2023-2024學(xué)年上海市黃浦區(qū)立達(dá)中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市黃浦區(qū)立達(dá)中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的1．（4分）如果，且是和的比例中項(xiàng)，那么等于A． B． C． D．2．（4分）如圖，、分別是的邊、上的點(diǎn)，下列各比例式不一定能推得的是A． B． C． D．3．（4分）已知為非零向量，，，那么下列結(jié)論中，不正確的是A． B． C． D．4．（4分）在中，，，，那么的值是A． B． C． D．25．（4分）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么下列結(jié)論中正確的是A． B．當(dāng)時(shí)， C． D．6．（4分）如圖所示，一座拋物線形的拱橋在正常水位時(shí)，水面寬為20米，拱橋的最高點(diǎn)到水面的距離為4米．如果此時(shí)水位上升3米就達(dá)到警戒水位，那么寬為A．米 B．10米 C．米 D．12米二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）計(jì)算：．8．（4分）如果的值是黃金分割數(shù)，那么的值為．9．（4分）計(jì)算：．10．（4分）拋物線的對(duì)稱軸是直線．11．（4分）拋物線在對(duì)稱軸右側(cè)的部分是上升的，那么的取值范圍是．12．（4分）如圖，飛機(jī)在目標(biāo)的正上方處，飛行員測(cè)得地面目標(biāo)的俯角，如果地面目標(biāo)、之間的距離為6千米，那么飛機(jī)離地面的高度等于千米．（結(jié)果保留根號(hào)）13．（4分）如果一個(gè)斜坡的坡度，那么該斜坡的坡角為度．14．（4分）如圖，過(guò)的重心作上分別交邊、于點(diǎn)、，聯(lián)結(jié)，如果平分，，那么．15．（4分）如圖，是的中線，是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，那么．16．（4分）如圖，已知一張三角形紙片，，，，點(diǎn)在邊上．如果過(guò)點(diǎn)剪下一個(gè)與相似的小三角形紙片，可以有四種不同的剪法，設(shè)，那么的取值范圍是．17．（4分）如圖，將正方形紙片進(jìn)行如下操作：對(duì)折正方形得折痕，連接，將折疊到上，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得折痕，則．18．（4分）如果一個(gè)三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半，那么我們把這個(gè)三角形叫做“半高三角形”．這條高稱為“半高”．若一個(gè)三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”長(zhǎng)為，則該等腰三角形底邊長(zhǎng)為．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．計(jì)算：．20．如圖，已知在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，且．（1）如果，求的長(zhǎng)；（2）設(shè)，，試用、的線性組合表示向量．21．如圖，已知拋物線與軸交于原點(diǎn)與點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式以及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)，，若的面積為6，求點(diǎn)的坐標(biāo)．22．圖①是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上，圖②是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，托板長(zhǎng)，支撐板長(zhǎng)，板固定在支撐板頂點(diǎn)處，且，托板可繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板可繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，．（1）若時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離（計(jì)算結(jié)果精確到個(gè)位）；（2）為了觀看舒適，把（1）中調(diào)整為，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在直線上即可，求旋轉(zhuǎn)的角度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，23．（12分）已知四邊形中，，分別是，邊上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）如圖①，若四邊形是矩形，且．求證：；（2）如圖②，若四邊形是平行四邊形．試探究：當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，使得成立？并證明你的結(jié)論．24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為（如圖），經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線與軸相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求此拋物線表達(dá)式與頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的正弦值；（3）將此拋物線向上平移，所得新拋物線的頂點(diǎn)為，且與相似，求平移后的新拋物線的表達(dá)式．25．如圖，梯形中，，，，，．點(diǎn)在射線上，以點(diǎn)為圓心，為半徑的交射線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，交射線于點(diǎn)．（1）求線段的長(zhǎng)；（2）設(shè)線段，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，試求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出的取值范圍；（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．

2023-2024學(xué)年上海市黃浦區(qū)立達(dá)中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的1．（4分）如果，且是和的比例中項(xiàng)，那么等于A． B． C． D．解：，是和的比例中項(xiàng)，即，．故選：．2．（4分）如圖，、分別是的邊、上的點(diǎn)，下列各比例式不一定能推得的是A． B． C． D．解：，，故正確；，，故正確；，，故正確，故選：．3．（4分）已知為非零向量，，，那么下列結(jié)論中，不正確的是A． B． C． D．解：為非零向量，，，，，，，、、正確，錯(cuò)誤，故選：．4．（4分）在中，，，，那么的值是A． B． C． D．2解：在中，，，，，，故選：．5．（4分）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么下列結(jié)論中正確的是A． B．當(dāng)時(shí)， C． D．解：．由圖可知：拋物線開(kāi)口向下，，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸，，，故不符合題意；．設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，拋物線的對(duì)稱軸是直線：，，，二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，故不符合題意；．拋物線的對(duì)稱軸是直線：，，，故不符合題意；．由可得：二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，把代入中可得：，故符合題意；故選：．6．（4分）如圖所示，一座拋物線形的拱橋在正常水位時(shí)，水面寬為20米，拱橋的最高點(diǎn)到水面的距離為4米．如果此時(shí)水位上升3米就達(dá)到警戒水位，那么寬為A．米 B．10米 C．米 D．12米解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的垂直平分線為軸，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為，點(diǎn)到水面的距離為4米，、點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，水面寬為20米，，，將代入，，，，水位上升3米就達(dá)到警戒水位，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，，，故選：．