人教版高數(shù)必修四第9講：兩角和與差的正余弦及正切公式

兩角和與差的正余弦、正切公式及二倍角公式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導.2、靈活運用所學公式進行求值、化簡、證明.一、兩角和的余弦公式：的推導：復習：兩點間的距離公式：設(shè)，推導過程：設(shè)角、角為任意角如左圖在平面直角坐標系中作,則作單位圓，設(shè)角、角的終邊分別與單位圓交于點B，點C再作由三角函數(shù)定義知：，,，，由已知：;展開并整理得:上述公式稱為兩角和的余弦公式記為解：那么，所以cos（α－β）=cos==二、兩角和與差的正弦公式：sin(α+β)=cos［-(α+β)］=cos［(-α)-β］=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ.sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.兩角和與差的正切公式：當cos(α+β)≠0時，tan(α+β)=如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0時,分子、分母同除以cosαcosβ得tan(α+β)=，據(jù)角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，則有tan(α-β)=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.tan(α+β)=tan(α-β)=公式匯編：1．兩角和與差的三角函數(shù)；；。2．二倍角公式；；。3．三角函數(shù)式的化簡常用方法：①直接應用公式進行降次、消項；②三角公式的逆用；③切割化弦，異名化同名，異角化同角等。（2）化簡要求：①能求出值的應求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。（1）降冪公式；；。（2）輔助角公式，=公式的推導：令，則，于是有：其中由，和共同確定類型一：正用公式例1.已知:，求的值.【思路點撥】直接利用兩角差的余弦公式.【解析】由已知可求得.當在第一象限而在第二象限時，.當在第一象限而在第三象限時，.當在第二象限而在第二象限時，.當在第二象限而在第三象限時，.【點評】例1是對公式的正用．當三角函數(shù)值的符號無法確定時，注意分類討論.練習：【變式1】已知，，則.【答案】.【變式2】已知，則.【答案】【變式3】已知和是方程的兩個根，求的值.【答案】【解析】由韋達定理，得，，∴.【高清課堂：三角恒等變換397881例1】【變式4】某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù).(1)(2)(3)(4)(5)Ⅰ試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù)Ⅱ根據(jù)(Ⅰ)的計算結(jié)果,將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣三角恒等式,并證明你的結(jié)論.【解析】Ⅰ.選擇(2)式計算如下Ⅱ.證明:例2．已知，,，求的值.【思路點撥】注意到，將，看做一個整體來運用公式.【解析】,，，，【點評】1、給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，例2中應用了的變換，體現(xiàn)了靈活解決問題的能力，應著重體會，常見的變換技巧還有,,,等.2、已知某一個（或兩個）角的三角函數(shù)值，求另一個相關(guān)角的三角函數(shù)值，基本的解題策略是從“角的關(guān)系式”入手切入或突破.角的關(guān)系主要有互余（或互補）關(guān)系，和差（為特殊角）關(guān)系，倍半關(guān)系等.對于比較復雜的問題，則需要兩種關(guān)系的混合運用.練習：【變式1】已知，是第二象限角，且，求的值.【答案】【解析】由且是第二象限角，得，∵，∴.【變式2】函數(shù)的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C；【解析】∵，.所以其最大值為2，故選C.【變式3】已知【答案】【解析】角的關(guān)系式：（和差與倍半的綜合關(guān)系）∵，∴∴∴＝【變式4】已知，，，，求的值?！敬鸢浮俊窘馕觥俊?，∴，∵，∴?！囝愋投耗嬗霉嚼?.求值：（1）；（2）；（3）；（4）.【思路點撥】逆用兩角和（差）正（余）弦公式，正切公式.【解析】（1）原式=；（2）原式；（3）原式；（4）原式.【點評】①把式中某函數(shù)作適當?shù)霓D(zhuǎn)換之后，再逆用兩角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所謂“逆用公式”。②輔助角公式：，其中角在公式變形過程中自然確定.練習：【變式1】化簡.【答案】【變式2】已知，那么的值為（）A．B．C．D．【答案】A；【解析】∵，∴.例4.求值：（1）；（2）【思路點撥】要使能利用公式化簡，分子分母同乘以第一個角的正弦值.【解析】（1）原式=；（2）原式=【點評】此種類型題比較特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一個角是前一個角的2倍；③最大角的2倍與最小角的和與差是。三個條件缺一不可。另外需要注意2的個數(shù)。應看到掌握了這些方法后可解決一類問題，若通過恰當?shù)霓D(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成具有這種特征的結(jié)構(gòu)，則可考慮采用這個方法。練習：【變式】求值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式===（2）類型三：變用公式例5．求值：；（2）【思路點撥】通過正切公式，注意到與之間的聯(lián)系.【解析】（1），原式.（2），，.【點評】本題是利用了兩角和正切公式的變形，找出與三者間的關(guān)系，進行轉(zhuǎn)化，即所謂“變用公式”解決問題；變用公式在一些解三角問題中起著重要作用，需靈活掌握.但它是以公式原型為基礎(chǔ)，根據(jù)題目需要而采取的辦法，如：，.練習：【變式1】求值：=．【答案】1【變式2】在中，,，試判斷的形狀.【答案】等腰三角形【解析】由已知得,,即，，，，又,故,故是頂角為的等腰三角形.類型四：三角函數(shù)式的化簡與求值例6.化簡：（1）；(2）【思路點撥】（1）中函數(shù)有正弦有正切，一般將切化弦處理；（2）中有平方，而且角度之間也有關(guān)系，，所以要用二倍角公式降次.【解析】（1）原式=（2）原式=【點評】①三角變換所涉及的公式實際上正是研究了各種組合的角（如和差角，倍半角等）的三角函數(shù)與每一單角的三角函數(shù)關(guān)系。因而具體運用時，注意對問題所涉及的角度及角度關(guān)系進行觀察。