九年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)【北師大版】：一元二次方程單元測(cè)試（培優(yōu)強(qiáng)化卷）（解析版）

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【北師大版】專題2.6一元二次方程單元測(cè)試（培優(yōu)強(qiáng)化卷）姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分120分，試題共23題，選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2022?寧海縣校級(jí)開學(xué)）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．3x﹣1＝0 B．2x2+3＝0 C．（x+1）2﹣x2＝0 D．1x【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個(gè)判斷即可．【解析】A．該方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B．該方程是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；C．由已知方程得到：2x+1＝0，該方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；D．該方程是分式方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．2．（2022秋?宣州區(qū)校級(jí)月考）直角三角形兩直角邊是方程x2﹣8x+14＝0的兩根，則它的斜邊為（）A．8 B．7 C．6 D．27【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出兩根之積與兩根之和的值，再根據(jù)勾股定理列出直角三角形三邊之間的關(guān)系式，然后將此式化簡(jiǎn)為兩根之積與兩根之和的形式，最后代入兩根之積與兩根之和的值進(jìn)行計(jì)算．【解析】設(shè)直角三角形的斜邊為c，兩直角邊分別為a與b．∵直角三角形兩直角邊是方程x2﹣8x+14＝0的兩根，∴a+b＝8，ab＝14．根據(jù)勾股定理可得：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝64﹣28＝36，∴c＝6．故選：C．3．（2022?淇濱區(qū)開學(xué)）一元二次方程（x+1）（x﹣2）＝﹣3x﹣3的根的情況是（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根【分析】化為一般形式，求出判別式Δ即可得答案．【解析】將原方程整理得x2+2x+1＝0，∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故選：A．4．（2022?宿豫區(qū)校級(jí)開學(xué)）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0時(shí)，配方后的方程是（）A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝10 D．（x﹣2）2＝10【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】x2﹣4x﹣6＝0，x2﹣4x＝6，x2﹣4x+4＝6+4，（x﹣2）2＝10，故選：D．5．（2022?長(zhǎng)豐縣校級(jí)模擬）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（a﹣2）x+4＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．2 B．﹣2 C．﹣2或6 D．﹣6或2【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得到根的判別式等于0，求出a的值即可．【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（a﹣2）x+4＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（a﹣2）2﹣16＝0，即（a﹣2）2＝16，開方得：a﹣2＝4或a﹣2＝﹣4，解得：a＝6或﹣2．故選：C．6．（2022?巴中）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義新運(yùn)算：a※b＝ab2﹣b，若關(guān)于x的方程1※x＝k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍（）A．k＞?14 B．k＜?14 C．k＞?14且k≠0 【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算法則列方程，然后根據(jù)一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判別式列不等式組求解即可．【解析】根定義新運(yùn)算，得x2﹣x＝k，即x2﹣x﹣k＝0，∵關(guān)于x的方程1※x＝k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣k）＞0，解得：k＞?1故選：A．7．（2022?新樂市校級(jí)模擬）已知m，n是方程x2+2016x+7＝0的兩個(gè)根，則（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝（）A．2008 B．8002 C．2009 D．