福建省泉州科技中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次限時(shí)訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題（含解析）

泉州科技中學(xué)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期限時(shí)訓(xùn)練檢測(cè)卷高二數(shù)學(xué)（滿分：150分，時(shí)間：120分鐘）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．直線的傾斜角為（）A．B．C．D．2．直線過點(diǎn),且傾斜角為，則直線的方程為（）A．B．C．D．3．設(shè),向量,且，則（）A．B．C．3D．44．已知是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量是（）A．B．C．D．5．如圖，直三棱柱中，若，則等于（）A．B．C．D．6．三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．7．如圖，已知在平行六面體中，,且，則（）A．B．C．D．8．如圖，在正方體中，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P在線段上，直線與平面所成的角為,則的取值范圍是（）A．B．C．D．二、多選題（本大題共4小題，共20.0分．在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9．過點(diǎn)作直線，使得直線和連接點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角可能是（）A．B．C．D．10．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．直線與直線互相垂直，則B．經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為或C．過兩點(diǎn)的所有直線的方程為D．無論k為何值，直線必過定點(diǎn)11．給出下列命題，其中是真命題的是（）A．若直線的方向向量,直線m的方向向量，則l與m垂直B．若直線l的方向向量，平面的法向量，則C．若平面的法向量分別為,則D．若存在實(shí)數(shù),使,則點(diǎn)共面12．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面,且分別為的中點(diǎn)，則（）A．四面體是鱉臑B．與所成角的余弦值是C．點(diǎn)G到平面的距離為D．過點(diǎn)的平面截四棱錐的截面面積為三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．若直線與直線平行，則___________．14．己知點(diǎn),點(diǎn)P在y軸上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________15．已知向量,若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為___________．16．如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列命題正確的是_________________________．（將正確答案的序號(hào)都填上）①三棱錐的體積不變②直線與直線的所成角的取值范圍為③直線與平面所成角的大小不變④二面角的大小不變四、解答題（本大題共6小題，共70.0分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（本小題10.0分）己知平面內(nèi)兩點(diǎn)．（1）求的中垂線方程；（2）求過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程；18．（本小題12.0分）在平行六面體中，．若．（1）用基底表示向量;（2）求向量的長度．19．（本小題12.0分）在中，邊上的高所在直線的方程為的平分線所在直線方程為,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求邊上的高所在的直線l的斜截式方程．20．（本小題12.0分）如圖所示，在三棱錐中，平面．（1）求證：平面;（2）求點(diǎn)A到平面的距離．21．（本小題12.0分）如圖，四棱錐的底面為菱形且，底面為的中點(diǎn)．（1）求直線與平面所成角的大小；（2）求二面角平面角的正切值；22．（本小題12.0分）如圖，三棱柱中，底面是等邊三角形，側(cè)面是矩形，是的中點(diǎn)，M是棱上的一點(diǎn)，且．（1）證明：平面;（2）若,求二面角的余弦值．答案解析1．【答案】C【解析】【試題解析】【分析】本題考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，已知斜率時(shí)傾斜角的求法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．先求出直線的斜率，然后求出直線的傾斜角即可．【解答】解：因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的傾斜角為，又，所以．故選：C．2．【答案】D【解析】【分析】本題考查了直線的傾斜角與斜率以及點(diǎn)斜式方程和一般式方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．根據(jù)直線的傾斜角求出斜率k,用點(diǎn)斜式寫出直線方程，再化為一般式即可．【解答】解：直線l過點(diǎn),且傾斜角為，則直線l的斜率為，直線方程為,即．故選D．3．【答案】C【解析】【分析】本題考查空間向量垂直和平行，空間向量的模，屬于基礎(chǔ)題．由題可得,進(jìn)而得出．【解答】解：因?yàn)?則,解得,所以，則，．故選：C．4．【答案】B【解析】【分析】本題考查空間向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)空間向量的基底性質(zhì)：一個(gè)基底由三個(gè)不共面的非零向量構(gòu)成，即且不共線，以此作為判斷依據(jù)．【解答】解：對(duì)于A,，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,不共面，故B正確；對(duì)于C,,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,,故D錯(cuò)誤．故選B．5．【答案】C【解析】【分析】本題考查空間向量的加減運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．由加減運(yùn)算法則及已知即可求解．【解答】解：因?yàn)槿庵侵比庵运倪呅问瞧叫兴倪呅?，?所以．故選C．6．【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了空間向量在解決立體幾何問題中的應(yīng)用，考查空間向量基本定理，向量的數(shù)量積公式及應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于較難題．