第四講 運動方程的積分算法課件

第四講運動方程的積分算法第四講運動方程的積分算法積分運動方程的注意點何為一個好的運動方程積分算法？但這并不是很貼切，因為花在積分運動方程上的時間分率（相對于計算相互作用來說）很小，至少對原子或簡單分子體系是這樣。計算速度？？準確度對較大的時間步長來說更重要，因為所能使用的時間步長越長，單位時間內(nèi)力的計算量越少。因此，這意味著采用允許用長時間步長的成熟算法是有利的。（然而，保證準確度，不允許發(fā)散）準確度？？第四講運動方程的積分算法積分運動方程的注意點要想獲得允許使用長時間步的算法，必須將信息存儲在粒子坐標的較高階導數(shù)中。結果是這需要更多的內(nèi)存。對于一個通常的模擬來說，這并不是一個嚴重的缺點。因為除非處理很大的體系，存儲這些導數(shù)所需的內(nèi)存與即便是在一個通常的工作站上所能獲取的總量相比來說仍是很小。節(jié)省內(nèi)存？？能量守恒是一個重要的判據(jù)，但實際上需要區(qū)分兩種能量守恒，即短時間的和長時間的。復雜的高階算法通常在短時間內(nèi)（如在幾個時間步內(nèi)）有很好的能量守恒性，然而該方法通常會有所不期望的特征，即時間較長時總能量漂移。（不一定最好）能量守恒？？第四講運動方程的積分算法積分運動方程的注意點最好有一個算法能同時在短時間和長時間準確地預測所有粒子的軌跡。不存在MD模擬所研究的所有體系，體系的軌跡穿過相空間（即對于用由所有粒子坐標和動量所跨過的6N維空間）時敏感地依賴于初始條件。這意味著兩個初始靠得很近的軌跡隨時間的演繹將會顯著分開。李雅普諾夫不穩(wěn)定性MD獲得的軌跡在某種意義上與真實的軌跡相接近。MD的目標并不是精確地預測一個已知初始條件的體系軌跡將會發(fā)生什么（衛(wèi)星軌道預測）。而對統(tǒng)計預測感興趣。在MD中，統(tǒng)計預測是足夠精確的。第四講運動方程的積分算法標準Verlet算法Verlet提出的Verlet算法在分子動力學中應用最為廣泛。由Taylor公式展開有：位移+第四講運動方程的積分算法標準Verlet算法由Taylor公式展開有：速度在典型分子動力學模擬中，只有原子的初始位置和初始速度是給定的，而在verlet算法中，計算下一步的原子的位置需要前兩步的信息。那么如何采用verlet算法計算第二個時間步的原子位置呢？不出現(xiàn)在算法中。-第四講運動方程的積分算法解決方法一是，在第二個時間步中，把該步力看成常量，且使用普通運動學方程:標準Verlet算法解決方法二是第四講運動方程的積分算法流程標準Verlet算法第四講運動方程的積分算法標準Verlet算法加速度項第四講運動方程的積分算法Leap-frog算法對標準Verlet算法進行改進而得到的蛙跳算法(Leapfrogmethods)。相比標準Verlet算法，它有兩個優(yōu)點。一、包含顯式速度項。二、計算量稍小。缺點原子的位置與速度計算不同步，這就意味著在確定位置時，不能同時計算體系的動能，給模擬過程帶來不便。第四講運動方程的積分算法Leap-frog算法第四講運動方程的積分算法速度Verlet算法第四講運動方程的積分算法速度Verlet算法Velocity-Verlet算法不僅可以獲得相同精度的原子位置和速度量，給出了顯式的速度項，而且在每步積分中只需要存儲一個時刻的狀態(tài)變量，模擬穩(wěn)定性好，允許采用較大的時間步長，計算量適中，因而在分子動力學方程的積分算法中得到了最廣泛的應用。第四講運動方程的積分算法Gear預測校正法預測校正法是分子動力學模擬中的常用算法之一，其基本思想是Taylor展開，這種算法包含三個部分。第一步，利用泰勒展開預測下一時刻的位置及其一階、二階、三階導數(shù)：式中v、a、b、c分別是位置矢量r的一階、二階、三階和四階導數(shù)。第四講運動方程的積分算法Gear預測校正法第二步根據(jù)新的原子位子rp，計算受力以及修正加速度ac(t+t)。定義預測誤差第三步根據(jù)加速度的預測誤差對各預測量進行修正：第四講運動方程的積分算法預測－校正法允許的時間步長比其它算法長兩倍以上每個積分步內(nèi)要計算兩次體系勢能，以得到原子間相互作用力。