太原理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 3.2 Bezier 曲線與曲面

3.2

Bezier曲線與曲面對(duì)于樣條函數(shù)、參數(shù)樣條曲線和曲面以及Coons曲面，都屬于構(gòu)造插值曲線和插值曲面的方法，主要用于構(gòu)造那些通過給定型值點(diǎn)的曲線和曲面，而不適合于進(jìn)行曲線或曲面的設(shè)計(jì)。因?yàn)樵O(shè)計(jì)的最初階段，產(chǎn)品外形只有粗略概念，設(shè)計(jì)者需要不斷修正型值點(diǎn)的位置，用以前的插值方法顯然是不合理的，必將導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間和資源的浪費(fèi)。為此，從設(shè)計(jì)要求出發(fā)，希望使用某種逼近方法，而非傳統(tǒng)的插值方法。既能模仿曲線曲面的設(shè)計(jì)過程，又便于設(shè)計(jì)者使用。由于幾何外形設(shè)計(jì)的要求越來越高,傳統(tǒng)的曲線曲面表示方法,已不能滿足用戶的需求。1962年，法國(guó)雷諾汽車公司的P.E.Bezier構(gòu)造了一種以逼近為基礎(chǔ)的參數(shù)曲線和曲面的設(shè)計(jì)方法，并用這種方法

完成了一種稱為UNISURF的曲線和曲面設(shè)計(jì)系統(tǒng)，1972

年，該系統(tǒng)被投入了應(yīng)用。Bezier方法將函數(shù)逼近同幾何表示結(jié)合起來，使得設(shè)計(jì)師在計(jì)算機(jī)上就象使用作圖工具一樣得心應(yīng)手。曲線起點(diǎn)，終點(diǎn)與多邊形起點(diǎn)終點(diǎn)重合，且多邊形第一條，最后一條邊表示了曲線在起點(diǎn)和終點(diǎn)處的切矢量方向，曲線的形狀趨于多邊形的形狀。3.2.1

Bezier曲線的定義和性質(zhì)1．定義給定空間n+1個(gè)點(diǎn)的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），則Bezier曲線可定義為：其中，Pi構(gòu)成該Bezier曲線的特征多邊形，

Bi,n(t)是n次Bernstein基函數(shù)：0 =1,

0!=1Pi為空間中的一系列點(diǎn)，稱為控制頂點(diǎn)，特征多邊形就是它們所組成的折線集?？芍?，一條n次Bezier曲線被表示成它的n+1個(gè)控制頂點(diǎn)的加權(quán)和，權(quán)就是Bernstein基函數(shù)，也稱為調(diào)和函數(shù)。2．Betnstein基函數(shù)的性質(zhì)（1）正性（2）端點(diǎn)性質(zhì)（3）權(quán)性由二項(xiàng)式定理可知：（4）對(duì)稱性因?yàn)?5）遞推性

（降階公式）。即高一次的Bernstein基函數(shù)可由兩個(gè)低一次的Bernstein調(diào)和函數(shù)線性組合而成。因?yàn)?，?）導(dǎo)函數(shù)（7）最大值。在處達(dá)到最大值。（8）升階公式（9）積分（10）線性無關(guān)性Bin(t)是n次多項(xiàng)式空間的一組線性無關(guān)的基函數(shù)，任何一個(gè)n次多項(xiàng)式都可表示成它們的線性組合。3．Bezier曲線的性質(zhì)（1）端點(diǎn)性質(zhì)a）曲線端點(diǎn)位置矢量由Bernstein基函數(shù)的端點(diǎn)性質(zhì)可以推得，當(dāng)t=0時(shí)，

P(0)=P0

；當(dāng)t=1時(shí)，P(1)=Pn。由此可見，Bezier曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)與相應(yīng)的特征多邊形的起點(diǎn)、終點(diǎn)重合。b)切矢量因?yàn)椋?所以當(dāng)t=0時(shí)，P’(0)=n(P1-P0)，當(dāng)t=1時(shí)，P’(1)=n(Pn-Pn-1)，這說明

Bezier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線方向和特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致。（c.）二階導(dǎo)矢當(dāng)t=0時(shí)，當(dāng)t=1時(shí)，上式表明：2階導(dǎo)矢只與相鄰的3個(gè)頂點(diǎn)有關(guān)，事實(shí)上，r階導(dǎo)矢只與（r+1）個(gè)相鄰點(diǎn)有關(guān)，與更遠(yuǎn)點(diǎn)無關(guān)。將