②三角變換中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角變換中經(jīng)常用到降冪公式：，.練習：【變式1】化簡：（1）；（2）；（3）【答案】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式==.【變式2】若，且，則___________.【答案】由，，得，.例7．已知，，且，求的值.【思路點撥】題設(shè)中給出是角的正切值，故考慮正切值的計算，同時通過估算的區(qū)間求出正確的值.【解析】，而，故，又，，故，從而，而，，而，，又，【點評】對給值求角問題，一般是通過求三角函數(shù)值實現(xiàn)的，先求出某一種三角函數(shù)值，再考慮角的范圍，然后得出滿足條件的角．本例就是給值求角，關(guān)鍵是估算的區(qū)間，給值求角一定要將所求角限制在某個單值區(qū)間內(nèi)，這是關(guān)鍵點也是難點．在本例中使用了配角技巧，，，這些都要予以注意.練習：【變式1】已知，為銳角，則的值是（）A.B.C.或D.【答案】A【變式2】已知，，求?！窘馕觥俊撸?，解得,，∴.一、選擇題1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)[答案]A[解析]cos75°cos15°－sin435°sin15°＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15°＝cos75cos15°－sin75°sin15°＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.2．在△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB，則△ABC一定為()A．等邊三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形[答案]D[解析]∵sinAsinB<cosAcosB，∴cosAcosB－sinAsinB>0，∴cos(A＋B)>0，∵A、B、C為三角形的內(nèi)角，∴A＋B為銳角，∴C為鈍角．3．化簡sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的結(jié)果是()A．sin2x B．cos2yC．－cos2x D．－cos2y[答案]B[解析]原式＝cos[(x＋y)－(x－y)]＝cos2y.4．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．1[答案]D[解析]sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos(90°－15°)＋cos15°sin(90°＋15°)＝sin15°sin15°＋cos15°cos15°＝cos(15°－15°)＝cos0°＝1.5．sineq\f(π,12)－eq\r(3)coseq\f(π,12)的值是()A．0 B．－eq\r(2)C．eq\r(2) D．2[答案]B[解析]原式＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos\f(π,12)－\f(1,2)sin\f(π,12)))＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)cos\f(π,12)－sin\f(π,6)·sin\f(π,12)))＝－2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,12)))＝－2×eq\f(\r(2),2)＝－eq\r(2).6．△ABC中，cosA＝eq\f(3,5)，且cosB＝eq\f(5,13)，則cosC等于()A．－eq\f(33,65) B．eq\f(33,65)C．－eq\f(63,65) D．eq\f(63,65)[答案]B[解析]由cosA>0，cosB>0知A、B都是銳角，∴sinA＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5)，sinB＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13)，∴cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)×\f(5,13)－\f(4,5)×\f(12,13)))＝eq\f(33,65).二、填空題7．若cosα＝eq\f(1,5)，α∈(0，eq\f(π,2))，則cos(α＋eq\f(π,3))＝________.[答案]eq\f(1－6\r(2),10)[解析]∵cosα＝eq\f(1,5)，α∈(0，eq\f(π,2))，∴sinα＝eq\f(2\r(6),5).∴cos(α＋eq\f(π,3))＝cosαcoseq\f(π,3)－sinαsineq\f(π,3)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,2)－eq\f(2\r(6),5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1－6\r(2),10).8．已知cosx－cosy＝eq\f(1,4)，sinx－siny＝eq\f(1,3)，則cos(x－y)＝________.[答案]eq\f(263,288)[解析]∵cosx－cosy＝eq\f(1,4)，sinx－siny＝eq\f(1,3)，∴cos2x－2cosxcosy＋cos2y＝eq\f(1,16)，sin2x－2sinxsiny＋sin2y＝eq\f(1,9)，兩式相加得2－2cos(x－y)＝eq\f(25,144)，∴cos(x－y)＝eq\f(263,288).三、解答題9．已知sinα＋sinβ＝sinγ，cosα＋cosβ＝cosγ.求證：cos(α－γ)＝eq\f(1,2).[解析]sinα＋sinβ＝sinγ?sinα－sinγ＝－sinβ①cosα＋cosβ＝cosγ?cosα－cosγ＝－cosβ②①2＋②2得2－2(cosαcosγ＋sinαsinγ)＝1，即得cos(α－γ)＝eq\f(1,2).__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固1．若eq\r(3)sinx＋cosx＝4－m，則實數(shù)m的取值范圍是()．A．2≤m≤6 B.－6≤m≤6C．2<m<6 ≤m≤4解析∵eq\r(3)sinx＋cosx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinx＋\f(1,2)cosx))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosxcos\f(π,3)＋sinxsin\f(π,3)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝4－m，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝eq\f(4－m,2)，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4－m,2)))≤1，解得2≤m≤6.