2021年浙江省臨海市、新昌縣高考數(shù)學模擬試卷（5月份）（附答案詳解）

2021年浙江省臨海市、新昌縣高考數(shù)學模擬試卷（5月份）

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分）

2

1.已知集合4={x\x-2x<0},B=（x\0<log3x<1},則4n8=（）

A.{%|0<%<3}B.{x[l<%<3}C.{x|0<%<2}D.{x|l<%<2}

x—y+1N0

2.若實數(shù)尤，y上滿足約束條件2x+y—2WO,則z=%+2y的最大值是（）

ty>0

A.1B.3C.5D.7

3.已知橢圓5+丫2=1（機>1）的離心率為圣則雙曲線5-產=1的離心率是（）

俯視圖

A.yB.YC.10D.14

5.函數(shù)=（2*+2-*）?恒因的圖象大致為（）

6.設m，是實數(shù)，則“傷＞班”是“a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知數(shù)列{%},{bn},滿足a1=1,瓦=6,an+i=2%,bn+1=2bn-2an（ne7*）.

若以=瓦，%的值是（）

A.4B.5C.6D.7

8.已知正實數(shù)a,〃滿足a+2b=2,則=+券的最小值是（）

A.：B.[—D*

9.已知圓O：x2+y2=1上存在點P,直線/：kx-y+4=0上存在點Q,使得4PQ。=

會則實數(shù)上的取值范圍是（）

A.[-V3)V3]B.(―co,—V3]U[V3,+oo)

C.[-V2,V2]D.(-oo(-V2]U[V2,+oo)

10.已知關于x的不等式（/+ax+b）之0在（0,+8）上恒成立（其中a,beR）,

則（）

A.當a=-2時，存在匕滿足題意B.當a=0時，不存在〃滿足題意

C.當b=1時，存在a滿足題意D.當b=2時，不存在a滿足題意

二、單空題（本大題共7小題，共36.0分）

11.若z=1+i(i是虛數(shù)單位)，則|z|=,z+|=

12.若二項式弓-3日）九的展開式的各項系數(shù)之和為64,則九=,含/項的系數(shù)

為______

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13.已知函數(shù)/(x)=sinsx?(cossx-百sizi3X)(o>>0)的最小正周期為兀，則

3=,當xe[0,押寸，/(%)的取值范圍是.

14.某一射擊游戲規(guī)則為：一共射擊3次，若未擊中得0分；第一次擊中得1分；若前

次未擊中，則接下去這次擊中得1分；若出現(xiàn)連續(xù)擊中情況，則后一次得分為前一

次得分加1分.某選手每次射擊擊中的概率為點記其參加游戲的總得分為。則

P&=2)=，E(f)=.

15.在平面四邊形A8CQ中，AM=MC,AB-~BD=CB-BD.^\AB\=m,\CB\=n,則

CA-DM=?

16.當％e[k-+},kez時，/'(%)=k.若函數(shù)g(x)=x/(x)-mx-1沒有零點，

則正實數(shù)m的取值范圍是.

17.如圖，在矩形A8C￡>中，AB=2,BC=4,E是邊40的中點，將△ABE沿直線

BE折成△A8E,使得二面角4-BE-C的平面角為銳角，點F在線段4'B上運動(

包括端點)，當直線CF與平面ABE所成角最大時，在底面ABCO內的射影

面積為?

三、解答題(本大題共5小題，共74.0分)

18.在UBC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosA=jsinC=<2cosB.

(I)求sinB的值；

(口)若c=2,求a的值.

19.如圖，在三棱錐P—ABC中，M是PC的中點，M在平面A8C的射影恰是A4BC的

重心。，且力B=4C=BC=AP.

(I)證明：AMIBC；

(II)求直線AM與平面PAB所成角的正弦值.

20.已知數(shù)列｛加｝的首項為=2,前〃項和為％,且數(shù)列｛手｝是以1為公差的等差數(shù)列.數(shù)

列｛bn｝的首項&=1,bn+1=3bn(neN*).

(I)求｛斯｝和｛%｝的通項公式；

(口)記7=瓦膏)就：百，求證：C1+c2+-+cn>i-^.

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21.如圖，已知點尸是拋物線Ci：y2=2px(p>0)上的動點，過點P作圓。2：(%-2)24-

y2=1的切線PA,PB(4,8是切點)分別與拋物線G交于點C,D.當尸是坐標原點0

時，|CD|=4V3.

(I)求拋物線G的方程；

(U)若CD〃AB,求點尸的坐標.