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）計(jì)算：．解：．故答案為：．8．（4分）如果的值是黃金分割數(shù)，那么的值為．解：的值是黃金分割數(shù)，，，，，故答案為：．9．（4分）計(jì)算：．解：原式，故答案為：．10．（4分）拋物線的對(duì)稱軸是直線．解：，拋物線的對(duì)稱軸是直線．故答案為：．11．（4分）拋物線在對(duì)稱軸右側(cè)的部分是上升的，那么的取值范圍是．解：當(dāng)拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的部分是上升時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，，，故答案為：．12．（4分）如圖，飛機(jī)在目標(biāo)的正上方處，飛行員測(cè)得地面目標(biāo)的俯角，如果地面目標(biāo)、之間的距離為6千米，那么飛機(jī)離地面的高度等于千米．（結(jié)果保留根號(hào)）解：如圖所示：，，，，（米，即飛機(jī)離地面的高度等于米，故答案為：．13．（4分）如果一個(gè)斜坡的坡度，那么該斜坡的坡角為60度．解：，，故答案為：60．14．（4分）如圖，過(guò)的重心作上分別交邊、于點(diǎn)、，聯(lián)結(jié)，如果平分，，那么8．解：如圖，連接并延長(zhǎng)，交于．為的重心，，，即．，，即，解得，．平分，，，，，．，，即，解得．故答案為：8．15．（4分）如圖，是的中線，是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，那么．解：作交于，，是的中線，，，是中點(diǎn)，，，，故答案為：．16．（4分）如圖，已知一張三角形紙片，，，，點(diǎn)在邊上．如果過(guò)點(diǎn)剪下一個(gè)與相似的小三角形紙片，可以有四種不同的剪法，設(shè)，那么的取值范圍是．解：如圖所示，過(guò)作交于或交于，則或，此時(shí)；如圖所示，過(guò)作交于，則，此時(shí)；如圖所示，過(guò)作交于，則，此時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，即，，，此時(shí)，；綜上所述，的取值范圍是．故答案為：．17．（4分）如圖，將正方形紙片進(jìn)行如下操作：對(duì)折正方形得折痕，連接，將折疊到上，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得折痕，則．解：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，如圖所示：四邊形為正方形，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，即，，，，．故答案為：．18．（4分）如果一個(gè)三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半，那么我們把這個(gè)三角形叫做“半高三角形”．這條高稱為“半高”．若一個(gè)三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”長(zhǎng)為，則該等腰三角形底邊長(zhǎng)為4或或．解：分兩種情況：當(dāng)“半高”是底邊上的高時(shí)，如圖：在中，，，，；當(dāng)“半高”是腰上的高時(shí)，①當(dāng)是銳角三角形時(shí)，如圖：在中，，，，，，，；②當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，如圖：在中，，，，，，，；綜上所述：若一個(gè)三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”長(zhǎng)為，則該等腰三角形底邊長(zhǎng)為4或或，故答案為：4或或．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．計(jì)算：．解：．20．如圖，已知在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，且．（1）如果，求的長(zhǎng)；（2）設(shè)，，試用、的線性組合表示向量．解：（1），，，，；（2）由（1）知，，，，．21．如圖，已知拋物線與軸交于原點(diǎn)與點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式以及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)，，若的面積為6，求點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）拋物線與軸交于原點(diǎn)，，解得，拋物線的表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，解得，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2），頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，，的面積為6，點(diǎn)，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．22．圖①是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上，圖②是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，托板長(zhǎng)，支撐板長(zhǎng)，板固定在支撐板頂點(diǎn)處，且，托板可繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板可繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，．（1）若時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離（計(jì)算結(jié)果精確到個(gè)位）；（2）為了觀看舒適，把（1）中調(diào)整為，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在直線上即可，求旋轉(zhuǎn)的角度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，解：（1）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為：．在中，，．，，，．．在中，，．點(diǎn)到直線的距離為．（2）如圖所示，虛線部分為旋轉(zhuǎn)后的位置，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則，．在△中，，，．旋轉(zhuǎn)的角度為．23．（12分）已知四邊形中，，分別是，邊上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）如圖①，若四邊形是矩形，且．求證：；（2）如圖②，若四邊形是平行四邊形．試探究：當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，使得成立？并證明你的結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖（1），四邊形是矩形，，，，，，，，，；（2）當(dāng)時(shí)，成立．證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，，，，即當(dāng)時(shí)，成立．24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為（如圖），經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線與軸相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求此拋物線表達(dá)式與頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的正弦值；（3）將此拋物線向上平移，所得新拋物線的頂點(diǎn)為，且與相似，求平移后的新拋物線的表達(dá)式．解：（1）將代入得：，解得，拋物線表達(dá)式為，，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）設(shè)與軸交于，過(guò)作于，如圖：拋物線與軸交于，設(shè)解析式為，將，代入得：，解得，解析式為，令得，，，，，，，，，，，，；（3）拋物線向上平移，所得新拋物線的頂點(diǎn)為，設(shè)，則平移后的新拋物線的表達(dá)式為，且，，，，，若與相似，只需三邊對(duì)應(yīng)成比例，但對(duì)應(yīng)邊不能是，故分三種情況：①若，如圖：，即，解得：，，平移后的新拋物線的表達(dá)式，②若，則，即，無(wú)解，③若，如圖：，即，解得，，平移后的新拋物線的表達(dá)式；綜上所述，與相似，平移后的新拋物線的表達(dá)式為或．25．如圖，梯形中，，，，