新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線的方程3.1橢圓3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第2課時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)生用書無答案新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第2課時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)1．進(jìn)一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用，了解橢圓在實(shí)際生活中的應(yīng)用．(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．會(huì)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)3．能運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)從橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)F1處出發(fā)的光線照射到P點(diǎn)，經(jīng)反射后通過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2，如圖所示．點(diǎn)P及點(diǎn)O與橢圓C具有怎樣的位置關(guān)系？直線l及直線PF2與橢圓C具有怎樣的位置關(guān)系？知識(shí)點(diǎn)1點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓x2a2＋y2b2＝點(diǎn)P在橢圓上?________________；點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部?________________；點(diǎn)P在橢圓外部?________________．知識(shí)點(diǎn)2直線與橢圓的位置關(guān)系(1)判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法直線y＝kx＋m與橢圓x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不同解，直線與橢圓____；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相同解，直線與橢圓____；當(dāng)Δ<0時(shí)，方程無解，直線與橢圓____．(2)弦長(zhǎng)公式設(shè)直線方程為y＝kx＋m(k≠0)，橢圓方程為x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝______，或|AB|＝______，其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通過由直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若直線的斜率一定，則當(dāng)直線過橢圓的中心時(shí)，弦長(zhǎng)最大． ()(2)已知橢圓x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)與點(diǎn)P(b，0)，過點(diǎn)(3)直線y＝k(x－a)(k≠0)與橢圓x2a2＋y2b2＝2．(1)點(diǎn)P(2，1)與橢圓x24＋y29＝(2)若點(diǎn)A(a，1)在橢圓x24＋y22＝1的內(nèi)部，則3．過橢圓x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)F(類型1直線與橢圓的位置關(guān)系【例1】(源自湘教版教材)對(duì)不同的實(shí)數(shù)m，討論直線l：y＝x＋m與橢圓C：x24＋y2＝1[嘗試解答]直線與橢圓有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實(shí)數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個(gè)數(shù)問題，此時(shí)要注意分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：x24＋y22＝1．試問當(dāng)m取何值時(shí)，直線(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒有公共點(diǎn)．類型2實(shí)際生活中的橢圓問題【例2】(多選)如圖所示，現(xiàn)假設(shè)某探測(cè)器沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，則下列式子正確的是()A．a(chǎn)1＋c1＝a2＋c2 B．a(chǎn)1－c1＝a2－c2C．c1a1<c2a[嘗試解答]解決和橢圓有關(guān)的實(shí)際問題的思路(1)通過數(shù)學(xué)抽象，找出實(shí)際問題中涉及的橢圓，將原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．(2)確定橢圓的位置及要素，并利用橢圓的方程或幾何性質(zhì)求出數(shù)學(xué)問題的解．(3)用解得的結(jié)果說明原來的實(shí)際問題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(源自北師大版教材)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心將一顆人造衛(wèi)星送入到距地球表面近地點(diǎn)(離地面最近的點(diǎn))高度約200km，遠(yuǎn)地點(diǎn)(離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))高度約350km的橢圓軌道(將地球看作一個(gè)球，其半徑約為6371km)，求橢圓軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程．(注：地心(地球的中心)位于橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)，且近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)與地心共線)類型3直線與橢圓的相交弦問題弦長(zhǎng)問題【例3】已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m．(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程．[嘗試解答](1)求直線被橢圓截得弦長(zhǎng)的方法：一是求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式；二是用弦長(zhǎng)公式|AB|＝1+k2|x1－x2|，或|AB|＝1+1k2|y1－y2|，其中k為直線AB的斜率，A(x1，y2)，B(x2(2)有關(guān)直線與橢圓相交弦長(zhǎng)最值問題，要特別注意判別式的限制．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距的2倍，且過點(diǎn)M1，32，(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過左焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|＝185時(shí)，求直線l的方程中點(diǎn)弦問題【例4】(2022·山西省朔州市期末)已知橢圓x216＋y24＝1的弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，1)，則直線[嘗試解答][母題探究]本例中把條件改為“點(diǎn)M(2，1)是直線x＋2y－4＝0被焦點(diǎn)在x軸上的橢圓所截得的線段的中點(diǎn)”，求該橢圓的離心率．試總結(jié)用“點(diǎn)差法”求解弦中點(diǎn)問題的解題步驟．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．過點(diǎn)M(1，1)作斜率為－12的直線與橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M與弦長(zhǎng)有關(guān)的最值、范圍問題【例5】已知橢圓C：x24＋y2＝1，點(diǎn)P為橢圓C上非頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A1，A2分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過A1，A2分別作l1⊥PA1，l2⊥PA2，直線l1，l2相交于點(diǎn)G，連接OG(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，線段OG與橢圓C交于點(diǎn)Q．記直線OP，OQ的斜率分別為k1，k(1)求k1(2)求△POQ面積的最大值．[思路導(dǎo)引](1)寫出點(diǎn)A1，A2的坐標(biāo)→設(shè)P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)→k1＝y(tǒng)0x0，寫出直線l1，l2的方程→聯(lián)立直線l1，l2的方程求出G的坐標(biāo)→求出k2→求出(2)結(jié)合(1)設(shè)出直線OP，OQ的方程→分別與橢圓方程聯(lián)立求出P，Q的坐標(biāo)→利用兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式求出△POQ面積的表達(dá)式→利用基本不等式求出△POQ面積的最大值．[嘗試解答]求與橢圓有關(guān)的最值、范圍問題的方法(1)定義法：利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題處理．(2)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)與形的結(jié)合，挖掘幾何特征，進(jìn)而求解．(3)函數(shù)法：探求函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，借助函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等求解，注意橢圓的范圍．[跟進(jìn)訓(xùn)練]5．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的離心率e＝22，且點(diǎn)P(1)求橢圓C的方程；(2)斜率為－1的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最大值．1．直線y＝x＋1與橢圓x25＋y24＝1A．相交