2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)常考點(diǎn)精練（蘇科版）：專題13 角平分線與全等三角形結(jié)合（解析版）

專題13角平分線與全等三角形結(jié)合1．如圖，射線平分，點(diǎn)是上一點(diǎn)，垂直平分于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，若，，求．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)平分，運(yùn)用角平分線的性質(zhì)過(guò)F點(diǎn)作角兩邊的垂線構(gòu)造全等三角形求解即可．【詳解】如圖，連接，過(guò)作，垂足為∵平分，，，∴又垂直平分，∴在與中，∴∴，在與中，，∴而，，，∴【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)平分，運(yùn)用角平分線的性質(zhì)作出輔助線，構(gòu)造全等三角形求解即可．2．如圖，A，B兩點(diǎn)分別在射線OM，ON上，點(diǎn)C在的內(nèi)部且，，，垂足分別為D，E，且．(1)求證：OC平分；(2)如果，，求OD的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)7【解析】【分析】（1）證明Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），得CD=CE．再由角平分線的判定即可得出結(jié)論；OC平分∠MON；（2）證Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），得OD=OE，設(shè)BE=AD=x．則OE=OD=4+x，再由AO=OD+AD=4+2x=10，得x=3．即可得出答案．(1)證明：∵，，∴．在與中，，∴≌（HL），∴．又∵，，∴OC平分．(2)解：在與中，，∴≌（HL），∴，設(shè)．∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定等知識(shí)，證明Rt△ACD≌Rt△BCE和Rt△ODC≌Rt△OEC是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，，平分于E，點(diǎn)F在邊上，連接．(1)求證：；(2)若,,，求的長(zhǎng)度；(3)若,,，直接寫出的長(zhǎng)度．（用含a，b的代數(shù)式表示）．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)3(3)【解析】【分析】（1）應(yīng)用角平分線到角兩邊的距離相等這個(gè)條件，證明△ACD≌△AED，然后證明；（2）用條件：，先證明Rt△CDF≌Rt△EDB，然后求出；（3）根據(jù)（2）證明出的結(jié)果，直接寫出代數(shù)式．(1)證明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠C＝∠AED＝90°∵AD平分∠CAB，∴∠DAC＝∠DAB在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（AAS），

∴AC＝AE；(2)解：∵△ACD≌△AED（已證），∴DC＝DE，在Rt△CDF和Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝BE，

∵AB＝AE+BE，AC＝AE，∴AB＝AC+BE＝AF+CF+BE＝AF+2BE，∵AB＝15，AF＝9，

故答案為3；(3)解：由（2）證明可得：,故答案為．【點(diǎn)睛】此題考察知識(shí)點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)、三角形全等的判定、代數(shù)式；準(zhǔn)確掌握直角三角形判定HL是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．4．已知：如圖，D為△ABC外角∠ACP平分線上一點(diǎn)，且DA＝DB，DM⊥BP于點(diǎn)M．（1）若AC＝6，DM＝2，求△ACD的面積；