先選一組基底，再利用向量加法和減法的三角形法則測(cè)和平行四邊形法則將兩條異面直線的方向向量用基底表示，然后利用夾角公式求異面直線與所成角的余弦值即可．【解答】解：如圖，設(shè),棱長均為1，則，，，，，，異面直線與所成角的余弦值為，故選A．7．【答案】A【解析】【分析】本題考查了空間向量的加減運(yùn)算，空間向量的數(shù)量積和空間向量的模求解問題，屬于基礎(chǔ)題．利用空間向量的加法運(yùn)算得,兩邊平方可得,再利用空間向量的模的幾何意義得結(jié)論．【解答】解：因?yàn)?且，所以．又因?yàn)?所以,,所以．故選A．8．C【分析】設(shè)出正方體棱長，表達(dá)出,判斷出在是嚴(yán)格減函數(shù)，從而求出最值，得到取值范圍．【詳解】設(shè)正方體的棱長為2，以D為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，,設(shè)平面的法向量,則，取,得,所以，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，且，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知單調(diào)遞增，所以在是嚴(yán)格減函數(shù)，所以時(shí)，取最小值，時(shí)，取最大值．所以的取值范圍是．故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：線面角最值求解，常常用到以下方法：一是向量法，建立空間直角坐標(biāo)系，需要引入變量，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解；二是定義法，常常需要作出輔助線，找到線面角，求出最值，常用知識(shí)點(diǎn)有正弦定理，余弦定理，基本不等式等；9．【答案】AD【解析】【分析】本題考查了直線斜率公式的應(yīng)用，屬中檔題．根據(jù)直線的斜率滿足,結(jié)合直線斜率公式，以及斜率與傾斜角的關(guān)系求出的取值范圍即可．【解答】解：直線可逆時(shí)針從過B時(shí)，過A時(shí)，,結(jié)合下圖，圖象可知，．故選AD．10．【答案】AC【解析】【分析】本題考查兩直線垂直的應(yīng)用，直線的一般式和截距式和兩點(diǎn)式方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．利用兩直線垂直的條件判斷A;討論直線經(jīng)過原點(diǎn)和不經(jīng)過原點(diǎn)分別求出直線方程判斷B;利用兩點(diǎn)式方程約使用條件判斷C；利用直線化為,得出，判斷D．【解答】解：A．若直線與直線互相垂直，則,則或,故A錯(cuò)誤；B．當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)的直線為,當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)在坐標(biāo)軸上的截距為，即直線方程為，∵直線經(jīng)過點(diǎn)，，解得,故直線方程為，綜上所述，經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為或者,故B正確；C．過兩點(diǎn)的直線方程為的條件是且，故C錯(cuò)誤；D．直線化為,所以，所以，所以無論k為何值，直線必過定點(diǎn)，故D正確．故選AC．11．【答案】AD【解析】【分析】本題考查利用平面的法向量判斷線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系，考查空間向量共面定理的應(yīng)用，屬于中檔題．根據(jù)判斷A;根據(jù)判斷B;根據(jù)判斷C；根據(jù)空間向量共面定理判斷D．【解答】解：,，，∴直線l與m垂直，故A正確；，，，或,故B錯(cuò)誤；,不垂直，所以與不垂直，故C錯(cuò)誤；根據(jù)空間向量共面定理可知，D正確．故選AD．12．ABD【分析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)鱉臑的定義即可判斷A;利用向量法即可判斷BC;設(shè)過點(diǎn)M,N,B的平面于線段的交點(diǎn)為,根據(jù)共面，可得存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得,由此求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可判斷D．【詳解】如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則,對(duì)于A,,因?yàn)?所以,即,所以四面體的四個(gè)面都為直角三角形，所以四面體是鱉臑，故A正確；對(duì)于B,,則與所成角的余弦值為，故B正確；對(duì)于C,,設(shè)平面的法向量為,則,可取,則點(diǎn)G到平面的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,設(shè)過點(diǎn)M,N,B的平面于線段的交點(diǎn)為,則,因?yàn)镸,N,B,Q共面，則共面，故存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得,即，所以，解得,所以，則，因?yàn)?所以,所以過點(diǎn)M,N,B的平面截四棱錐的截面面積為，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果．13．【答案】【解析】【分析】本題考查了直線的一般式方程和平行關(guān)系的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．由直線的平行關(guān)系列出方程，解方程即可求出的值．【解答】解：依題意可得,解得，當(dāng)時(shí)，兩條直線重合，故．14．或15．【答案】【解析】【分析】本題考查了空間向量的數(shù)量積、兩個(gè)向量共線的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．易得與不可能共線，結(jié)合題意可得,進(jìn)而得解．【解答】解：由向量,易知向量與不可能共線，則若要與夾角為銳角，可得,故實(shí)數(shù)t的取值范圍為，故答案為．16．①②④【分析】根據(jù)三棱錐體積的性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式逐一判斷即可．【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，①：連接,設(shè)該正方體的棱長為a,因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面,因此點(diǎn)到平面的距離相等，故，因此本序號(hào)說法正確；②：因?yàn)?