22.已知函數(shù)/(x)=e*+(1+X)。+士一a-2,g(x)=bx2+x,其中a6R,be

R.(e=2.718281828……為自然對數(shù)的底數(shù))

(I)求/。0在點(0,/(0))處的切線方程；

(n)若a24時，〃>)2g(x)在(0,+8)上恒成立.當6取得最大值時，求M=等

的最小值.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因為集合4={x\x2-2x<0}={x|0<%<2},

又B={x|0<log3x<1}={x|l<x<3},

所以4nB={x[l<x<2}.

故選：D.

先利用一元二次不等式和對數(shù)不等式的解法求出集合A,B,然后由交集的定義求解即

可.

本題考查了集合的運算，主要考查了集合交集的求解，解題的關鍵是掌握交集的定義,

屬于基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：由約束條件作出可行域如圖,

當直線y=；過A時,

直線在y軸上的截距最大，z有最大值為3.

故選：B.

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，把最

優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結合思想，是中檔題.

3.【答案】C

【解析】解：橢圓*+y?=1(7n>1)的離心率為日，

可得甯=立，解得血=2,

V?n2

則雙曲線9—y2=i的離心率為：選=當

故選：C.

利用橢圓的離心率求解m,然后求解雙曲線的離心率即可.

本題考查橢圓以及雙曲線的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力，是基礎題.

4.【答案】B

【解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉換為直觀圖為：該幾何體為四棱臺;

所以：l/=|x(lxl+Vlx1x2x2+2x2)x2=y.

故選：B.

首先把三視圖轉換為幾何體的直觀圖，進一步求出幾何體的體積.

本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉換，幾何體的體積公式的應用，

主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題.

5.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意,函數(shù)/(x)=(2"+2r>lg|x|,其定義域為{x|x。0},

則f(r)=(2X+2-x)-lg|x|=/(x),即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除B,

在區(qū)間(0,1)上，2x+2-x>0,lg|x|<0,則f(x)<0,排除AC,

故選：D.

根據(jù)題意，先分析函數(shù)的奇偶性，在分析區(qū)間(0,1)上，/(x)的符號，用排除法分析可得

答案.

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本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值符號的分析，屬于基礎題.

6.【答案】A

【解析】解：①當正>VF時，［a>b20,>ab,.?.充分性成立，

②當a=-3,6=1時，滿足a?>ab,但不滿足G>VF,.,.必要性不成立，

yfa>VF是a?>ab的充分不必要條件，

故選：A.

根據(jù)不等式的性質和舉實例，借助充分必要條件的定義即可求解.

本題考查了不等式的解法與性質、簡易邏輯的判定方法，屬于基礎題.

7.【答案】C

【解析】解：數(shù)列｛冊｝,滿足%=1,an+1=2an,

故膏=2（常數(shù)），

所以數(shù)列8工是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列；

所以。九=2nT,

由于bn+i=2匕-2an,

n

所以垢+i=2bn-2,

整理得：黑—黑=/

所以數(shù)列｛箓｝是以3為首項，為公差的等差數(shù)列；

所以普=3—"兀-1）,

整理得：%=（一）2,

由于。=bk,

所以/-1=（m）?2匕

解得k=6.

故選：C.

直接利用數(shù)列的遞推關系式求出數(shù)列的通項公式，進一步求出上的值.

本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學

思維能力，屬于基礎題.

8.【答案】A

【解析】解：?.?正實數(shù)a,6滿足a+2b=2,

1/,oj.oxz1.2、1”,4,2b+2,2a、、1_.2b+22a、9

=-(a+2b+2)(-+—)=-(l+4+—+—)>-x(z5+o2j—x—)=-,

當且僅當a=%時，取得最小值，

故選：A.

變形利用基本不等式即可得出結論.

本題考查了基本不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

9.【答案】B

【解析】解：直線依一丁+4=0過定點(0,4),

由題意可得，當直線P。與圓相切時，4PQ0最大，止匕時1°<21=靛=2,

要使圓0：x2+y2=1上存在點P,直線/：以一y+4=0上存在點Q,使得“Q。=￡

成立，

則有d=J*w2,解得ke(―00,—百]u[b,+8).

故選：B.

由題意，當直線尸。與圓相切時，NPQ。最大，此時|0Q|=2,然后可得圓心到直線的

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距離小于或等于2,求解不等式可得實數(shù)A的取值范圍.

本題考查直線與圓的位置關系，考查化歸與轉化、數(shù)形結合思想，考查運算求解能力,

是中檔題.

