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第二十四章圓24.1圓的有關(guān)性質(zhì)
學(xué)習(xí)目標(biāo)-新課導(dǎo)入-新知探究-課堂小結(jié)-課堂訓(xùn)練24.1.2垂直于弦的直徑
學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓,了解圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形.2.理解垂徑定理的性質(zhì)和推論,并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的計(jì)算、證明和作圖問(wèn)題.(重點(diǎn))3.靈活運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)圓的問(wèn)題.(難點(diǎn))思考:你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋,是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m,你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎?
新課導(dǎo)入
探究:剪一個(gè)圓形紙片,沿著它的任意一條直徑對(duì)折,重復(fù)幾次,你發(fā)現(xiàn)了什么?由此你能得到什么結(jié)論?可以發(fā)現(xiàn):圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形,任何一條直徑所在直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸.
新知探究你能證明你的結(jié)論嗎?證明:如圖,設(shè)CD是⊙O的任意一條直徑,A為⊙O上點(diǎn)C,D以外的任意一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A作AB⊥CD,交⊙O于點(diǎn)B,垂足為E.連接OA,OB.在△OAB中,∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.又AB⊥CD∴AE=BE.·OABDEC
新知探究即CD是AB的垂直平分線(xiàn).因此,⊙O關(guān)于直線(xiàn)CD對(duì)稱(chēng).如圖,AB是⊙O的一條弦,做直徑CD,使CD⊥AB,垂足為E.因?yàn)閳A是軸對(duì)稱(chēng)圖形,以直徑CD為對(duì)稱(chēng)軸把⊙O折疊,你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線(xiàn)段和?。繛槭裁??·OABCDE相等線(xiàn)段:AE=BE⌒⌒⌒⌒?。篈C=BC,AD=BD
新知探究即直徑CD平分弦AB,并且平分AC,ACB.⌒⌒·OABCDE∵
CD是直徑,CD⊥AB,∴
AE=BE,⌒⌒AC
=BC,⌒⌒AD=BD.幾何語(yǔ)言:
新知探究
歸納總結(jié)垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.是不是是不是OEDCAB思考:分析下列圖形是否具備垂徑定理的條件?
新知探究深入思考:如圖,當(dāng)直徑CD平分弦AB時(shí),CD與AB垂直嗎?
AC=BC,AD=BD嗎?如果弦AB也是直徑,上述結(jié)論是否成立?⌒⌒⌒⌒ABDE
OC推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
新知探究根據(jù)垂徑定理與其推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線(xiàn)來(lái)說(shuō),如果具備(1)過(guò)圓心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所對(duì)的優(yōu)弧(5)平分弦所對(duì)的劣弧上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論.
新知探究你會(huì)任選一種情況證明嗎?如圖,AB是⊙O的一條弦,作直徑CD,使AE=BE.(1)CD⊥AB嗎?為什么?(2)·OABCDE⌒AC與BC相等嗎?AD與BD相等嗎?為什么?⌒(2)由垂徑定理可得AC=BC,AD=BD.⌒⌒⌒⌒解:(1)連接AO,BO,則AO=BO,又AE=BE,∴△AOE≌△BOE(SSS),∴∠AEO=∠BEO=90°,∴CD⊥AB.⌒⌒
新知探究想一想:根據(jù)剛剛所學(xué),你能利用垂徑定理求出引入中趙州橋主橋拱半徑的問(wèn)題嗎?
新知探究∴AB=37,CD=7.23.∴AD=AB=18.5m,OD=OC-CD=R-7.23.
新知探究解:如圖,用AB表示主橋拱,設(shè)AB所在圓的圓心為O,半徑為R.⌒⌒經(jīng)過(guò)圓心O作弦AB的垂線(xiàn)OC,D為垂足,與AB交于點(diǎn)C,連接OA.根據(jù)垂徑定理,D是AB的中點(diǎn),C是AB的中點(diǎn),CD就是拱高.⌒⌒
新知探究在Rt△OAD中,由勾股定理,得即=18.52+(R-7.23)2
解得
R≈27.3(m).因此,趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.例1如圖,⊙
O的弦AB=8cm
,直徑CE⊥AB于D,DC=2cm,求半徑OC的長(zhǎng).·OABECD解:連接OA,∵
CE⊥AB于D,∴設(shè)OC=xcm,則OD=(x-2)cm,根據(jù)勾股定理,得解得x=5,即半徑OC的長(zhǎng)為5cm.x2=42+(x-2)2,
新知探究例2已知:⊙O中弦AB∥CD,求證:AC=BD.⌒⌒.MCDABON證明:作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD,∴MN⊥CD.則AM=BM,CM=DM(垂直平分弦的直徑平分弦所對(duì)的?。?/p>
AM-CM=BM-DM∴AC=BD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒
新知探究歸納總結(jié):解決有關(guān)弦的問(wèn)題,經(jīng)常是過(guò)圓心作弦的弦心距,或作垂直于弦的直徑,連結(jié)半徑等輔助線(xiàn),為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.
新知探究垂徑定理內(nèi)容推論輔助線(xiàn)一條直線(xiàn)滿(mǎn)足:①過(guò)圓心;②垂直于弦;③平分弦(不是直徑);④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;⑤平分弦所對(duì)的劣弧.滿(mǎn)足其中兩個(gè)條件就可以推出其它三個(gè)結(jié)論(“知二推三”)垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧兩條輔助線(xiàn):連半徑,作弦心距構(gòu)造Rt△利用勾股定理計(jì)算或建立方程.
課堂小結(jié)1.判斷下列說(shuō)法的正誤.
①平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦;
②平分弦的直線(xiàn)必垂直弦;
③垂直于弦的直徑平分這條弦;
④平分弦的直徑垂直于這條弦
;⑤弦的垂直平分線(xiàn)是圓的直徑;⑥平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦;
⑦在圓中,如果一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心且平分弦,必平分此弦所對(duì)的弧.
課堂訓(xùn)練3.如圖,OE⊥AB于E,若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=
cm.·OABE16
課堂訓(xùn)練4.一弓形弦長(zhǎng)為cm,弓形所在的圓的半徑為7cm,則弓形的高為____(dá)____.2cm或12cm2.已知⊙O中,弦AB=8cm,圓心到AB的距離為3cm,則此圓的半徑為
.5cm
課堂訓(xùn)練中考鏈接1.(2020?廣州)往直徑為52cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后,截面如圖所示,若水面寬AB=48cm,則水的最大深度為()A.8cm B.10cm C.16cm D.20cmC
課堂訓(xùn)練2.(2020?寧夏)我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題:“今有圓材埋在壁中,不知大?。凿忎徶钜淮?,鋸道長(zhǎng)一尺.問(wèn)徑幾何?”意思是:今有一圓柱形木材,埋在墻壁中,不知其大小.用鋸去鋸這木材,鋸口深ED=1寸,鋸道長(zhǎng)AB=1尺(1尺=10寸).問(wèn)這根圓形木材的直徑是
寸.26
課堂訓(xùn)練3.(2020?南通)已知⊙O的半徑為1
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