所以（或其補(bǔ)角）就是直線與直線的所成的角，由正方形的性質(zhì)可知：當(dāng)P與C或重合時(shí)，這時(shí)直線與直線的所成的角為，當(dāng)P是中點(diǎn)時(shí)，直線與直線的所成的角為，因此本序號(hào)說法正確；③：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：,設(shè),設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，所以有,因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成角為,顯然不是定值，因此本序號(hào)說法不正確；④：設(shè)平面的法向量為，所以有，因?yàn)闉槎ㄖ担远娼堑拇笮〔蛔?，因此本序?hào)說法正確，故答案為：①②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題本題的關(guān)鍵是利用空間向量夾角公式解決動(dòng)態(tài)問題．17．【答案】解：（1）線段的中點(diǎn)為，即，，∴線段的中垂線的斜率,的中垂線方程為,化為；（2）過點(diǎn)且與直線平行的直線的斜率為，其方程為：,化為．【解析】本題考查了相互平行與垂直的直線斜率之間的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式及直線的點(diǎn)斜式方程，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題與解決問題的能力．（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：線段的中點(diǎn)為，利用斜率計(jì)算公式可得，可得線段的中垂線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可得出結(jié)果；（2）過點(diǎn)且與直線平行的直線的斜率為，利用直線的點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果．18．【答案】解：（1）由已知可知，點(diǎn)A應(yīng)在邊上的高所在直線與的角平分線所在直線的交點(diǎn)，由，得，故．因?yàn)檫吷系母咚谥本€的斜率：，所以所在直線的斜率為,所在直線的方程為,點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)在直線上，直線經(jīng)過點(diǎn)及，所以直線,由，得；（2）由（1）知所在直線方程,所以邊上的高所在的直線的斜率為,直線方程為,斜截式為．【解析】本題主要考查了直線的一般方程，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，兩條直線互相垂直的充要條件，屬于中檔題．（1）由已知可知，點(diǎn)A應(yīng)在邊上的高所在直線與的角平分線所在直線的交點(diǎn)，通過聯(lián)立方程組求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后求出的方程，聯(lián)立方程組求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）利用互相垂直的直線之間斜率的關(guān)系，可得出直線的斜率，求出直線l的方程化為斜截式．19．【答案】解：（1）由題意可得，故；（2）由條件得，，故．【解析】本題考查空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．（1）利用空間向量的線性運(yùn)算，即可求解；（2）先用基底表示向量,利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可．20．【答案】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?所以,又,所以兩兩垂直，以C為原點(diǎn)，所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則,,因?yàn)?所以,又因?yàn)椤⑵矫?所以平面．（2）解：由（1）知平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為,由,令,得．因?yàn)?，由圖形易知二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為．（3）解：因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?所以A到平面的距離．【解析】本題考查的是證明線面垂直，求二面角及點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題．（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)證明與平面的兩條相交直線垂直；（2）分別求出兩個(gè)平面的法向量，用法向量的夾角求二面角的余弦值；（3）用點(diǎn)到平面的距離公式直接求出即可．21．【答案】解：連結(jié)對(duì)角線相交于點(diǎn)O,連結(jié),則根據(jù)中位線性質(zhì)得到,平面平面，∵底面是菱形,∴以O(shè)為原點(diǎn)，分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．，，，．（1）易得平面,則平面的一個(gè)法向量為,，∴設(shè)直線與平面所成的角，有，∴直線與平面所成的角為；（2）設(shè)二面角的平面角為是銳角，等于法向量夾角余弦的絕對(duì)值，平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面的法向量為,，取，得到，，即，,故二面角的平面角正切值是2；（3）設(shè)上存在點(diǎn)M使得平面,則有,,設(shè)，，當(dāng)與C重合，此時(shí)平面不垂直平面,所以又，（舍），或，，∵此時(shí),而平面平面,平面．平面,故當(dāng)時(shí)，能使得平面．【解析】本題考查線面垂直的判定、向量法求線面角、面面角的正切值以及探索點(diǎn)的存在性問題，屬于中檔題．解題時(shí)先根據(jù)條件判斷出三條主線兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，相關(guān)向量的坐標(biāo)．（1）根據(jù)線面角正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦絕對(duì)值即可求解；（2）先判斷二面角是銳角還是鈍角，再利用平面法向量夾角與二面角的關(guān)系即可；（3）在假設(shè)存在的情況下，利用條件列出關(guān)于描述點(diǎn)位置的參數(shù)方程，解方程求得參數(shù)，最后驗(yàn)證在取得參數(shù)值的時(shí)候原命題成立即可．22．【答案】解：（1）如圖1，在三棱柱中，連結(jié),（圖1）（圖2）因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所?因?yàn)?所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面,又在平面內(nèi)，所以,又因?yàn)?所以M是中點(diǎn)．取中點(diǎn)P,連結(jié),因?yàn)镹是