M中取一個(gè)元素的方法有3種,要使點(diǎn)在第一、第二象限內(nèi),則從N集合中只能取5,6兩個(gè)元素中的一個(gè),共有2種取法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有3×2=6個(gè)點(diǎn).(2)以集合N中的元素為橫坐標(biāo),M中的元素為縱坐標(biāo),從集合N中任取一個(gè)元素的方法有4種,要使點(diǎn)在第一、第二象限內(nèi),則從M中只能取1,3兩個(gè)元素中的一個(gè),共有2種取法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有4×2=8個(gè)點(diǎn),綜上,利用分類計(jì)數(shù)原理,共有6+8=14個(gè)點(diǎn).7.有不同的中文書(shū)9本,不同的英文書(shū)6本,不同的法文書(shū)5本,從其中取出不是同一國(guó)文字的書(shū)2本,則不同的取法有()種. 56 [答案]Ｄ[解析]取出的書(shū)為中文、英文的有9×6=54種;取出的書(shū)為中文、法文的有9×5=45種;取出的書(shū)為英文、法文的有6×5=30種.共有54+45+30=129種.8.用1,2,…,9九個(gè)數(shù)字,可組成的四位數(shù)共有______個(gè),可組成的七位數(shù)共有______個(gè).[答案]組成四位數(shù):個(gè)位數(shù)有9種選法,十位數(shù)有9種選法,百位數(shù)也有9種選法,千位數(shù)同樣有9種選法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,四位數(shù)共有9×9×9×9=94個(gè).同理,七位數(shù)共有97個(gè).故第一個(gè)空填94,第二個(gè)空填97.能力提升1.(2014·全國(guó)大綱卷)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有()A．60種 B．70種 C．75種 D．150種[答案]Ｃ2.（2014·全國(guó)大綱）卷航空母艦“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架殲－15飛機(jī)準(zhǔn)備著艦，如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦，而甲、丁兩機(jī)不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有()A．12種 B．16種 C．24種 D．36種[答案]Ｄ3.滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為()A．14 B．13 C．12 D．9[答案]Ｂ4.（2014·福建卷）用a代表紅球，b代表藍(lán)球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展開(kāi)式1＋a＋b＋ab表示出來(lái)，如：“1”表示一個(gè)球都不取、“a”表示取出一個(gè)紅球、而“ab”則表示把紅球和藍(lán)球都取出來(lái)．依此類推，下列各式中，其展開(kāi)式可用來(lái)表示從5個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球、5個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是()A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)[答案]Ａ5.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一對(duì)有序整數(shù)對(duì)(