數(shù)字信號(hào)處理時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析

第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第2章

時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析引言序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換表示式時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬

信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系序列的Z變換利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理2.1

引言我們知道信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法有兩種，即時(shí)域分析方法和頻率分析方法。在模擬領(lǐng)域中，信號(hào)一般用連續(xù)變量時(shí)間t的函數(shù)表示，系統(tǒng)則用微分方程描述。為了在頻率域進(jìn)行分析，用拉普拉斯變換和傅里葉變換將時(shí)間域函數(shù)轉(zhuǎn)換到頻率域。而在時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)中，信號(hào)用序列表示，其自變量?jī)H取整數(shù)，非整數(shù)時(shí)無定義，而系統(tǒng)則用差分方程描述。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析頻域分析是用Z變換或傅里葉變換這一數(shù)學(xué)工具。其中傅里葉變換指的是序列的傅里葉變換，它和模擬域中的傅里葉變換是不一樣的，但都是線性變換，很多性質(zhì)是類似的。本章學(xué)習(xí)序列的傅里葉變換和Z變換，以及利用Z變換分析系統(tǒng)和信號(hào)頻域特性。本章學(xué)習(xí)內(nèi)容是本書也是數(shù)字信號(hào)處理這一領(lǐng)域的基礎(chǔ)。1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.2

序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)2.2.1序列傅里葉變換的定義定義(2.2.1)為序列x(n)的傅里葉變換，可以用FT(FourierTransform)縮寫字母表示。FT成立的充分必要條件是序列x(n)滿足絕對(duì)可和的條件，即滿足下式：(2.2.2)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析為求FT的反變換，用e

jωn乘(2.2.1)式兩邊，并在-π~π內(nèi)對(duì)ω進(jìn)行積分，得到(2.2.3)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理(2.2.4)式中因此第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理上式即是FT的逆變換。(2.2.1)和(2.2.4)式組成一對(duì)傅里葉變換公式。(2.2.2)式是FT存在的充分必要條件，如果引入沖激函數(shù)，一些絕對(duì)不可和的序列，例如周期序列，其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來，這部分內(nèi)容在下面介紹。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析例2.2.1設(shè)x(n)=RN(n)，求x(n)的FT解：1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理(2.2.5)設(shè)N=4，幅度與相位隨ω變化曲線如圖2.2.1所示。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.2.1R4(n)的幅度與相位曲線1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.2.2序列傅里葉變換的性質(zhì)1.FT的周期性在定義(2.2.1)式中，n取整數(shù)，因此下式成立M為整數(shù)(2.2.6)因此序列的傅里葉變換是頻率ω的周期函數(shù)，周期

是2π。這樣X(ejω)可以展成傅里葉級(jí)數(shù)，其實(shí)(2.2.1)式已經(jīng)是傅里葉級(jí)數(shù)的形式，x(n)是其系數(shù)。1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.2.2cosωn的波形1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.線性那么設(shè)式中a,b為常數(shù)3.時(shí)移與頻移設(shè)X(e

jω)=FT［x(n)］，那么(2.2.7)(2.2.8)(2.2.9)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理4.FT的對(duì)稱性在學(xué)習(xí)FT的對(duì)稱性以前，先介紹什么是共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱以及它們的性質(zhì)。設(shè)序列xe(n)滿足下式：xe(n)=x*e(-n)

(2.2.10)則稱xe(n)為共軛對(duì)稱序列。為研究共軛對(duì)稱序列具有什么性質(zhì)，將xe(n)用其實(shí)部與虛部表示xe(n)=xer(n)+jxei(n)將上式兩邊n用-n代替，并取共軛，得到

x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理對(duì)比上面兩公式，左邊相等，因此得到xer(n)=xer(-n)xei(n)=-xei(-n)(2.2.11)(2.2.12)由上面兩式得到共軛對(duì)稱序列其實(shí)部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。類似地，可定義滿足下式的稱共軛反對(duì)稱序列xo(n)=-x*o(-n)

