專題04 有理數(shù)范圍內(nèi)的定義新運(yùn)算（解析版）

專題04有理數(shù)范圍內(nèi)的定義新運(yùn)算類型一和絕對值有關(guān)1．在有理數(shù)的范圍內(nèi)，我們定義三個(gè)數(shù)之間的新運(yùn)算“☆”法則：．如：．（1）計(jì)算：．（2）計(jì)算：．（3）在，，，…，，，，，…，，這個(gè)數(shù)中：①任取三個(gè)數(shù)作為a，b，c的值，進(jìn)行“”運(yùn)算，求所有計(jì)算結(jié)果中的最小值；②若將這個(gè)數(shù)任意分成五組，每組三個(gè)數(shù)，進(jìn)行“”運(yùn)算，得到五個(gè)不同的結(jié)果，由于分組不同，所有五個(gè)運(yùn)算的結(jié)果也不同，請直接寫出五個(gè)結(jié)果之和的最大值．【答案】（1）4；（2）3；（3）①當(dāng)，，時(shí)，可取最小值為；②．【解析】【分析】（1）根據(jù)新運(yùn)算法則列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)新運(yùn)算法則列式計(jì)算即可；（3）①分類討論，，化簡求得原式的最小值；②將，，，分別賦予和，同時(shí)賦予四個(gè)負(fù)數(shù)，最后一組，同時(shí)，為兩個(gè)負(fù)數(shù)，分別進(jìn)行計(jì)算，從而求解．【詳解】解：（1）根據(jù)題意：；故答案為：4；（2）根據(jù)題意得：；故答案為：3；（3）①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，時(shí)，可取最小值為，即的最小值為；②當(dāng)，，時(shí)，此時(shí)，；當(dāng)，，時(shí)，此時(shí)，；當(dāng)，，時(shí)，此時(shí)，；當(dāng)，，時(shí)，此時(shí)，；當(dāng)，，時(shí)，此時(shí)，；即五個(gè)結(jié)果的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，整式的加減運(yùn)算，理解新定義運(yùn)算法則及絕對值的意義，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，是解題關(guān)鍵．2．東東在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)遇到一個(gè)定義：將三個(gè)已經(jīng)排好順序數(shù)：x1，x2，x3，稱為數(shù)列x1，x2，x3．計(jì)算|x1|，，，將這三個(gè)數(shù)的最小值稱為數(shù)列x1，x2，x3的最佳值．例如，對于數(shù)列2，-1，3，因?yàn)閨2|=2，=，=，所以數(shù)列2，-1，3的最佳值為．東東進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：當(dāng)改變這三個(gè)數(shù)的順序時(shí)，所得到的數(shù)列都可以按照上述方法計(jì)算其相應(yīng)的最佳值．如數(shù)列-1，2，3的最佳值為；數(shù)列3，-1，2的最佳值為1；…．經(jīng)過研究，東東發(fā)現(xiàn)，對于“2，-1，3”這三個(gè)數(shù)，按照不同的排列順序得到的不同數(shù)列中，最佳值的最小值為．根據(jù)以上材料，回答下列問題：（1）數(shù)列-4，-3，1的最佳值為（2）將“-4，-3，2”這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個(gè)數(shù)列，這些數(shù)列的最佳值的最小值為，取得最佳值最小值的數(shù)列為（寫出一個(gè)即可）；（3）將2，-9，a（a＞1）這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個(gè)數(shù)列．若這些數(shù)列的最佳值為1，求a的值．【答案】（1）3；（2）；-3，2，-4或2，-3，-4．（3）a=11或4或10．【解析】【分析】（1）根據(jù)上述材料給出的方法計(jì)算其相應(yīng)的最佳值為即可；（2）按照三個(gè)數(shù)不同的順序排列算出最佳值，由計(jì)算可以看出，要求得這些數(shù)列的最佳值的最小值；只有當(dāng)前兩個(gè)數(shù)的和的絕對值最小，最小只能為|?3＋2|＝1，由此得出答案即可；（3）分情況算出對應(yīng)的數(shù)值，建立方程求得a的數(shù)值即可．【詳解】（1）因?yàn)閨?4|＝4，＝3.5，＝3，所以數(shù)列?4，?3，1的最佳值為3．故答案為3；（2）對于數(shù)列?4，?3，2，因?yàn)閨?4|＝4，＝，＝，所以數(shù)列?4，?3，2的最佳值為；對于數(shù)列?4，2，?3，因?yàn)閨?4|＝4，＝1，＝，所以數(shù)列?4，2，?3的最佳值為1；對于數(shù)列2，?4，?3，因?yàn)閨2|＝2，＝1，＝，所以數(shù)列2，?4，?3的最佳值為1；對于數(shù)列2，?3，?4，因?yàn)閨2|＝2，＝，＝，所以數(shù)列2，?3，?4的最佳值為∴數(shù)列的最佳值的最小值為＝，數(shù)列可以為：?3，2，?4或2，?3，?4．故答案為，?3，2，?4或2，?3，?4．（3）當(dāng)＝1，則a＝0或?4，不合題意；當(dāng)＝1，則a＝11或7；當(dāng)a＝7時(shí)，數(shù)列為?9，7，2，因?yàn)閨?9|＝9，＝1，＝0，所以數(shù)列2，?3，?4的最佳值為0，不符合題意；當(dāng)＝1，則a＝4或10．∴a＝11或4或10．