、

及

、 代入曲率公式

，可以得到Bezier曲線在端點(diǎn)的曲率分別為：（2）對(duì)稱性

由控制頂點(diǎn) 構(gòu)造出的新Bezier曲線，與原Bezier曲線形狀相同，走向相反。因?yàn)椋?P(1-t)這個(gè)性質(zhì)說明Bezier曲線在起點(diǎn)處有什么幾何性質(zhì)，在終點(diǎn)處也有相同的性質(zhì)。（3）凸包性由于 ，且 ，這一結(jié)果說明當(dāng)t在[0，1]區(qū)間變化時(shí)，對(duì)某一個(gè)t值，P(t)是特征多邊形各頂點(diǎn)的加權(quán)平均，權(quán)因子依次是 。在幾何圖形上，意味著Bezier曲線P(t)在中各點(diǎn)是控制點(diǎn)Pi的凸線性組合，即曲線落在Pi構(gòu)成的凸包之中，如圖3.1.9所示。（4）幾何不變性。這是指某些幾何特性不隨坐標(biāo)變換而變化的特性。Bezier曲線位置與形狀與其特征多邊形頂點(diǎn) 的位置有關(guān)，它不依賴坐標(biāo)系的選擇。這些幾何性質(zhì)包括：形狀，曲率，撓率等。（5）變差縮減性。若Bezier曲線的特征多邊形是一個(gè)平面圖形，則平面內(nèi)任意直線與C(t)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不多于該直線與其特征多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

這一性質(zhì)叫變差縮減性質(zhì)。此性質(zhì)反映了Bezier曲線比其特征多邊形的波動(dòng)還小，也就是說Bezier曲線比特征多邊形的折線更光順。（6）仿射不變性對(duì)于任意的仿射變換A：即在仿射變換下，P(t)的形式不變。平面的保凸性若控制多邊形是凸的，則Bezier曲線也是凸的。擬局部性當(dāng)P0，P2固定，引入?yún)?shù)t，令上述比值為t:(1-t)，即有t從0變到1，第一、二式就分別表示控制二邊形的第一、二

條邊，它們是兩條一次Bezier曲線。將一、二式代入第三式得：當(dāng)t從0變到1時(shí)，它表示了由三頂點(diǎn)P0、P1、P2三點(diǎn)定義的一條二次Bezier曲線。并且表明：這二次Bezier曲線P2

可以定義0為分別由前兩個(gè)頂點(diǎn)（P0，P1）和后兩個(gè)頂點(diǎn)（P1，P2）決定的一次Bezier曲線的線性組合。依次類推，由四個(gè)控制點(diǎn)定0

0

1

2

1義的三次Bezier曲線P3

可被定義為分別由(P

，P

，P)和(P，P2，P3)確定的二條二次Bezier曲線的線性組合，由(n+1)個(gè)控0制點(diǎn)Pi(i=0,1,...,n)定義的n次Bezier曲線Pn

可被定義為分別由前、后n個(gè)控制點(diǎn)定義的兩條(n-1)次Bezier曲線P0

與P1

的線性組合：n-1 n-1由此得到Bezier曲線的遞推計(jì)算公式：這便是著名的deCasteljau算法。用這一遞推公式，在給定參數(shù)下，求Bezier曲線上一點(diǎn)P(t)非常有效。上式中：是定義Bezie曲線的控制點(diǎn)，

即為曲線 上具有參數(shù)t的點(diǎn)。deCasteljau算法穩(wěn)定可靠，直觀簡(jiǎn)便，可以編出十分簡(jiǎn)捷的程序，是計(jì)算Bezier曲線的基本算法和標(biāo)準(zhǔn)算法。當(dāng)n=3時(shí)，de

casteljau算法遞推出的Pk

呈直角三角形，對(duì)應(yīng)結(jié)i果如圖3.1.11所示。從左向右遞推，最右邊點(diǎn)P3

即為曲線上的0點(diǎn)。這一算法可用簡(jiǎn)單的幾何作圖來實(shí)現(xiàn)。給定參數(shù)，就把定義域分成長(zhǎng)度為 的兩段。依次對(duì)原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點(diǎn)就是由第一級(jí)遞推生成的中間頂點(diǎn)

,對(duì)這些中間頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級(jí)中間頂點(diǎn)去，直到n級(jí)遞推得到一個(gè)中間頂點(diǎn)。重復(fù)進(jìn)行下

即為所求曲線上的點(diǎn) ，如圖3.1.12所示。3.2.3

Bezier曲線的拼接幾何設(shè)計(jì)中，一條Bezier曲線往往難以描述復(fù)雜的曲線形狀。這是由于增加由于特征多邊形的頂點(diǎn)數(shù)，

會(huì)引起B(yǎng)ezier曲線次數(shù)的提高，而高次多項(xiàng)式又會(huì)帶來計(jì)算上的困難，實(shí)際使用中，一般不超過10次。所以