10.【答案】D

【解析】解：；(>+ax+b)-Inx>0在(0,+8)上恒成立,

①若0<x<1,則Inx<0,

x2+ax+b<0在區(qū)間(0,1)上恒成立，令g(x)=x2+ax+b,

l，l(5(0)<0cb<0.p<0

則hig⑴WO'即Q+b+lWO'叫aS-1；

②若xNl,則①x20,

x2+ax+b>0在區(qū)間［1,+8)上恒成立，

由①知，b<0,

故g(x)20=g(l)=/+a+b20,即a+b+120,由①知a+b+IWO,

a+b+l=O,其中bW0,

對于A,當a=-2時，6=1,不滿足bS0,故A錯誤；

對于8,當a=0時，b=—1,滿足bW0,故B錯誤；

對于C,b=l>0,故不存在“滿足題意，故C錯誤；

對于力，當b=2時，不存在。滿足題意，故。正確：

故選：D.

分0<x<1與久>1兩類討論，依題意，可得a+b+1=0,其中b<0,從而對A、B、

C、。四個選項逐一分析可得答案

本題考查函數(shù)恒成立問題，求得a+b+l=O,且匕40是關鍵，也是難點，考查分類

討論思想與等價轉化思想的綜合運算，考查邏輯推理與數(shù)學運算能力，屬于難題.

11.【答案】V22

【解析】解：1"-z=1+i,

\z\=V2,

?.?z+：=l+i+2+i++i+l—

故答案為：V2,2.

利用復數(shù)的模長公式和復數(shù)的四則運算求解.

本題主要考查了模長公式和復數(shù)的四則運算，是基礎題.

12.【答案】6729

【解析】解：?.?二項式C一3石尸的展開式的各項系數(shù)之和為(1-3)"=64,則n=6.

根據(jù)它的通項公式4+1=瑞?(一3尸.xT-6，

令日—6=3,求得r=6,

故含項的系數(shù)為若.(—3)6=36=729,

故答案為：6；729.

由題意利用二項展開式的通項公式，求得含二項的系數(shù).

本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，屬于中檔題.

13.【答案】1[_舊,1一日]

【解析】解：函數(shù)/(x)=sina>x?(cosoix-V3sinwx)

=sina)xcosa)x—V3sin2cox

1V3

=-sin2a)x——(1—cos2a)x)

=sin(2eox+；)-

因為3>0,且/(%)的最小正周期為7T,

所以7=篝=兀，解得3=1；

2a)

則/(x)=sin(2x+》一學

因為xe[0,J

所以2%+geg,爭,

故sin(2x+》e[—今1],

所以/(x)G[―V3,1—爭，

故答案為：[一百,1一日].

先利用三角恒等變換將函數(shù)f(X)的解析式化簡變形，然后利用周期的計算公式求出3的

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值；利用整體代換的思想以及正弦函數(shù)的性質求解f(x)的取值范圍即可.

本題考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，三角函數(shù)周期性以及值域的求解，解題的關鍵是

將函數(shù)的解析式進行化簡變形，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于基礎題.

14.【答案W藍

【解析】解：當f=2時，說明第一次擊中，第二次沒有擊中，第三次擊中，

所以PK=2)=3XTX；京

由題意，f的可能取值為0,1,2,3,6,

當《=0時，說明一次都沒擊中，則P&=0)=；x；x；=；,

ZZZo

當6=1時，說明擊中一次，則=1)=廢；x；x；=；,

當；=2時，說明第一次擊中，第二次沒有擊中，第三次擊中，則P(f=2)=；x；x；=；,

ZZZo

當f=3時，說明前兩次擊中，最后一次未擊中或第一次未擊中，其余兩次擊中，則P&=

3c)、=-1x—1x—1,I—1x—1x—1=—2,

72222228

當f=6時，說明三次都擊中，則P(f=6)=；x?x：=§

4ZZo

所以E(f)=0xq+lxg+2x"3x|+6x；?

故答案為：a*

oo

由f=2所表示的事件，利用相互獨立事件的概率乘法公式求解即可；先求出隨機變量f

的可能取值，然后求出其對應的概率，由數(shù)學期望的計算公式求解即可.

本題考查了離散型隨機變量及其分布列和離散型隨機變量期望的求解與應用，考查了邏

輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題.

15.【答案】如2_滔

【解析】解：根據(jù)題意，作出圖形如下:

因為而?麗=蕾?麗，

所以（而一方）?前=0，即得前?前=0，

即得4c1BD,

又因為祠=祝，即點M為AC中點，

所以麗=^DA+^DC=^（DB+BA）+^（DB+JC）=DB+^BA+|fiC,

所以不■DM=CA-'DB+CA-（qBA+|BC）=0+^（BA-'BC）（BA+BC）=i（B^-

—>2

BC），

又因為|AB|=m,|CF|=n>

所以g5-DM=|m2—1n2.