2020【分析】根據(jù)m，n是方程x2+2016x+7＝0的兩個(gè)根，可得m2+2016m+7＝0，n2+2016n+7＝0，m+n＝﹣2016，mn＝7，化簡(jiǎn)（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝﹣mn﹣m﹣n﹣1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)一步計(jì)算即可．【解析】∵m，n是方程x2+2016x+7＝0的兩個(gè)根，∴m2+2016m+7＝0，n2+2016n+7＝0，m+n＝﹣2016，mn＝7，∴m2+2015m+m+7＝0，n2+2017n﹣n+7＝0，∴m2+2015m＝﹣m﹣7，n2+2017n＝n﹣7，∴（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝（﹣m﹣7+6）（n﹣7+8）＝（﹣m﹣1）（n+1）＝﹣mn﹣m﹣n﹣1＝﹣7+2016﹣1＝2008，故選：A．8．（2020秋?東區(qū)校級(jí)期中）已知三角形的三條邊為a，b，c，且滿足a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0，則這個(gè)三角形的最大邊c的取值范圍是（）A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8≤c＜13 D．5＜c＜13【分析】先利用配方法對(duì)含a的式子和含有b的式子配方，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性可得出a和b的值，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得答案．【解析】∵a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣16b+64）＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣8）2＝0，∵（a﹣5）2≥0，（b﹣8）2≥0，∴a﹣5＝0，b﹣8＝0，∴a＝5，b＝8．∵三角形的三條邊為a，b，c，∴b﹣a＜c＜b+a，∴3＜c＜13．又∵這個(gè)三角形的最大邊為c，∴8≤c＜13．故選：C．9．（2021秋?金湖縣期末）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：x0.511.11.21.31.4x2+px+q﹣2.75﹣1﹣0.59﹣0.160.290.76則方程x2+px+q＝0的正數(shù)解滿足（）A．解的整數(shù)部分是1，十分位是1 B．解的整數(shù)部分是1，十分位是2 C．解的整數(shù)部分是1，十分位是3 D．解的整數(shù)部分是1，十分位是4【分析】通過(guò)觀察表格可得x2+px+q＝0時(shí)，1.2＜x＜1.3，即可求解．【解析】由表格可知，當(dāng)x＝1.2時(shí)，x2+px+q＜0，當(dāng)x＝1.3時(shí)，x2+px+q＞0，∴x2+px+q＝0時(shí)，1.2＜x＜1.3，∴解的整數(shù)部分是1，十分位是2，故選：B．10．（2021秋?儀征市期末）已知方程?12（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，且m＜n．若b＜﹣1＜0＜A．m＜b＜n＜c B．b＜m＜n＜c C．m＜n＜b＜c D．m＜b＜c＜n【分析】畫出函數(shù)y=?12（x﹣b）（x﹣c）與函數(shù)y＝【解析】由題意，畫出函數(shù)y=?12（x﹣b）（x﹣c）與函數(shù)y＝∴拋物線開口向下，與x軸的交點(diǎn)為（b，0），（c，0），函數(shù)y＝x+1隨x的增大而增大，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），∵方程?12（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝∴兩函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m和n，∵m＜n．b＜﹣1＜0＜c，由圖象可知，m＜b＜n＜c，故選：A．二．填空題（共6小題）11．（2022?玉樹市校級(jí)一模）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一個(gè)根是x＝2，則a的值為5．【分析】把x＝2代入求值即可．【解析】把x＝2代入可得22﹣2a+6＝0，解得a＝5，故答案為：5．12．（2022?南京模擬）若（m﹣2）x2﹣3x+5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍為m≠2．【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式，可知二次項(xiàng)系數(shù)不為0，根據(jù)這一條件列出不等式，求出m的值即可．【解析】由題意，得m﹣2≠0，∴m≠2，故答案為：m≠2．13．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ab﹣2022a﹣2022b的值是2019．【分析】由a，b是方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出兩根之和和兩根之積，代入代數(shù)式即可求解．【解析】∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣3．∴ab﹣2022a﹣2022b＝ab﹣2022（a+b）＝﹣3﹣2022×（﹣1）＝2019，故答案為：2019．14．（2022春?