新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示課件新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第一章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)任務(wù)1．通過實(shí)例了解集合的含義．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握集合中元素的三個(gè)特性．(邏輯推理)3．體會(huì)元素與集合的“屬于”和“不屬于”關(guān)系，記住常用數(shù)集的表示符號(hào)并會(huì)應(yīng)用．(數(shù)學(xué)抽象)必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知01平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示：設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)，a·b＝a1b1＋a2b2．你能由平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示類比得到空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示嗎？它們是否成立？為什么？知識(shí)點(diǎn)1空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：運(yùn)算坐標(biāo)表示加法a＋b＝______________________減法a－b＝______________________數(shù)乘λa＝________________，λ∈R數(shù)量積a·b＝________________(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3知識(shí)點(diǎn)2空間向量的平行、垂直、模與夾角公式的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則平行(a∥b)a∥b(b≠0)?a＝λb?__________________________________垂直(a⊥b)a⊥b?a·b＝0?___________________(a，b均為非零向量)模夾角公式a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

(λ∈R)

(x2－x1，y2－y1，z2－z1)

√√

××2．已知空間向量m＝(1，－3，5)，n＝(－2，2，－4)，則m＋n＝_____________，3m－n＝_____________，2m·(－3n)＝_____．(－1，－1，1)

(5，－11，19)

168

[m＋n＝(1，－3，5)＋(－2，2，－4)＝(－1，－1，1)；3m－n＝3(1，－3，5)－(－2，2，－4)＝(3，－9，15)－(－2，2，－4)＝(5，－11，19)；2m·(－3n)＝(2，－6，10)·(6，－6，12)＝2×6＋(－6)×(－6)＋10×12＝168．](－1，－1，1)(5，－11，19)168

(1，－1，－1)

關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算類型2空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示及應(yīng)用類型3利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決夾角和距離問題

類型1空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例1】

(1)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，滿足條件(c－a)·2b＝－2，則x＝________．2

[c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2．]2

反思領(lǐng)悟

關(guān)于空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的兩類問題(1)直接計(jì)算問題：首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，然后準(zhǔn)確運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算；(2)由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)：首先把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來(lái)，然后通過建立方程組，解方程組求出其坐標(biāo)．

反思領(lǐng)悟

利用平行與垂直求參數(shù)時(shí)要注意：(1)適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a，b平行，可設(shè)a＝λb)，建立關(guān)于參數(shù)的方程；(2)最好選擇坐標(biāo)形式，以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的．

考向2

向量的平行、垂直關(guān)系在立體幾何證明中的應(yīng)用【例3】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)，G，H分別是CC1，BC，CD和A1C1的中點(diǎn)．求證：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；(2)A1G⊥平面EFD．

反思領(lǐng)悟

利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明平行或垂直，要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量平行、垂直的充要條件證明．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．如圖所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．(1)求證：AF∥平面BCE；(2)求證：平面BCE⊥平面CDE．

[解]

如圖所示，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CA，CB，CC′所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決夾角和距離問題的基本思路是什么？提示：(1)根據(jù)條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，用向量表示相關(guān)元素；(3)通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角和距離．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝a，AD＝2，SA＝1，且SA⊥底面ABCD，若邊BC上存在異于B，C的一點(diǎn)P使得PS⊥PD．(1)求a的最大值；(2)當(dāng)a取得最大值時(shí)，求異面直線AP與SD所成角的余弦值．

學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)031．已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，則b＝(

)A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)1234B

[b＝(a＋b)－a＝(－1，2，－1)－(1，－2，1)＝(－2，4，－2)，故選B．]√1234

√12343．已知a＝(1，x，3)，b＝(－2，4，y)