(2.2.13)第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理將x0(n)表示成實(shí)部與虛部如下式：xo(n)=xor(n)+jxoi(n)可以得到xor(n)=-xor(-n)xoi(n)-xoi(-n)(2.2.14)(2.2.15)即共軛反對(duì)稱序列的實(shí)部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理例2.2.2試分析x(n)=e

jωn的對(duì)稱性解：將x(n)的n用-n代替，再取共軛得到：x*(-n)=e

jωn因此x(n)=x*(-n)，滿足(2.2.10)式，x(n)是共軛對(duì)稱序列，如展成實(shí)部與虛部，得到x(n)=cosωn+j

sinωn由上式表明，共軛對(duì)稱序列的實(shí)部確實(shí)是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析對(duì)于一般序列可用共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列之和表示，即x(n)=xe(n)+xo(n)

(2.2.16)式中xe(n),xo(n)可以分別用原序列x(n)求出，將(2.2.16)式中的n用-n代替，再取共軛得到x*(-n)=xe(n)-xo(n)

(2.2.17)利用(2.2.16)和(2.2.17)兩式，得到(2.2.18)(2.2.19)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析利用上面兩式，可以分別求出xe(n)和xo(n)。對(duì)于頻域函數(shù)X(ejω)也有和上面類似的概念和結(jié)論：X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)

(2.2.10)式中Xe(ejω)與Xo(ejω)分別稱為共軛對(duì)稱部分和共軛反對(duì)稱部分，它們滿足(2.2.21)(2.2.22)Xe(ejω)

=X*e(e-jω)Xo(ejω)

=-X*o(e-jω)同樣有下面公式滿足：(2.2.23)(2.2.24)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析(a)將序列x(n)分成實(shí)部xr(n)與虛部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)將上式進(jìn)行FT，得到X(e

jω)=Xe(e

jω)+Xo(e

jω)式中1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理上面兩式中，xr(n)和xi(n)都是實(shí)數(shù)序列，容易證明Xe(ejω)滿足(2.2.21)式，個(gè)有共軛對(duì)稱性，它的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。Xo(ejω)滿足(2.2.22)式，具有共軛反對(duì)稱性質(zhì)，其實(shí)部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析最后得到結(jié)論：序列分成實(shí)部與虛部?jī)刹糠?，?shí)部對(duì)稱的FT具有共軛對(duì)稱性，虛部和j一起對(duì)應(yīng)的FT具有共軛反對(duì)稱性。(b)將序列分成共軛對(duì)稱部分xe(n)和共軛反對(duì)稱部分xo(n)，即x(n)=xe(n)+xo(n)

(2.2.25)將(2.2.18)式和(2.2.19)式重定如下：1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理將上面兩式分別進(jìn)行FT，得到

FT［xe(n)］=1/2［X(ejω)+X*(ejω)］=Re［X(ejω)］=XR(ejω)FT［xo(n)］=1/2［X(ejω)-X*(ejω)］=jIm［X(ejω)］=jXI(ejω)因此對(duì)(2.2.25)式進(jìn)行FT得到：X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)

(2.2.26)(2.2.26)式表示序列的共軛對(duì)稱部分xe(n)對(duì)應(yīng)著FT的實(shí)部XR(ejω)，而序列的共軛反對(duì)稱部分xo(n)對(duì)應(yīng)著FT的虛部。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理因?yàn)閔(n)是實(shí)序列，其FT只有共軛對(duì)稱部分He(ejω)，共軛反對(duì)稱部分為零。H(ejω)=He(ejω)H(ejω)=H*(e-jω)因此實(shí)序列的FT的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)，用公式表示為HR(ejω)=HR(e-jω)HI(ejω)=-HI(e-jω)第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析按照(2.2.18)和(2.2.19)式得到h(n)=he(n)+ho(n)he(n)=1/2［h(n)+h(-n)］ho(n)=1/2［h(n)-h(-n)］因?yàn)閔(n)是實(shí)因果序列，按照上面兩式he(n)和ho(n)可以用下式表示：(2.2.27)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析(2.2.28)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理實(shí)因果序列h(n)分別用he(n)和ho(n)表示為h(n)=he(n)u+(n)h(n)=

ho(n)u+(n)+h(o)δ(n)(2.2.29)(2.2.30)第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析(2.2.31)例

2.2.3 x(n)=anu(n);

0<a<1;

求其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)。解：x(n)=xe(n)+xo(n)按(2.2.2)式得到1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析按照(2.2.28)式得到1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.2.3例2.2.3圖1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析5.時(shí)域卷積定理設(shè)

y(n)=x(n)*h(n),則Y(e

jω)=X(e

jω)·H(e

jω)證明(2.2.32)令k=n-m1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理該定理說明，兩序列卷積的FT，服從相乘的關(guān)系。對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出的FT等于輸入信號(hào)的FT乘以