故答案為：jni2—|n2

使用平面數(shù)量積的性質和運算，將題中數(shù)量積化簡即可得到4CLBD,然后用線性運算

將血轉化為前，放，然后使用勾股定理進行求解.

本題主要考查向量數(shù)量積的運算，以及向量的線性運算，屬于中檔題.

16.【答案】口,》“也2）

作出函數(shù)/(x)與h(x)=：+m的圖象，

由圖可知，當x<0時，要使得函數(shù)g(x)=xf(x)-mx-1沒有零點，

必須滿足—1<%(—1)<0，解得1<771<2；

當x>0時，要使得函數(shù)g(x)=x/(x)-mx-1沒有零點，

必須滿足1<九(|)<2或2</i(|)<3,解得5<m<g或g<m<Y.

綜上所述，實數(shù)機的取值范圍為］1,》U《,2).

故答案為：［1,}U《,2).

當x=0時，g(0)K0,當XH0時，將問題轉化為兩個函數(shù)圖象的交點來研究，作出函

數(shù)f(x)與h(x)=5+6的圖象，利用數(shù)形結合法進行分析求解即可.

本題考查了函數(shù)的零點與方程的根的綜合應用，解決函數(shù)零點或方程根的問題，常用的

方法有：(1)方程法(直接解方程得到函數(shù)的零點)；(2)圖象法(直接畫出函數(shù)的圖象分析

得解)；(3)方程+圖象法(令函數(shù)為零，再重新構造兩個函數(shù)，數(shù)形結合分析得解).屬于

中檔題.

17.【答案】3—相

【解析】解：如圖，設二面角4—BE—C的平面角

/.A'HO=0,

則4。=夜sin。，HO=V2cosd,OC2=(3-

cos9)2+(1-cosd)2,

A'C2=(3—cos8')2+(1-cosO}2+2sin29,即

A'C2=12-8cosd<12,

???4BAC為鈍角，???CF2C4',

即直線CF與平面ABE所成角最大時，F(xiàn)點就是4點，

另一方面，「CE1BE,：.C到平面4BE的距離為d=CE-sin9=2asM。，

???此時所成角的正弦值sina=且=善g=V2.近叵，

CAfV12-8COS0Y3—2cos8

令t=3-2cos0=遍時，角度最大，即cos。=-1

2

此時S投影面積=S原面積-cos*x2x2x等=3-倔

故答案為：3-傷.

設二面角A-BE—C的平面角NA"。=。，根據(jù)條件得到A'C?=12-8cos0<12,再

求出直線CF與平面4BE所成角最大時，C到平面4BE的距離為d=CE-sinO=

2年tn。，再求出AFBE在底面ABC。內的射影面積.

本題考查投影面積的求法和二面角，考查運算求解能力，是中檔題.

18.【答案】解：（I）因為cosA=1,sin2i4+cos24=1,AG（O.TT）,

所以sinA=y/1-cos2/l=-,

3

又C=7i-A-B,

所以sinC=sin（i4+8）=sinAcosB+cosAsinB=與cosB+；sinB,

因為sinC=&cosB,即等cosB+^sinB=yflcosB?

所以s譏B=V^cosB,

又siM8+cos2^=1,

所以解得sinB=亞.

3

（II）因為sinC=CcosB,

由（I）可得sinB=>/2cosB=乎,

所以s譏C=漁，

3

因為c=2,

由正弦定理可得a=等=岑=釁.

sinCV63

3

【解析】（I）由己知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sin4的值，根據(jù)兩角和的正弦公

式，同角三角函數(shù)基本關系式即可求解sinB的值.

（II）由（I）及已知可求sinC的值，進而根據(jù)正弦定理即可求解“的值.

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，兩角和的正弦公式，正弦定理在解三角形中

的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題.

19.【答案】解：（I）證明：連接A。，???點M在平面ABC的投影

為O,

???MO1平面ABC,BCu平面ABC,BC1MO,

???點。恰是等邊△4BC的重心，;BCLAO,

第16頁，共20頁

VM。n40=0,???BC1平面AMO,

???AM1BC.

（11）延長40交8（7于點。，連接

由（I）得。為BC中點，設0D=l,

11?△ABC是正三角形，［AO=0C=2,

二正三角形邊長為2遍，

由AMOC三△M04,MA1MC,得M4=MC=巡，

PM=V6，PA=2V3，MO=V2.MD=痘,PB=2MD=273.