【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，理解新定義運(yùn)算的方法是解決問題的關(guān)鍵．3．閱讀下列兩則材料：材料1：君君同學(xué)在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)遇到一個(gè)定義：對于按固定順序排列的k個(gè)數(shù)：x1，x2，x3，……，xk，稱為數(shù)列Ak：x1，x2，x3，……，xk，其中k為整數(shù)且k≥3．定義：V（Ak）＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+……+|xk﹣1﹣xk|．例如數(shù)列A5：1，2，3，4，5，則V（A5）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4．材料2：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)A，B之間的距離是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)A，B之間的距離，我們稱之為絕對值的幾何意義．君君同學(xué)在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5時(shí)，利用絕對值的幾何意義分析得到，該方程的左式表示在數(shù)軸上x對應(yīng)點(diǎn)到1和-2對應(yīng)點(diǎn)的距離之和，而當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，取到它的最小值3，即為1和-2對應(yīng)點(diǎn)之間的距離．由方程右式的值為5可知，滿足方程的x對應(yīng)點(diǎn)在1的右邊或一2的左邊，若x的對應(yīng)點(diǎn)在1的右邊，利用數(shù)軸分析可以得到x=2；同理，若x的對應(yīng)點(diǎn)在-2的左邊，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．根據(jù)以上材料，回答下列問題：(1)已知數(shù)列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4為4個(gè)整數(shù)，且x1＝3，x4＝5，V（A4）＝4，請直接寫出一種可能的數(shù)列A4．(2)已知數(shù)列A4：3，a，3，a+1，若V（A4）＝3，則a的值為．(3)已知數(shù)列A5：x1，x2，x3，x4，x5，5個(gè)數(shù)均為非負(fù)整數(shù)，且x1+x2+x3+x4+x5＝a（a≥1），求V（A5）的最小值．【答案】(1)，（答案不唯一）(2)(3)0【解析】【分析】（1）根據(jù)材料1列出算式，再根據(jù)絕對值的意義可求解，答案不唯一．（2）根據(jù)材料1列出算式，再分類討論，再根據(jù)絕對值的意義可求解．（3）因?yàn)閤1，x2，x3，x4，x5，5個(gè)數(shù)均為非負(fù)整數(shù)，所以>||，>||，>||，>||，>0，然后列出不等式可求解．(1)解：V（A4）=||+||+||=4，∴||+||+||=4，當(dāng)，，V（A4）=||+||+||=4(2)解：||+||+||=3，即||+||+||=3①2≤a<3時(shí)，||+||+||=3，所以，解得以a=1，但不符合題意，舍去．②a≤2時(shí)，||+||+||=3所以，解得以，符合題意．③a>3時(shí)，||+||+||=3所以，，解得以，符合題意．綜上所述，或．(3)解：∵x1，x2，x3，x4，x5，5個(gè)數(shù)均為非負(fù)整數(shù)∴>||，>||，>||，>||，>0，∴0≤||+||+||+||≤∴0≤V（A5）≤a∴V（A5）的最小值為0．【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題，正確理解題意、熟練掌握去絕對值的方法是解決本題的關(guān)鍵．類型二和乘方有關(guān)4．概念學(xué)習(xí)現(xiàn)規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的運(yùn)算叫做除方，比如，等，類比有理數(shù)的乘方，我們把寫作，讀作“2的圈3次方”，寫作，讀作“的圈4次方”，一般地，把寫作，讀作“的圈次方”．初步探究（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果：________，________；（2）下列關(guān)于除方說法中，錯(cuò)誤的有________；（在橫線上填寫序號即可）A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1B．任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)C．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)D．圈次方等于它本身的數(shù)是1或深入思考我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，那么有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？（3）歸納：請把有理數(shù)的圈次方寫成冪的形式為：________；（4）比較：________；填“>”“<”或“=”）（5）計(jì)算：．