單位脈沖響應(yīng)FT。因此求系統(tǒng)的輸出信號(hào)，可以在時(shí)域用卷積公式(1.3.7)計(jì)算，也可以在頻域按照(2.2.32)式，求出輸出的FT，再作逆FT求出輸出信號(hào)。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析6.頻域卷積定理設(shè)y(n)=x(n)·h(n)(2.2.33)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析7.帕斯維爾(Parseval)定理(2.2.34)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析帕斯維爾定理告訴我們，信號(hào)時(shí)域的總能量等于頻域的總能量。要說明一下，這里頻域總能量是指|X(e

jω)|2在一個(gè)周期中的積分再乘以1/(2π)。最后，表

2.2.1綜合了FT的性質(zhì)，這些性質(zhì)在分析問題和實(shí)際應(yīng)用中是很重要的。1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析序列傅里葉變換的性質(zhì)表2.2.11/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.3

周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換表示式2.3.1周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)設(shè) 是以N為周期的周期序列，

由于是周期性的，

可以展成傅里葉級(jí)數(shù)(2.3.1)式中ak是傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。

為求系數(shù)ak，

將上式兩邊乘以 ，

并對(duì)n在一個(gè)周期N中求和1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析(2.3.2)(2.3.2)式的證明，作為練習(xí)自己證明。因此-∞<k<∞

(2.3.3)上式中，k和n均取整數(shù)，當(dāng)k或者n變化時(shí)，是周期為N的周期函數(shù)，可表示成取整數(shù)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析上式中

也是一個(gè)以N為周期的周期序列，

稱為

的離散傅里葉級(jí)數(shù)，

用DFS(Discrete

FourierSeries)表示。如對(duì)(2.3.4)式兩端乘以 ，

并對(duì)k在一個(gè)周期中求和，

得到同樣按照(2.3.2)式，得到(2.3.5)將(2.3.4)式和(2.3.5)式重寫如下：1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理k=0,1,2…N-1，幅度為是2π/N，幅度是。其波分量的頻率。一個(gè)周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析(2.3.6)(2.3.7)(2.3.6)式和(2.3.7)式稱為一對(duì)DFS。(2.3.5)式表明將周期序列分解成N次諧波，第k個(gè)諧波頻率為ωk=(2π/N)k,1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析例2.3.1設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期，進(jìn)行周期延拓，得到如圖2.3.1(a)所示的周期序，

周期為8，

求 的DFS。解：按照(2.3.4)式列1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析其幅度特性如圖2.3.1(b)所示。1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.3.1例2.3.1圖1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.3.2周期序列的傅里葉變換表示式在模擬系統(tǒng)中， ，

其傅里葉變換是在Ω=Ωo處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度是2π，即(2.3.8)對(duì)于時(shí)域離散系統(tǒng)中，x(n)=e

jωon，2π/ωo為有理數(shù)，暫時(shí)假定其FT的形式與(2.3.8)式一樣，也是在ω=ω0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為2π，但由于n取整數(shù)，下式成立取整數(shù)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析因此e

jω0n的FT為(2.3.9)上式表示復(fù)指數(shù)序列的FT是在ω0±2πr處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為2π如科2.3.2所示。

但這種假定如果成立，

要求按照(2.2.4)式的逆變換必須存在，

且唯一等于 ，

下面進(jìn)行驗(yàn)證，

按照(2.2.4)式1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.3.2的FT1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析觀察圖2.3.2，

在±π區(qū)間，

只包括一個(gè)單位沖激函數(shù)，

等式右邊為 ，

因此得到下式：證明了(2.3.9)式確定是ejω0n的FT，前面的暫時(shí)假定是正確的。，按(2.3.4)式展開DFS，，類似于復(fù)指數(shù)序列的FT，，因此 的FT對(duì)于一般周期序列第k次諧波為其FT為如下式1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析式中k=0,1,2…N-1,如果讓k在±∞之間變化，上式可簡(jiǎn)化成(2.3.10)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析表2.3.2基本序列的傅里葉變換1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析對(duì)(a)式進(jìn)行FT，得到1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析例2.3.2求例2.3.1中周期序列的FT。解：