呼蘭區(qū)校級(jí)期末）某種植物的主干長(zhǎng)出若干個(gè)分支，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣個(gè)數(shù)的小分支，主干、支干、小分支的總數(shù)是241，每個(gè)支干長(zhǎng)出小分支的個(gè)數(shù)是15．【分析】設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出小分支的個(gè)數(shù)是x，根據(jù)主干、支干、小分支的總數(shù)是241，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解析】設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出小分支的個(gè)數(shù)是x，依題意得：1+x+x2＝241，整理得：x2+x﹣240＝0，解得：x1＝15，x2＝﹣16（不符合題意，舍去），∴每個(gè)支干長(zhǎng)出小分支的個(gè)數(shù)是15．故答案為：15．15．（2022?海門市二模）若關(guān)于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k2+k+3的最小值為9．【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式可得Δ＝（2k）2﹣4（k2+k+3）＝﹣4k﹣12≥0，求出k的取值范圍，再將k2+k+3配方成(k+12)【解析】∵關(guān)于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（2k）2﹣4（k2+k+3）＝﹣4k﹣12≥0，∴k≤﹣3，∵k2+k+3=(k+1∵k≤﹣3，∴當(dāng)k＝﹣3時(shí)，k2+k+3取得最小值為(?3+1故答案為：9．16．（2022春?拱墅區(qū)期中）對(duì)于實(shí)數(shù)m，n，先定義一種運(yùn)算“?”如下：m?n=m2+m+n，當(dāng)m≥n時(shí)n2+m+n，當(dāng)m＜n時(shí)，若x【分析】分兩種情況：當(dāng)x≥﹣2時(shí)，當(dāng)x＜﹣2時(shí)，然后按照定義新運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】分兩種情況：當(dāng)x≥﹣2時(shí)，∵x?（﹣2）＝10，∴x2+x﹣2＝10，x2+x﹣12＝0，（x+4）（x﹣3）＝0，x+4＝0或x﹣3＝0，x1＝﹣4（舍去），x2＝3，當(dāng)x＜﹣2時(shí)，∵x?（﹣2）＝10，∴（﹣2）2+x﹣2＝10，x＝8（舍去），綜上所述：x＝3，故答案為：3．三．解答題（共7小題）17．（2022?城廂區(qū)校級(jí)開學(xué)）解方程：（1）x2+8x＝9；（2）3x2﹣5x＝2．【分析】（1）移項(xiàng)后把方程的左邊分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移項(xiàng)后把方程的左邊分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可；【解析】（1）x2+8x＝9，x2+8x﹣9＝0，（x+9）（x﹣1）＝0，x+9＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝﹣9，x2＝1；（2）3x2﹣5x＝2，3x2﹣5x﹣2＝0，（3x+1）（x﹣2）＝0，3x+1＝0或x﹣2＝0，解得：x1=?13，x18．（2022春?豐城市校級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．【分析】（1）根據(jù)根的判別式得出Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+9＞0，據(jù)此可得答案；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝1得出關(guān)于m的方程，解之可得答案．【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+4m+1﹣4m+8＝4m2+9＞0，∴無(wú)論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，由x1+x2+3x1x2＝1，得2m+1+3（m﹣2）＝1，解得m=619．（2022春?豐城市校級(jí)期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一個(gè)根．求：（1）2a2﹣4040a﹣3的值；（2）代數(shù)式a2﹣2019a+2020【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2﹣2020a+1＝0，則a2＝2020a﹣1，然后把a(bǔ)2＝2020a﹣1代入原式即可求解；（2）可化簡(jiǎn)得原式＝a+1【解析】（1）∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一個(gè)根，∴a2＝2020a﹣1，∴a2＝2020a﹣1，∴2a2﹣4040a﹣3＝2（2020a﹣1）﹣4040a﹣3＝4040a﹣2﹣4040a﹣3＝﹣5；（2）原式＝2020a﹣1﹣2019a+＝a+1=a=2020a?1+1＝2020﹣1＝2019．20．（2022春?任城區(qū)期末）某地蔬菜批發(fā)市場(chǎng)某批發(fā)商原計(jì)劃以每千克10元的單價(jià)對(duì)外批發(fā)銷售某種蔬菜．為了加快銷售，該批發(fā)商對(duì)價(jià)格進(jìn)行兩次下調(diào)后，售價(jià)降為每千克6.4元．