【答案】（1），；（2）D；（3）；（4）；（5）【解析】【分析】（1）根據(jù)規(guī)定的運(yùn)算，直接計(jì)算即可；（2）根據(jù)圈次方的意義，計(jì)算判斷得出結(jié)論；（3）根據(jù)題例的規(guī)定，直接寫成冪的形式即可；（4）根據(jù)圈次方的規(guī)定直接進(jìn)行判斷即可；（5）先把圈次方轉(zhuǎn)化成冪的形式，利用有理數(shù)的混合運(yùn)算，計(jì)算求值即可．【詳解】解：（1），，故答案為：，；（2）A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1，結(jié)論正確，不符合題意；B．任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)，結(jié)論正確，不符合題意；C．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)，結(jié)論正確，不符合題意；D．圈次方等于它本身的數(shù)是1，結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；故選：D；（3），故答案為：；（4）＝＝＝，＝＝＝，∵，∴，故答案為：；（5）原式＝＝＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，掌握圈次方的意義是解本題的關(guān)鍵．5．一般地，n個(gè)相同的因數(shù)．相乘a×a×a……a×a記作an，如2×2×2=23=8，此時(shí)，3叫做以2為底的8的“勞格數(shù)”記為L2(8)，則L2(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且a≠1)，則n叫做以a為底的b的“勞格數(shù)”，記為La(b)=n，如34=81，則4叫做以3為底的81的“勞格數(shù)”，記為L3(81)=4．（1）下列各“勞格數(shù)”的值：L2（4）=______，L2(16)=______，L2(64)=______．（2）觀察（1）中的數(shù)據(jù)易4×16=64此時(shí)L2（4），L2(16)，L2(64)滿足關(guān)系式________．（3）由（2）的結(jié)果，你能歸納出一般性的結(jié)果嗎？La(M)+La(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．（4）據(jù)上述結(jié)論解決下列問：已知，La（3）=0.5，求La(9)的值和La(81)的值．（a＞0且a≠1）【答案】（1）；（2）L2（4）+L2(16)=L2(64)；（3）；（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)定義寫出各“勞格數(shù)”的值；（2）由（1）的結(jié)論直接得出結(jié)果；（3）根據(jù)定義歸納出一般性的結(jié)果；（4）根據(jù)（3）的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）L2（4）=2，L2(16)=4，L2(64)=6故答案為：（2）L2（4）+L2(16)=L2(64)故答案為：L2（4）+L2(16)=L2(64)（3）設(shè)則即La(M)+La(N)=La(MN)故答案為：（4）La（3）=0.5【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方的概念，新定義概念，理解題意是解題的關(guān)鍵．6．讀一讀：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示從1開始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和．由于上述式子比較長，書寫也不方便，為了簡便起見，我們可以將“1+2+3+4+5+…+100”表示為，這里“”是求和符號．例如：“1+3+5+7+9+…+99”（即從1開始的100以內(nèi)連續(xù)奇數(shù)的和）可表示為；又如“13+23+33+43+53+63+73+83+93+103”可表示為．同學(xué)們，通過對以上材料的閱讀，請解答下列問題：（1）“2+4+6+8+10+…+100”（即從2開始的100以內(nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和）用求和符號可表示為．（2）計(jì)算:的值【答案】；50．【解析】【詳解】試題分析：首先根據(jù)題意得出新定義的含義，然后根據(jù)含義得出一般性的規(guī)律，最后根據(jù)規(guī)律進(jìn)行計(jì)算．試題解析：（1）（2）==0+3+8+15+24=50考點(diǎn)：新定義型類型三和四則運(yùn)算有關(guān)7．探究規(guī)律，完成相關(guān)題目老師說：“我定義了一種新的運(yùn)算，叫※（加乘）運(yùn)算．”老師寫出了一些按照※（加乘）運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算的式子:(+2)※(+4)=+6；(-3)※(-4)=+7

(-2)※(+3)=-5；(+5)※(-6)=-11

0※(+9)=+9；(-7)※0=+7小明看完算式后說：我知道老師定義的※（加乘）運(yùn)算法則了，聰明的你看出來了嗎？請你幫忙歸納※（加乘）運(yùn)算法則：（1）歸納※（加乘）運(yùn)算法則：兩數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算時(shí)，