將例2.3.1中得到的 代入(2.3.10)式中得到其幅頻特性如圖2.3.3所示。1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.3.3例2.3.2圖1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理對(duì)比圖2.3.1，對(duì)于同一個(gè)周期信號(hào)，其DFS和FT分別取模的形狀是一樣的，不同的是FT用單位沖激函數(shù)表示(用帶箭頭的豎線表示)。因此周期序列的頻譜分布用其DFS或者FT表示都可以，但畫圖時(shí)應(yīng)注意單位沖激函數(shù)的畫法。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析例2.3.3令求其FT。解：將，2π/ω0為有理數(shù)，用歐拉公式展開(2.3.11)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理按照(2.3.9)式，其FT推導(dǎo)如下：第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理上式表明cosω0n的FT，是在ω=±ω0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為π，且以2π為周期進(jìn)行延拓，如圖2.3.4所示。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.3.4cosω0n的FT1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.4

時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系我們知道模擬信號(hào)xa(t)的一對(duì)傅里葉變換式用下面公式描述(2.4.1)(2.4.2)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析這里t與Ω的域均在±∞之間。從模擬信號(hào)幅度取值考慮，在第一章中遇到兩種信號(hào)，即連續(xù)信號(hào)和采樣信號(hào)，它們之間的關(guān)系用(1.5.2)式描述，重寫如下：采樣信號(hào) 和連續(xù)信號(hào)xa(t)，

它們分雖的傅里葉變換之間的關(guān)系，

由采樣定理(1.5.5)式描述，

重寫如下：1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析下面我們研究如果時(shí)域離散信號(hào)x(n)，或稱序列x(n)，是由對(duì)模擬信號(hào)xa(t)采樣產(chǎn)生的，即在數(shù)值上有有下面關(guān)系式成立：x(n)=xa(nT)

(2.4.3)注意上面式中n取整數(shù)，否則無定義。x(n)的一對(duì)傅里葉變換用(2.2.1)式和(2.2.4)式表示，重寫如下：1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析X(e

jω)與Xa(jΩ)之間有什么關(guān)系，數(shù)字頻率ω與模

擬頻率Ω(f)之間有什么關(guān)系，這在模擬信號(hào)數(shù)字處理中，是很重要的問題。為分析上面提出的問題，我們從(2.4.3)式開始研究。將t=nT代入(2.4.2)式中，得到(2.4.4)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析，代入上式后，再將Ω′用Ω令代替，得到式中，因?yàn)閞和n均取整數(shù)，e-j2πrn=1，交換求和號(hào)和積分號(hào)得到(2.4.5)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析在第一章中曾得到結(jié)論，如果序列是由一模擬信號(hào)取樣產(chǎn)生，則序列的數(shù)字頻率ω與模擬信號(hào)的頻率Ω(f)成線性性關(guān)系，如(1.2.10)式所示，重寫如下：ω=ΩT式中T是采樣周期T=1/fs，將(1.2.10)式代入(2.4.5)式得到(2.4.6)現(xiàn)在對(duì)比(2.4.1)式和(2.4.6)式，得到(2.4.7)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理上面(2.4.7)式即表示序列的傅里葉變換X(ejω)和模擬信號(hào)xa(t)的傅里葉變換Xa(jΩ)之間的關(guān)系式，我們將(2.4.7)式與(1.5.5)式對(duì)比，得到結(jié)論：序列的傅里葉變換和模擬信號(hào)的傅里葉變換之間的關(guān)系，與采樣信

號(hào)、模擬信號(hào)分別的FT之間的關(guān)系一樣，都是Xa(jΩ)以周期Ωs=2π/T進(jìn)行周期延拓，頻率軸上取值的對(duì)應(yīng)關(guān)系用(1.2.10)式表示。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理在一些文獻(xiàn)中經(jīng)常使用歸一化頻率f′=f/fs或Ω′=Ω/ΩsΩ′=ω/2π，因?yàn)閒′、Ω′和ω′，都是無量綱，刻度是樣的，將f、Ω、ω、f′、Ω′、ω′的定標(biāo)值對(duì)應(yīng)關(guān)系用圖2.4.1表示。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.4.1模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標(biāo)關(guān)系1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析例2.4.1設(shè)xa(t)=cos(2πf0t)，f0=50

