勾股定理全章題型總結(jié) 公開課教學設計

勾股定理全章知識點及典型題歸類一．基礎知識點：1：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2＝c2）要點詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，，則，，）（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題2：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形。要點詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意：（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c；（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2＝a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2，則△ABC為銳角三角形）。（定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一個命題的題設和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。5：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是①圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理6：勾股數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時，稱，，為一組勾股數(shù)②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；；；等③用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）二、典型題歸類類型一：等面積法求高【例題】如圖，△ABC中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D。（1）求AB的長；（2）求CD的長。類型二：面積問題ABCD7cmmmmmmmm【例題】如下圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊和長為7cm,ABCD7cmmmmmmmm【練1】如上右圖，每個小方格都是邊長為1的正方形，（1）求圖中格點四邊形ABCD的面積和周長。（2）求∠ADC的度數(shù)【練2】如圖，四邊形是正方形，⊥，且=3，=4，陰影部分的面積是______.【練3】如圖字母B所代表的正方形的面積是類型三：距離最短問題小河AB東北牧童小屋【例題】小河AB東北牧童小屋【練1】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高ＡＢ為4cm，ＢＣ是上底面的直徑．一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，試求出爬行的最短路程．

【練2】如圖，邊長為1的立方體中，一只螞蟻從A頂點出發(fā)沿著立方體的外表面爬到B頂點的最短路程是（）A、3 B、5C、2+1BCA201510【練3】如圖，長方體的長為15cm，寬為10cmBCA201510類型四：判斷三角形的形狀【例題】如果ΔABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ΔABC的形狀。

【練1】已知△ABC的三邊分別為m2－n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且m＞n),判斷△ABC是否為直角三角形.【練2】.已知a，b，c為△ABC三邊，且滿足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，則它的形狀為（）三角形A.直角 B.等腰C.等腰直角D.等腰或直角【練3】三角形的三邊長為,則這個三角形是()三角形（A）等邊（B）鈍角（C）直角（D）銳角類型五：直接考查勾股定理

【例題】在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.。

類型六：構(gòu)造應用勾股定理【例題】如圖，已知：在中，，，.求：BC的長.

練：△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一點，且AD⊥AC，求BD的長．類型七：利用勾股定理作長為的線段

例1在數(shù)軸上表示的點。

作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC為半徑，以O為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點B即為?！揪毩暋吭跀?shù)軸上表示的點。類型八：勾股定理及其逆定理的一般用法

【例題】若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。

【練習1】等邊三角形的邊長為2，求它的面積。

2、已知一直角三角形的斜邊長是2，周長是2+，求這個三角形的面積．類型九：生活問題

【例題】如下左圖，在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長至少需________米．【練1】種盛飲料的圓柱形杯（如上右圖），測得內(nèi)部底面半徑為㎝，高為12㎝，吸管放進杯里，杯口外面至少要露出㎝，問吸管要做㎝?！揪?】如下左圖學校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了__________步路（假設2步為1m），卻踩傷了花草。

【練3】如上右圖，校園內(nèi)有兩棵樹，相距12米，一棵樹高13米，另一棵樹高8米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛米.類型十：翻折問題【例題】如圖，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎？【練習1】如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的長。

【練習2】如圖，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分線交BC于D若BC=8，AD=5，求AC的長?！揪毩?】臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風暴，有極強的破壞力，如圖，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺風中心，其中心最大風力為12級，每遠離臺風中心20千米，風力就會減弱一級，該臺風中心現(xiàn)正以15千米/時的速度沿北偏東30o方向往C移動，且臺風中心風力不變，若城市所受風力達到或走過四級，則稱為受臺風影響.（1）該城市是否會受到這交臺風的影響？請說明理由.（2）若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市