（1）求平均每次下調(diào)的百分率；（2）某大型超市準(zhǔn)備到該批發(fā)商處購(gòu)買2噸該蔬菜，因數(shù)量較多，該批發(fā)商決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇．方案一：打八折銷售；方案二：不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金1000元．試問(wèn)超市采購(gòu)員選擇哪種方案更優(yōu)惠？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）設(shè)平均每次下調(diào)x，根據(jù)該批發(fā)商對(duì)價(jià)格進(jìn)行兩次下調(diào)后，售價(jià)降為每千克6.4元列一元二次方程，求解即可；（2）分別計(jì)算出方案一和方案二的總費(fèi)用，再進(jìn)行比較即可．【解析】（1）設(shè)平均每次下調(diào)x，根據(jù)題意，得10（1﹣x）2＝6.4，解得x＝20%或x＝180%（舍去），答：平均每次下調(diào)20%；（2）方案一更優(yōu)惠，理由如下：方案一：6.4×0.8×2000＝10240（元），方案二：6.4×2000﹣2000＝10800（元），∵10240＜10800，∴采購(gòu)員選擇方案一更優(yōu)惠．21．（2022春?遼陽(yáng)期末）【閱讀材料】“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法．例如：求當(dāng)a取何值，代數(shù)式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1因?yàn)椋╝+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，因此，當(dāng)a＝﹣3時(shí)，代數(shù)式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．【問(wèn)題解決】利用配方法解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式x2﹣2x﹣1有最小值？最小值是多少？（2）當(dāng)x＝﹣2時(shí)，代數(shù)式2x2+8x+12有最小值，最小值為4．【分析】（1）仿照例題的解題思路，配成完全平方即可解答；（2）仿照例題的解題思路，配成完全平方即可解答．【解析】（1）x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2，因?yàn)椋▁﹣1）2≥0，所以x2﹣2x﹣1≥﹣2，因此，當(dāng)x＝1時(shí)，代數(shù)式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值是﹣2；（2）2x2+8x+12＝2（x2+4x）+12＝2（x2+4x+4﹣4）+12＝2[（x+2）2﹣4]+12＝2（x+2）2﹣8+12＝2（x+2）2+4，因?yàn)椋▁+2）2≥0，所以2x2+8x+12≥4，因此，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，代數(shù)式2x2+8x+12有最小值，最小值是4；故答案為：﹣2；4．22．（2022?達(dá)川區(qū)模擬）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩和雪容融在一開售時(shí)，就深受大家的喜歡．某供應(yīng)商今年2月第一周購(gòu)進(jìn)一批冰墩墩和雪容融，已知一個(gè)冰墩墩的進(jìn)價(jià)比一個(gè)雪容融的進(jìn)價(jià)多40元，購(gòu)買20個(gè)冰墩墩和30個(gè)雪容融的價(jià)格相同．（1）今年2月第一周每個(gè)冰墩墩和雪容融的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）今年2月第一周，供應(yīng)商以100元每個(gè)售出雪容融140個(gè)，150元每個(gè)售出冰墩墩120個(gè)．第二周供應(yīng)商決定調(diào)整價(jià)格，每個(gè)雪容融的售價(jià)在第一周的基礎(chǔ)上下降了m元，每個(gè)冰墩墩的價(jià)格不變，由于冬奧賽事的火熱進(jìn)行，第二周雪容融的銷量比第一周增加了m個(gè)，而冰墩墩的銷量比第一周增加了0.2m個(gè)，最終商家獲利5160元，求m．【分析】（1）設(shè)今年2月第一周每個(gè)冰墩墩的進(jìn)價(jià)為x元，每個(gè)雪容融的進(jìn)價(jià)為y元，根據(jù)“一個(gè)冰墩墩的進(jìn)價(jià)比一個(gè)雪容融的進(jìn)價(jià)多40元，購(gòu)買20個(gè)冰墩墩和30個(gè)雪容融的價(jià)格相同”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出今年2月第一周每個(gè)冰墩墩和雪容融的進(jìn)價(jià)；（2）利用總利潤(rùn)＝每個(gè)的銷售利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解析】（1）設(shè)今年2月第一周每個(gè)冰墩墩的進(jìn)價(jià)為x元，每個(gè)雪容融的進(jìn)價(jià)為y元，依題意得：x?y=4020x=30y解得：x=120y=80答：今年2月第一周每個(gè)冰墩墩的進(jìn)價(jià)為120元，每個(gè)雪容融的進(jìn)價(jià)為80元．（2）依題意得：（100﹣m﹣80）（140+m）+（150﹣120）（120+0.2m）＝5160，整理得：m2+114m﹣1240＝0，解得：m1＝10，m2＝