Hz以采樣頻率fs=200

Hz對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣，

得到采相信號(hào) 和時(shí)的傅里葉變換以及域離散信號(hào)x(n)，求xa(t)和x(n)的FT。解：(2.4.8)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析Xa(jΩ)是Ω=±2πf0處的單位沖激函數(shù)，

強(qiáng)度為π，如圖2.4.2(a)所示。

以fs=200

Hz對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣得到采樣信號(hào) ，

按照(1.5.2)式， 與xa(t)的關(guān)系式為的傅里葉變換用(1.5.5)式確定，即以Ωs=2πfs為周期，將Xa(jΩ)周期延拓形成，得到：1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析(2.4.9)如圖2.4.2(b)所示。將采樣信號(hào)轉(zhuǎn)換成序列x(n)，用下式表示：x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT)按照(2.4.7)式，得到x(n)的FT，實(shí)際上只要將Ω=ω/T=ωfs代入中即可。1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析將fs=200

Hz，f0=50

Hz，代入上式，求括弧中公式為零時(shí)的ω值，ω=2πk±π/2，因此X(ejω)用下式表示：(2.4.10)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.4.2例2.4.1圖1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.5

序列的Z變換2.5.1

Z變換的定義序列x(n)的Z變換定義為(2.5.1)式中z是一個(gè)復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱為z平面。注意在定義中，對(duì)n求和是在±∞之間求和，可以稱為雙邊Z變換。還有一種稱為單邊Z變換的定義，如下式(2.5.2)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析這種單邊Z變換的求和限是從零到無限大，因此對(duì)于因果序列，用兩種Z變換定義計(jì)算出的結(jié)果是一樣的。本書中如不另外說明，均用雙邊Z變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和變換。(2.5.1)式Z變換存在的條件是等號(hào)右邊級(jí)數(shù)收斂，要求級(jí)數(shù)絕對(duì)可和，即(2.5.3)使(2.5.3)式成立，Z變量取值的域稱為收斂域。一般收斂域用環(huán)狀域表示1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.5.1Z變換的收斂域1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析常用的Z變換是一個(gè)有理函數(shù)，用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示分子多項(xiàng)式P(z)的根是X(z)的零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式Q(z)的根是X(z)的極點(diǎn)。在極點(diǎn)處Z變換不存在，因此收斂域中沒有極點(diǎn)，收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界。對(duì)比序列的傅里葉變換定義(2.2.1)式，很容易得到FT和ZT之間的關(guān)系，用下式表示：(2.5.4)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析式中z=e

jω表示在z平面上r=1的圓，該圓稱為單位圓。(2.5.4)式表明單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。如果已知序列的Z變換，可用(2.5.4)式，很方便的求出序列的FT，條件是收斂域中包含單位圓。例2.5.1

x(n)=u(n)，求其Z變換。解：X(z)存在的條件是|z-1|<1，因此收斂域?yàn)閨z|>1，|z|>11/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理由x(z)表達(dá)式表明，極點(diǎn)是z=1，單位圓上的Z變換不存在，或者說收斂域不包含單位圓。因此其傅里葉變換不存在，更不能用(2.5.4)式求FT。該序列的FT不存在，但如果引進(jìn)奇異函數(shù)δ(ω)，其傅里葉變換可以表示出來(見表2.3.2)。該例同時(shí)說明一個(gè)序列的傅里葉變換不存在，在一定收斂域內(nèi)Z變換是存在的。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.5.2序列特性對(duì)收斂域的影響序列的特性決定其Z變換收斂域，了解序列特性與收斂的一些一般關(guān)系，對(duì)使用Z變換是很有幫助的。1.有限長(zhǎng)序列如序列x(n)滿足下式：x(n)