（2）求證：AC＝BM＋CM．【答案】（1）6；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）如圖作DN⊥AC于N．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DM＝DN＝2，由此即可解決問(wèn)題；（2）由Rt△CDM≌Rt△CDN，推出CN＝CM，由Rt△ADN≌Rt△BDM，推出AN＝BM，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：如圖作DN⊥AC于N．∵DC平分∠ACP，DM⊥CP，DN⊥CA，∴DM＝DN＝2，∴S△ADC＝?AC?DN＝×6×2＝6．（2）∵CD＝CD，DM＝DN，∴Rt△CDM≌Rt△CDN，∴CN＝CM，∵AD＝BD，DN＝DM，∴Rt△ADN≌Rt△BDM，∴AN＝BM，∴AC＝AN＋CN＝BM＋CM．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．5．已知OM是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是射線OM上一點(diǎn)，點(diǎn)C、D分別在射線OA、OB上，連接PC、PD．(1)如圖①，當(dāng)PC⊥OA，PD⊥OB時(shí)，則PC與PD的數(shù)量關(guān)系是．(2)如圖②，點(diǎn)C、D在射線OA、OB上滑動(dòng)，且∠AOB＝90°，當(dāng)PC⊥PD時(shí)，PC與PD在（1）中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說(shuō)明理由．【答案】(1)PC＝PD(2)成立，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)可知PC＝PD；（2）過(guò)點(diǎn)P點(diǎn)作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根據(jù)垂直的定義得到∠PEC＝∠PFD＝90°，由OM是∠AOB的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PE＝PF，利用四邊形內(nèi)角和定理可得到∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，則∠PCE＝∠PDF，然后根據(jù)“AAS”可判斷△PCE≌△PDF，根據(jù)全等的性質(zhì)即可得到PC＝PD．(1)解：PC＝PD，理由：∵OM是∠AOB的平分線，∴PC＝PD（角平分線上點(diǎn)到角兩邊的距離相等），故答案為：PC＝PD；(2)證明：過(guò)點(diǎn)P點(diǎn)作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如圖，∴∠PEC＝∠PFD＝90°，∵OM是∠AOB的平分線，∴PE＝PF，∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF，在△PCE和△PDF中，，∴△PCE≌△PDF（AAS），∴PC＝PD．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的證明，能夠在圖中構(gòu)造適合的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．6．已知∠MAN，AC平分∠MAN，D為AM上一點(diǎn)，B為AN上一點(diǎn)．（1）如圖①所示，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求證：AB+AD＝AC；（2）如圖②所示，若∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）成立，見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)AC平分∠MAN，可得CB＝CD，∠CAB＝60°，即可證明RT△ACD≌RT△ACB，可得AD＝AB，再根據(jù)AC＝2AB，即可解題；（2）根據(jù)AC平分∠MAN，可得CB＝CD，∠CAB＝60°，易證∠FCD＝∠BCE，即可證明△CDF≌△CBE，可得BE＝DF，再根據(jù)（1）中證明AC＝AE+AF，即可解題．【詳解】解：（1）證明：∵AC平分∠MAN，∴CB＝CD，∠CAB＝60°，在Rt△ACD和Rt△ACB中，，∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL），∴AD＝AB，∵∠ACB＝90°﹣∠CAB＝30°，∴AC＝2AB，∴AD+AB＝AC；（2）成立，過(guò)C作CE⊥AN于E，CF⊥AM于F，∵AC平分∠MAN，∴CB＝CD，∠CAB＝60°，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠DCB＝60°，∵∠FCE＝180°﹣∠BAD＝60°，∴∠FCE＝∠BCD，∵∠FCD+∠DCE＝∠FCE，∠BCE+∠DCE＝∠BCD，∴∠FCD＝∠BCE，在△CDF和△CBE中，，∴△CDF≌△CBE，（ASA）∴BE＝DF，∴AD+AB＝AD+AE+BE＝AD+DF+AE＝AE+AF，∵AC＝AE+AF，∴AD+AB＝AC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△CDF≌△CBE是解題的關(guān)鍵．7．如圖：在直角△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D在AB邊上，連接CD．（1）如圖1，若CD是∠ACB的角平分線，且AD＝CD，探究BC與AC的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由；（2）如圖2，若BC＝BD，BF⊥AC于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上且AD＝BE連接GE，求證：BG+EG＝AC．【答案】（1），理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（2）作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，得出，，證明，得出，則結(jié)論可得出．【詳解】解：（1）．理由如下：如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，，平分，，在和中，，，，；（2）證明：如圖2，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，又，，，，，，，即，，又，，，，又，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．8．觀察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB＝2∠B．（1）如圖①，當(dāng)∠C＝90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，過(guò)D作AB的垂線DE,垂足為E，可以發(fā)現(xiàn)AB、AC、CD存在的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD是否還存（1）中的數(shù)量關(guān)系？如果存在，請(qǐng)給出證明．如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖③，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明．【答案】（1）AB＝AC+CD；（2）存在，理由見(jiàn)解析；（3）AB＝CD﹣AC，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)∠ACB=90°，∠ACB=2∠B，得到∠B=45°，CD⊥AC，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得DE=CD，再證明∠B=∠EDB，得到BE=ED=CD，最后證明Rt△AED≌Rt△ACD得到AE=AC，即可得到結(jié)論；（2）在AB上截取AG＝AC，證明△ADG≌△ADC得到CD＝DG，∠AGD＝∠ACB，再由∠ACB＝2∠B，得到∠B＝∠GDB，則BG＝DG＝DC，即可得到AB＝BG+AG＝CD+AC；（3）在AF上截取AG＝AC，由AD為∠FAC的平分線，得到∠GAD＝∠CAD，可證△ADG≌△ACD，得到CD＝GD，∠AGD＝∠ACD，即可推出∠ACB＝∠FGD，再由∠ACB＝2∠B，推出∠B＝∠GDB，得到BG＝DG＝DC，則AB＝BG﹣AG＝CD﹣AC．