取PB中點、E,-：AP=PB,.-.AE1PB,

由（1）得4M1BC,又4MlpC,得AM，平面PBC,

.-.AMLPB,：.PB1^AME,即NE4M是直線AM與平面PAB所成角，

由題意得AE=3,EM=V3.MA=V6.

,,...EM

???smZ-nEAM=——=—V3,

AE3

???直線AM與平面PAB所成角的正弦值為它.

3

【解析】（I）連接A。，則MO_L平面ABC,BC1MO,由點。恰是等邊△ABC的重心,

得BC1A0,從而BC1平面AMO,由此能證明4MlBC.

（II）延長A。交BC于點。，連接則。為BC中點，設0。=1,則4。=。。=2,

正三角形邊長為2舊，由^MOCSAMOA,MA1MC,得M4=MC=遍，取PB中點E,

推導出4M_L平面PBC,PBJ_平面AME,NEAM是直線AM與平面PAB所成角，由此能

求出直線AM與平面所成角的正弦值.

本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面

間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力等數(shù)學核心素養(yǎng)，是中檔

題.

20.【答案】（I）解：因為%=2,所以彳=2,

又數(shù)列曲是以1為公差的等差數(shù)列，

2

所以中=n+l,Ji!!jSn=n+n,

當n>2時，an=Sn-Sn,i=2n,

當九=1時，ar—2也適合上式，

所以Qn=2九;

因為小+i=3bn,所以數(shù)列出九｝是公比為3的等比數(shù)列,

又瓦=1,則匕=3nT；

(an-Dbn_(2nT)3n7

（口）證明:(如+DSn+i+D―(3…+1)(3九+1)>甲-1+1)(3兀+1)'

口刃中-1+1)(3、+1)-(3n-1+l)(3n+l)一(3n-1+l)(3n+l)-3吁1+1-3n+l，

故。>金n+1

3n+l，

所以C1+C2+…+%>（土一舟）+（島一號）+…-瑞）=^一^，

故Cl+c2+-?-+cn>^-^

【解析】（I）利用等差數(shù)列的通項公式求出S”，由數(shù)列的第〃項與前〃項和之間的關系

求IIIan,利用等比數(shù)列的通項公式求解為即可；

（II）利用（I）中的結果，將“表示出來，然后利用放縮法結合裂項相消法求和，即可證

明不等式成立.

本題考查了與不等式的綜合應用，涉及了等差數(shù)列通項公式的應用，數(shù)列的第〃項與前

〃項和之間關系的應用，放縮法證明不等式以及裂項相消法求和的應用，考查了邏輯推

理能力與化簡運算能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：（I）P是坐標原點。時，設切線的方程為丫=卜X,BR/cx-y=0,

由切線與圓相切，可得圓心（2,0）到切線的距離為d=韶=1,

解得k=±f,則切線的方程為丫=±?x，

當尸為坐標原點時，釉，又|CD|=4>/5，

所以可設。的縱坐標為2班，

則2代=1打，解得益=6,

將C（6,2g）代入拋物線的方程可得12=2p-6,

解得p=1,則拋物線的方程為y2=2x；

（口）因為PA,P8為圓C2的兩條切線，A,B為切點,可得PA=PB,

若CD“AB,則PC=PC.

而尸為原點時，切線PA,PB關于x軸對稱，PC,P￡>也關于x軸對稱，而拋物線和圓

關于x軸對稱，

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所以此時必定有CD〃4B,而P4交拋物線于C(6,2次)，P8交拋物線于0(6,-2遮)，

而CQ在直線％=6上，不與圓。2相切，

因此P的坐標為(0,0)；

同樣，CD//AB,如P不在這三個點上，由PC=PD,△「<?￡>關于PQ對稱，

難以滿足C,。都在拋物線上，

故P的坐標為(0,0).

【解析】(I)設切線的方程為丫=4％,由直線和圓相切的條件：d=r,可得A和切線的

方程，由P為坐標原點時，可得CDlx軸，求得C,。的坐標，代入拋物線的方程，可

得P，進而得到拋物線的方程；

(n)由切線長相等和平行線的性質，可得PC=PD,討論尸為原點，結合對稱性，推得

△PCD為等邊三角形，可得產的坐標；由CD〃4B,如P不在這三個點上，由對稱性，

可判斷結論.

本題考查拋物線的定義、方程和性質，以及直線和圓、直線和拋物線的位置關系，考查

方程思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題.

22.【答案】解：(I)--/"(%)=ex+a(l+x)^1-不失，

???/'(0)=1,

又f(0)=o,

???所求切線方程為y=尤；

(11)設八0)=