n1≤n≤n2x(n)=0其它1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析即序列x(n)從n1到n2序列值不全為零，此范圍之外序列值為零，這樣的序列稱為有限長(zhǎng)序列。其Z變換為設(shè)x(n)為有界序列，由于是有限項(xiàng)求和，除0與∞丙點(diǎn)是否收斂與n1、n2取值情況有關(guān)外，整個(gè)z平面均收斂。如果n1<0，則收斂域不包括∞點(diǎn)；如n2>0，則收斂域不包括z=0點(diǎn)；如果是因果序列，收斂域包括z=∞點(diǎn)。具體有限長(zhǎng)序列的收斂域表示如下：1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析n1<0，n2≤0時(shí)，0≤z＜∞n1<0，n2>0時(shí)，0<z＜∞n1≥0，n2>0時(shí)，0<z≤∞例2.5.2求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域解：1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析這是一個(gè)因果的有限長(zhǎng)序列，因此收斂域?yàn)?<z≤∞。但由結(jié)果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的極點(diǎn)，但同時(shí)分子多項(xiàng)式在z=1時(shí)也有一個(gè)零點(diǎn)，極零點(diǎn)對(duì)消，X(z)在單位圓上仍存在，求RN(n)的FT，可將z=ejω代入X(z)得到，其結(jié)果和例題2.2.1中的結(jié)果(2.2.5)公式是相同的。2.右序列右序列是在n≥n1時(shí)，序列值不全為零，而其它n<n1，序列值全為零。1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列，設(shè)n1≤-1，其收斂域?yàn)?≤|z|＜∞。第二項(xiàng)為因果序列，其收斂域?yàn)镽x-<|z|≤∞，Rx-是第二項(xiàng)最小的收斂半徑。將兩收斂域相與，其收斂域?yàn)镽x-<|z|<∞。如果是因果序列，收斂域定為Rx-<|z|≤∞。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析例2.5.3求x(n)=anu(n)的Z變換及其收斂域解：在收斂域中必須滿足|az-1|<1，因此收斂域?yàn)閨z|>|a|。3.左序列左序列是在n≤n2時(shí)，序列值不全為零，而在n>n1，序列值全為零的序列。左序列的Z變換表示為1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析如果n2<0,z=0點(diǎn)收斂，z=∞點(diǎn)不收斂，其收斂域是在某一圓(半徑為Rx+)的圓內(nèi)，收斂域?yàn)?≤|z|<Rx+。如果

n2>0，則收斂域?yàn)?<|z|<Rx+。例2.5.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z變換及其收斂域。X(z)存在要求|a-1z|<1，即收斂域?yàn)閨z|<|a|1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析4.雙邊序列一個(gè)雙邊序列可以看作一個(gè)左序列和一個(gè)右序列之和，其Z變換表示為1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析X(z)的收斂域是X1(z)和X2(z)收斂域的公共收斂區(qū)域。如果Rx+>Rx-，其收斂域?yàn)镽x-<|z|<Rx+，這是一個(gè)環(huán)狀域，如果Rx+<Rx-，兩個(gè)收斂域沒有公共區(qū)域，X(z)沒有收斂域，因此X(z)不存在。例2.5.5x(n)=a|n|，a為實(shí)數(shù)，求x(n)的Z變換及其收斂域。解：1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第一部分收斂域?yàn)閨az|<1，得|z|<|a|-1，第二部分收斂域?yàn)閨az-1|<1，得到|z|>|a|。如果|a|<1，兩部分的公共收斂域?yàn)閨a|<|z|<|a|-1，其Z變換如下式：|a|<|z|<|a|-1如果|a|≥1，則無公共收斂域，因此X(z)不存在。當(dāng)0<a<1時(shí)，x(n)的波形及X(z)的收斂域如圖2.5.2所示。1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.5.2例2.5.5圖1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.5.3逆Z變換已知序列的Z變換及其收斂域，求序列稱為逆Z變換。序列的Z變換及共逆Z變換表示如下：(2.5.5)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1.用留數(shù)定理求逆Z變換如果X(z)zn-1在圍線c內(nèi)的極點(diǎn)用zk表示，根據(jù)留數(shù)定理(2.5.6)式中 表示被積函數(shù)X(z)zn-1在極點(diǎn)z=zk的留數(shù)，逆Z變換則是圍線c內(nèi)所有的極點(diǎn)留數(shù)之和。如果zk是單階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理(2.5.7)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析如果zk是N階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理(2.5.8)由(2.5.8)式表明，對(duì)于N階極點(diǎn)，需要求N-1次導(dǎo)數(shù)，這是比較麻煩的。如果c內(nèi)有多階極點(diǎn)，而c外沒有多階極點(diǎn)，可以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外的所有極點(diǎn)留數(shù)之和，使問題簡(jiǎn)單化。設(shè)被積函數(shù)用F(z)表示，即1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析F(z)在z平面上有N個(gè)極點(diǎn)，在收斂域內(nèi)的封閉曲線c將z平面上極點(diǎn)分成兩部分：一部分是c內(nèi)極點(diǎn)，設(shè)有N1個(gè)極點(diǎn)，用z1k表示；另一部分是c外極點(diǎn)，有