答案A\f(2cos10°－sin20°,sin70°)的值是()．\f(1,2) \f(\r(3),2)\r(3) \r(2)解析eq\f(2cos10°－sin20°,sin70°)＝eq\f(2cos30°－20°－sin20°,cos20°)＝eq\f(2cos30°cos20°＋sin30°sin20°－sin20°,cos20°)＝eq\f(\r(3)cos20°＋sin20°－sin20°,cos20°)＝eq\f(\r(3)cos20°,cos20°)＝eq\r(3).答案C3．(2012·齊齊哈爾高一檢測)若cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，cos2α＝eq\f(\r(10),10)，并且α、β均為銳角，且α<β，則α＋β的值為()．\f(π,6) \f(π,4)\f(3π,4) \f(5π,6)解析∵0<α<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<α－β<0,0<2α<π，∴由cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，得sin(α－β)＝－eq\f(2\r(5),5)，由cos2α＝eq\f(\r(10),10)，得sin2α＝eq\f(3\r(10),10).∴cos(α＋β)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2α－α－β))＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)×eq\f(\r(5),5)＋3eq\f(\r(10),10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq\f(\r(2),2).又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq\f(3π,4).答案C4．cos15°＋sin15°＝________.解析cos15°＋sin15°＝eq\r(2)(cos15°cos45°＋sin15°sin45°)＝eq\r(2)cos(45°－15°)＝eq\r(2)cos30°＝eq\f(\r(6),2).答案eq\f(\r(6),2)5．(2012·成都高一檢測)若cosθ＝－eq\f(12,13)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________.解析∵cosθ＝－eq\f(12,13)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，∴sinθ＝－eq\f(5,13)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝cosθcoseq\f(π,4)＋sinθsineq\f(π,4)＝－eq\f(12,13)×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(17\r(2),26).答案－eq\f(17\r(2),26)6．已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.解析∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，∴α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，β－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，又sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，∴cos(α＋β)＝eq\r(1－sin2α＋β)＝eq\f(4,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))))＝－eq\f(5,13).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝cos(α＋β)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(12,13)＝－eq\f(56,65).答案－eq\f(56,65)7．已知：sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，0<α<eq\f(π,2)，π<α＋β<eq\f(3,2)π，求cosβ的值．解因為sinα＝eq\f(3,5)，0<α<eq\f(π,2)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5).因為cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，π<α＋β<eq\f(3,2)π，所以sin(α＋β)＝－eq\r(1－cos2α＋β)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5).所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(4,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(3,5)＝－1.eq\a\vs4\al\co1(能力提升)8．(2012·蚌埠高一檢測)若eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx＝cos(x＋φ)，則φ的一個可能值為()．A．－eq\f(π,6) B.－eq\f(π,3)\f(π,6) \f(π,3)解析eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx＝cosxcoseq\f(π,6)＋sinxsineq\f(π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，故φ的一個可能值為－eq\f(π,6).答案A9．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,8)，則cosα＋eq\r(3)sinα的值為________．解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝coseq\f(π,3)cosα＋sineq\f(π,3)sinα＝eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα＋\r(3)sinα))＝eq\f(1,8)，故cosα＋eq\r(3)sinα＝eq\f(1