有時(shí)采用分段設(shè)計(jì)，然后將各段曲線相互連接起來，

并在接合處保持一定的連續(xù)條件。下面討論兩段Bezier曲線達(dá)到不同階幾何連續(xù)的條件。給定兩條Bezier曲線P(t)和Q(t)，相應(yīng)控制點(diǎn)為Pi(i=0,1,.，如圖3.1.13所示和Qj(j=0,1,...,m)，且令我們現(xiàn)在把兩條曲線連接起來。圖3.1.13

Bezier曲線的拼接要使它們達(dá)到G0連續(xù)的充要條件是：Pn=Q0；要使它們達(dá)到G1連續(xù)的充要條件是：Pn-1，Pn=Q，Q1三點(diǎn)共線，即：（3）要使它們達(dá)到G2連續(xù)的充要條件是：在G1連續(xù)的條件下，。、

和

，

、 代入，并整理，并滿足方程我們將可以得到：選擇和的值，可以利用該式確定曲線段的特征多邊形頂點(diǎn)

，而頂點(diǎn) 、

已被 連續(xù)條件所確定。要達(dá)到連續(xù)的話，只剩下頂點(diǎn) 可以自由選取。如果從上式的兩邊都減去

，則等式右邊可以表示為和

的 線性組合：這表明

、

、

、

和 五點(diǎn)共面，事實(shí)上，在接合點(diǎn)兩條曲線段的曲率相等，主法線方向一致，我們還可以斷定： 位于直線 的同一側(cè)。3.2.4

Bezier曲線的升階與降階1．Bezier曲線的升階所謂升階是指保持Bezier曲線的形狀與定向不變，增加定義它的控制頂點(diǎn)數(shù)，也即是提高該Bezier曲線的次數(shù)。增加了控制頂點(diǎn)數(shù)，不僅能增加了對(duì)曲線進(jìn)行形狀控制的靈活性，還在構(gòu)造曲面方面有著重要的應(yīng)用。對(duì)于一些由曲線生成曲面的算法，要求那些曲線必須是同次的。應(yīng)用升階的方法，我們可以把低于最高次數(shù)的的曲線提升到最高次數(shù)，而獲得同一的次數(shù)。曲線升階后，原控制頂點(diǎn)會(huì)發(fā)生變化。下面，我們來計(jì)算曲線提升一階后的新的控制頂點(diǎn)。設(shè)給定原始控制頂點(diǎn) ，定義了一條n次Bezier曲線：，增加一個(gè)頂點(diǎn)后，仍定義同一條曲線的新控制頂點(diǎn)為則有：對(duì)上式左邊乘以 ，得到：比較等式兩邊 項(xiàng)的系數(shù)，得到：化簡(jiǎn)即得：其中

。此式說明：新的控制頂點(diǎn) 是以參數(shù)值 按分段線性插值從原始特征多邊形得出的。升階后的新的特征多邊形在原始特征多邊形的凸包內(nèi)特征多邊形更靠近曲線。三次Bezier曲線的升階實(shí)例如圖3.1.14所示。定定2．Bezier曲線的降階降階是升階的逆過程。給定一條由原始控制頂點(diǎn)義的n次Bezier曲線，要求找到一條由新控制頂點(diǎn)義的n-1次Bezier曲線來逼近原始曲線。假定是由升階得到，則由升階公式有：從這個(gè)方程可以導(dǎo)出兩個(gè)遞推公式：和兩種降階格式Forrest格式Farin格式降階逼近的文獻(xiàn)M.

A.

Watkins

and

A.

J.

Worsey,

Degree

reduction

of

Bézier

curves,Computer

Aided

Design,

20(7),

1988,

398-405胡事民、孫家廣、金通光、汪國(guó)昭，Approximate

degree

reduction

ofBezier

curves,Tsinghua

Science

and

Technology,No.2,1998,997-100雍俊海、胡事民、孫家廣、譚新宇，Degree

reduction

of

B-spline

curves,Computer

Aided

Geometric

Design,2001,Vol.13,NO.2,2001,117-1273.2.5

Bezier曲面基于Bezier曲線的討論，我們可以方便地可以給出Bezier曲面的定義和性質(zhì)，Bezier曲線的一些算法也可以很容易擴(kuò)展到Bezier曲面的情況。1．定義設(shè)為 個(gè)空間點(diǎn)列，則次張量積形式的Bezier曲面定義為：其中

， 是Bernstein基函數(shù)。依次用線段連接點(diǎn)列中相鄰兩點(diǎn)所形成的空間網(wǎng)格，稱之為特征網(wǎng)格。Bezier曲面的矩陣表示式是：在一般實(shí)際應(yīng)用中，不大于4。2．性質(zhì)除變差減小性質(zhì)外，