【詳解】解：（1）AB＝AC+CD，理由如下：∵∠ACB=90°，∠ACB=2∠B，∴∠B=45°，CD⊥AC，∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE=CD，∠DEB=∠DEA=90°，∴∠EDB=180°-∠B-∠DEB=45°，∴∠B=∠EDB，∴BE=ED=CD，在Rt△AED和Rt△ADC中，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE=AC，∴AB+AE+BE=AC+CD；（2）還存在AB＝CD+AC，理由如下：在AB上截取AG＝AC，如圖2所示，∵AD為∠BAC的平分線，∴∠GAD＝∠CAD，∵在△ADG和△ADC中，，∴△ADG≌△ADC（SAS），∴CD＝DG，∠AGD＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AGD＝2∠B，又∵∠AGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BG＝DG＝DC，則AB＝BG+AG＝CD+AC；（3）AB＝CD﹣AC，理由如下：在AF上截取AG＝AC，如圖3所示，∵AD為∠FAC的平分線，∴∠GAD＝∠CAD，∵在△ADG和△ACD中，，∴△ADG≌△ACD（SAS），∴CD＝GD，∠AGD＝∠ACD，∵∠FGD=180°-∠AGD，∠ACB=180°-∠ACD，∴∠ACB＝∠FGD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠FGD＝2∠B，又∵∠FGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BG＝DG＝DC，則AB＝BG﹣AG＝CD﹣AC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)與定義，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．9．已知：如圖1，在中，是的平分線．E是線段上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合），滿足．（1）如圖2，若，且，則________，_______．（2）求證：．（3）如圖3，若，請(qǐng)直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）36，126；（2）見(jiàn)解析；（3）【解析】【分析】（1），且，再結(jié)合三角形的外角定理即可求，，且，是的平分線，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）在上截取，連接，可證，故，，從而可得，所以進(jìn)而可證得：（3）由，可得，，，又是的平分線，可得，故是的平分線，所以是的平分線，故，又，所以和的數(shù)量關(guān)系即可求解．【詳解】（1）∵，且，∴∠EAC=∠ACE=18°，∴∠DEC=∠EAC+∠ACE=36°，又∵是的平分線，∴∠BAD=∠CAD=18°，∵，∴∠ABE=36°，∴；故答案為：36，126（2）在上截取，連接，又∵AE=AE，，∴，∴，∵∠AFE=∠ACE+∠FEC，∠ABE=2∠ACE，∴，∴∴；（3）∵，∴，∵，，∠CAD=∠BAE，∴∠ACD=∠ABE，∵∠ABE=2∠ACE，∴∠ACD=2∠ACE，∴CE平分∠ACB，∴點(diǎn)E到CA、CB的距離相等，又∵是的平分線，∴點(diǎn)E到AC、AB的距離相等，∴點(diǎn)E到BA、BC的距離相等，∴是的平分線，∴∠ABE=∠CBE，∴，又∵，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確作出輔助線，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．10．（1）如圖1，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的一點(diǎn)，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．F是OC上的另一點(diǎn)，連接DF、EF．求證：OP垂直平分DE；（2）如圖1，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的一點(diǎn)，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．F是OC上的另一點(diǎn)，連接DF、EF．求證：DF=EF（3）如圖2，若∠PDO+∠PEO=180°，PD=PE，求證：OP平分∠AOB．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)HL證明Rt△OPD≌Rt△OPE，得OD=OE可得結(jié)論；（2）根據(jù)SAS證明△ODF≌△OEF即可；（3）先過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA，PN⊥OE，證明△PMD≌△PNE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：∵OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，，∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），∴OD=OE，∴OP垂直平分DE，（2）由（1）知Rt△OPD≌Rt△OPE∴OD＝OE，在△ODF和△OEF中，，∴△ODF≌△OEF（SAS），∴DF＝EF．（3）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA，PN⊥OB，∵∠PDO+∠PEO=180°，∠PDO+∠PDM=180°∴∠PDM=∠PEN;在△PMD和△PNE中，∴△PMD≌△PNE（AAS）∴PM=PN；∵PM⊥OA，PN⊥OB,∴OP平分∠AOB【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在∠EAF的平分線上取點(diǎn)B作BC⊥AF于點(diǎn)C，在直線AC上取一動(dòng)點(diǎn)P．在直線AE上取點(diǎn)Q使得BQ=BP．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)線段AC上時(shí)，∠BQA+∠BPA=°；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，探究AQ、AP、AC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由；（3）在滿足（1）的結(jié)論條件下，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到在射線AC上時(shí)，直接寫出AQ、AP、PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為：．【答案】（1）180；（2）；理由見(jiàn)解析；（3）或．【解析】【分析】（1）作BMAE于點(diǎn)M，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BM=BC，證明,繼而證明解題即可；（2）作于M，先證明（HL），繼而得到，，，再證明（HL），從而得到，據(jù)此解題即可；（3）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，或當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別畫出適合的圖，再由（AAS）可得，，，再由（HL）可得，利用線段和差計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)B作于M，∵BA平分，，∴，在和中，，∴（HL），∴，又∵，∴，故答案為180；（2）解：理由如下：如圖2，作于M，∵AB平分∠EAF，∴BM=BC，在Rt和Rt中∴（HL）∴，，在和中∴（HL）∴∴（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，如圖，理由如下：作于M，∵BC⊥AF，∴，∵，∠BPC+∠BPA=180°，∴∠BPC=∠BQM，在和中∴（AAS）∴，，在Rt和Rt中∴（HL）∴，∴當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，理由如下：作于M，∵BC⊥AF，∴，∵，∠BQM+∠BQA=180°，∴∠BPC=∠BQM，在和中∴（AAS）∴，，在Rt和Rt中∴（HL）∴，∴故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，分類討論思想等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)，利用輔助線畫出準(zhǔn)確圖形是解題關(guān)鍵．12．如圖，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）求證：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不管取何值，都有S△AED＝2S△DGC；（2）當(dāng)取何值時(shí)，△DFE與△DMG全等；（3）在（2）的前提下，若，，求S△BFD．【答案】（1）見(jiàn)解