該算法的穩(wěn)定差，能量波動較大，較verlet算法占用更多的內(nèi)存。Gear預測校正法第四講運動方程的積分算法時間步長Toolong-errorsresultfromapproximationsJustright-errorsacceptable,maximumspeedTooshort-computationneedlesslyslow第四講運動方程的積分算法時間步長過長的時間步時間步長過大，原子的作用力急劇改變。誤差逐漸累計，導致結果發(fā)散.兩個Argon(氬)原子在兩個不同時間步長dts的模擬。圖中畫出的是計算模擬值與理論值的差。第四講運動方程的積分算法RMS(ReservoirModelingSystem保守系統(tǒng)的模擬)EnergydeviationCircles:VerletSquares:Gear4thorderTriangles:Gear5thorderDiamonds:Gear6thorder(log/logscale)誤差與時間步長的關系第四講運動方程的積分算法時間步長時間步長與研究對象、系統(tǒng)溫度、所采用的數(shù)值積分算法及勢能函數(shù)有關。不存在一個通用的時間步長值。一般情況下，體系的溫度越低，允許采用的時間步長越大；而模擬較高溫度時必須采取較小的時間步長。一般認為，時間步長應小于原子振動周期的十分之一，而通常原子振動周期的數(shù)量級為0.1皮秒(10-12s)，即時間步長應選擇在飛秒級(10-15s)。第四講運動方程的積分算法宏觀物理量的計算分子動力學計算最終得到的是系統(tǒng)各個時刻的相空間軌道(thephase-spacetrajectory)，包括任意時刻所有原子的坐標和速度，這些都是微觀原子層次的物理量。一般來說，在探討其力學行為時，我們需要研究一些宏觀力學概念的物理量，比如溫度、能量、壓強、應力狀態(tài)等，這就需要我們對分子動力學計算出來的粒子數(shù)據(jù)進行分析。統(tǒng)計力學是連接微觀層次的物理量和宏觀概念物理量的橋梁，利用統(tǒng)計力學原理我們可以從系統(tǒng)中單個粒子的運動學狀態(tài)得到整個粒子系統(tǒng)的一些性質。第四講運動方程的積分算法系統(tǒng)的物理性質是系統(tǒng)中粒子坐標和速度的函數(shù)，對于任意一個時刻宏觀概念物理量A，定義為宏觀物理量的計算統(tǒng)計平均第四講運動方程的積分算法勢能部分可以按勢函數(shù)計算，對于不同的原子勢函數(shù)表達式有不同的計算公式。動能計算公式為宏觀物理量的計算能量溫度溫度T直接與粒子動能相關，即著名的均勻分布公式，每個自由度賦予kBT/2的能量,N個粒子的總自由度為3N，故動能為計算不同熱力學狀態(tài)的總能E和溫度，可以得到內(nèi)能一溫度曲線E(T)。這對于監(jiān)測相變的發(fā)生非常有用，相變發(fā)生時，該曲線會有跳躍。第四講運動方程的積分算法應變是表示物體變形大小的測度，可以有不同的定義方式。應變是一個相對量，反映了物體相對初始構型的變形程度。應變又是純幾何量，與空間尺度變化無關。因此宏觀、納觀尺度下應變可以采用相同的定義方式原子應變第四講運動方程的積分算法原子應力宏觀應力反映了單位面積上作用力的大小，是關于面積的強度量。

原子應力離散原子系統(tǒng)的原子應力是關于體積的強度量。實際上，原子應力只是形式地沿用了應力的概念，具有與宏觀應力完全不同的特征。原子應力表明一個原子與周圍原子相互作用的強弱程度第四講運動方程的積分算法原子應力動量勢能二階對稱算子Hamilton自由能可以看出原子應力具有“能量密度”的量綱。包括了原子動量流和原子間作用力的貢獻。是原子的一種力學“活性能”，反應了原子產(chǎn)生運動的潛在能力。原子應力越高，則原子越容易發(fā)生位錯運動。第四講運動方程的積分算法原子應力Voronoi幾何構形的數(shù)學描述第四講運動方程的積分算法原子應力Lammps原子應力的定義原子對勢相互作用原子鍵作用鍵角作用二面角作用面彎曲作用約束作用Lammps中原子應力沒有除于體積，是能量的量綱。（e.v）第四講運動方程的積分算法宏觀應力實際上是原子應力在一定程度上的