第十二章全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與軸對(duì)稱(chēng)復(fù)習(xí)講義人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與軸對(duì)稱(chēng)（最短路徑）垂直平分線(xiàn)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的概念：垂直于一條線(xiàn)段，并平分這條線(xiàn)段的直線(xiàn)叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)．線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等．線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定定理：到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上．（1）“線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等”的作用是：證明兩條線(xiàn)段相等；（2）“到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上”的作用是：判定一點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上；（3）“如果到一條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么，這兩點(diǎn)所在直線(xiàn)是該線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)”的作用是：垂直平分線(xiàn)的判定．（4）看到垂直平分線(xiàn)，常用的輔助線(xiàn)作法是連接垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與線(xiàn)段端點(diǎn)，得到等腰三角形．例1．如圖，在△ABC中，AB=AC=18cm，BC=10cm，AD=2BD.（1）如果點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上以2cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)2s后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？1．一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)分別是3，5，7，另一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)分別是3，3x﹣2y，x+2y，若這兩個(gè)三角形全等，則x+y的值是．2．如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC=4，AB=CD，BD=6，點(diǎn)E從D點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿C→B→C作勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)沿BD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).（1）試證明：AD∥BC.（2）在移動(dòng)過(guò)程中，小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取某個(gè)值時(shí)，有△DEG與△BFG全等的情況出現(xiàn)，請(qǐng)請(qǐng)你探究當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取哪些值時(shí)，△DBG與△BFG全等.3．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/秒的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒：（1）PC=cm．（用t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ABP≌△DCP？（3）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以vcm/秒的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣v的值，使得△ABP與△PQC全等？若存在，請(qǐng)求出v的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．例2．如圖，△ABC中，AD⊥BC且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，（1）若∠BAE＝30°，求∠C的度數(shù)；（2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周長(zhǎng)．1.如圖，己知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E兩點(diǎn)，若AB=12cm，BC=10cm,∠A=50o，求△BCE的周長(zhǎng)=；∠EBC=．2．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）說(shuō)明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE，BE的長(zhǎng)．3．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E．在△ABC外有一點(diǎn)F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC．（1）求證：BE=CF；（2）在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME．求證：①M(fèi)E⊥BC；②CM平分∠ACE．例3．如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，AD平分∠BAC，且DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF交AD于點(diǎn)G，求證：AD垂直平分EF．例4．如圖，已知△ABC，作∠BAC的角平分線(xiàn)交于BC于點(diǎn)D（要求尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法）．例5．已知△ABC中，AB=AC.（1）作AB的垂直平分線(xiàn)DE，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D.（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）（2）連接BD，若∠A=40°，求∠BDC的度數(shù).例6．尺規(guī)作圖：畫(huà)一個(gè)角等于已知角（如圖），要求兩角不共頂點(diǎn)．例7．已知：如圖所示，A、B兩村莊在一條小河的同一側(cè)，要在河邊建一自來(lái)水廠(chǎng)向A、B兩村莊供水．（1）若要使廠(chǎng)址到A、B兩村的距離相等，廠(chǎng)址應(yīng)設(shè)在哪個(gè)位置？（2）若要使廠(chǎng)址到A、B兩村的水管最省料，廠(chǎng)址應(yīng)設(shè)在哪個(gè)位置？ABAB··AB··1．已知：A、B兩點(diǎn)在直線(xiàn)l的同側(cè)，試分別畫(huà)出符合條件的點(diǎn)M．（1）如圖，在l上求作一點(diǎn)M，使得AM＋BM最小．（2）如圖，在l上求作一點(diǎn)M，使得｜AM－BM｜最?。?．某地有兩所大學(xué)和兩條相交叉的公路，如圖所示（點(diǎn)M，N表示大學(xué)，AO，BO表示公路），現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉(cāng)庫(kù)，希望倉(cāng)庫(kù)到兩所大學(xué)的距離相等，到兩條公路的距離也相等．你能確定倉(cāng)庫(kù)應(yīng)該建在什么位置嗎？在所給的圖形中畫(huà)出你的設(shè)計(jì)方案．3．如圖，A、B兩村和一條小河，要在河上建一座小橋連接兩村，若要使兩村之間鋪路用料最省，小橋應(yīng)選在哪個(gè)位置？請(qǐng)將上述情況下的小橋位置標(biāo)出，并保留作圖痕跡．例8．如圖，在中，，邊上的垂直平分線(xiàn)分別交BC，AB于點(diǎn)D，E，若的周長(zhǎng)是11，則直線(xiàn)DE上任意一點(diǎn)到A，C距離的和最小為()A.7 B.10 D.281．如圖，等邊△ABC中，E是AC邊的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線(xiàn)，P是AD上的動(dòng)點(diǎn)，若AD＝6，則EP+CP的最小值為．2．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=4，面積是16，AC的垂直平分線(xiàn)EF分別交AC，AB邊于E、F點(diǎn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線(xiàn)段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．123．如圖，等邊△ABC的周長(zhǎng)為18cm，BD為AC邊上的中線(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線(xiàn)段BC，BD上運(yùn)動(dòng)，連接CQ，PQ，當(dāng)BP長(zhǎng)為cm時(shí)，線(xiàn)段CQ+PQ的和為最?。?．如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點(diǎn)，P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC與PE的和最小時(shí)，∠CPE的度數(shù)是