特別是0和任何數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算，或是任何數(shù)和0進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算（2）計(jì)算：-5※〔0※（-3）〕=（3）若（4-2b）※（│a│-1）=0,求a+b的值【答案】（1）同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相加；都等于這個(gè)數(shù)的絕對值；（2）8；（3）1或3．【解析】【分析】（1）根據(jù)題目中的例子可以總結(jié)出?（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則；（2）①根據(jù)（1）中的結(jié)論可以解答本題；②根據(jù)（1）中的結(jié)論和分類討論的方法可以解答本題．【詳解】解：（1）由題意可得，歸納?（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則：兩數(shù)進(jìn)行?（加乘）運(yùn)算時(shí)，同號得正，異號得負(fù)，并把它們的絕對值相加；特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行?（加乘）運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行?（加乘）運(yùn)算，都等于這個(gè)數(shù)的絕對值；故答案為：同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相加；都等于這個(gè)數(shù)的絕對值；（2）（5）?[0?（3）]=（5）?3=（5+3）=8，故答案為：8．（3）∵（4-2b）?（|a|-1）=0，∴當(dāng)|a|≠1時(shí)，|4-2b|+||a|-1|=0，得b=2，|a|=1（舍去），當(dāng)|a|=1時(shí)，|4-2b|=0，得b=2，∴當(dāng)|a|=1，b=2時(shí)，a=±1，∴當(dāng)a=1，b=2時(shí)，a+b=3，當(dāng)a=-1，b=2時(shí)，a+b=1；【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法．8．閱讀材料：我們定義：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的差等于這兩個(gè)實(shí)數(shù)的商，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)就叫做“差商等數(shù)對”．即：如果，那么與就叫做“差商等數(shù)對”，記為（，）．例如：；；；則稱數(shù)對（4，2），（，），（，）是“差商等數(shù)對”．根據(jù)上述材料，解決下列問題：（1）下列數(shù)對中，“差商等數(shù)對”是（填序號）；①（，），②（，）③（-3，-6）（2）如果（，4）是“差商等數(shù)對”，請求出的值；（3）如果（，）是“差商等數(shù)對”，那么______________(用含的代數(shù)式表示)．【答案】（1）①；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)“差商等數(shù)對”的定義進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）先根據(jù)“差商等數(shù)對”的定義可得一個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，再解方程即可得；（3）先根據(jù)“差商等數(shù)對”的定義列出運(yùn)算式子，再計(jì)算代數(shù)式的運(yùn)算即可得．【詳解】（1）①，，，是“差商等數(shù)對”；②，，，不是“差商等數(shù)對”；③，，，不是“差商等數(shù)對”；故答案為：①；（2）由題意得：，解得；（3）由題意得：，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的除法與減法的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式，掌握理解“差商等數(shù)對”的定義是解題關(guān)鍵．9．定義：若是不為1的有理數(shù)，我們把稱為的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是．已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，則______；是的差倒數(shù)，…，依次類推，回答下列問題：（1）______，______，______．（2）求的值．【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）直接利用倒差數(shù)的定義求出a2、a3、a4即可；（2）先根據(jù)（1）發(fā)現(xiàn)a1、a2、a3…a4為、、4的循環(huán)，然后運(yùn)用加法結(jié)合律計(jì)算即可．【詳解】解：（1），，故答案為，，；（2）由題意和（1）可知，a1、a2、a3…a4為、、4的循環(huán)∴=（++4）+（++4）+…+（++4）=673×（++4）=673×=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律以及有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，理解差倒數(shù)的定義以及發(fā)現(xiàn)每三個(gè)數(shù)一循環(huán)成為解答本題關(guān)鍵．10．把幾個(gè)數(shù)用大括號圍起來，中間用逗號斷開，如：{1，2，﹣3}、{﹣2，7，，19}，我們稱之為集合，其中的數(shù)稱其為集合的元素，一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的．