N2個(gè)，N=N1+N2，用z2k表示。根據(jù)留數(shù)輔助定理下

式成立：(2.5.9)注意(2.5.9)式成立的條件是F(z)的分母階次比分子階次必須高二階以上。設(shè)X(z)=P(z)/Q(z)，P(z)與Q(z)分別是M與N階多項(xiàng)式。(2.5.9)式成立的條件是1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析N-M-n+1≥2N-M-n≥1

(2.5.10)因此要求如果(2.5.10)式滿足,c圓內(nèi)極點(diǎn)中有多階極點(diǎn)，而c圓外極點(diǎn)沒有多階的，可以按照(2.5.9)式，改求c圓外極點(diǎn)留數(shù)之和，最后加一個(gè)負(fù)號(hào)。例2.5.6已知X(z)=(1-az-1)-1，|z|>a，求其逆Z變換

x(n)。1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析為了用留數(shù)定理求解，先找出F(z)的極點(diǎn)，極點(diǎn)有：z=a;當(dāng)n<0時(shí)z=0共二個(gè)極點(diǎn)，其中z=0極點(diǎn)和n的取值有關(guān)。n≥0時(shí)，n=0不是極點(diǎn)。n<0時(shí)，z=0是一個(gè)n階極點(diǎn)。因此分成n≥0和n<0兩種情況求x(n)。n≥0時(shí)，1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析n<0時(shí)，增加z=0的n階極點(diǎn)，不易求留數(shù)，采用留數(shù)輔助定理求解，檢查(2.5.10)式是否滿足，此處

n<0，只要N-N≥0，(2.5.10)式就滿足。圖2.5.4例2.5.6中n<0時(shí)F(z)極點(diǎn)分布1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析例

2.5.7已知 ，

求其逆變換x(n)。解：該例題沒有給定收斂域，為求出唯一的原序列x(n)，必須先確定收斂域。分析X(z)，得到其極點(diǎn)分布如圖2.5.5所示。圖中有二個(gè)極點(diǎn)z=a和z=a-1，這樣收斂域有三種選法，它們是|z|>|a-1|，對(duì)應(yīng)的x(n)是右序列；|a|<|z|<|z-1|，對(duì)應(yīng)的x(n)是雙邊序列；|z|<|a|，對(duì)應(yīng)的x(n)是左序列。1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.5.5例2.5.7

X(z)極點(diǎn)分布圖1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析下面按照收斂域的不同求其x(n)。(1)收斂域|z|>|a-1|種收斂域是因果的右序列，無須求n<0時(shí)的x(n)。當(dāng)n≥0時(shí)，圍線積分c內(nèi)有二個(gè)極點(diǎn)z=a和z=a-1，因此1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。(2)收斂域|z|<|a|這種情況原序列是左序列，無須計(jì)算n≥0情況，當(dāng)n≥0時(shí)，圍線積分c內(nèi)沒有極點(diǎn)，因此x(n)=0。n<0時(shí)，c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z=0，且是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)之和1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析最后將x(n)表示成x(n)=(a-n-an)u(-n-1)(3)收斂域|a|<|z|<|a-1|這種情況對(duì)應(yīng)的x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z)，按n≥0和n<0兩情況分別求x(n)。n≥0時(shí)，c內(nèi)極點(diǎn)z=ax(n)=Res［F(z),a］=an1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析n<0時(shí)，c內(nèi)極點(diǎn)有二個(gè)，其中z=0是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外極點(diǎn)只有z=a-1，因此x(n)=-Res［F(z),a-1］=a-n最后將x(n)表示為ann≥0x(n)=x(n)=a|n|a-nn<01/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.冪級(jí)數(shù)法(長(zhǎng)除法)按照Z(yǔ)變換定義(2.5.1)式，可以用長(zhǎng)除法將X(z)寫成冪級(jí)數(shù)形式，級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)。要說明的是，如果x(n)是右序列，級(jí)數(shù)應(yīng)是負(fù)冪級(jí)數(shù)；如x(n)是左序列，級(jí)數(shù)則是正冪級(jí)數(shù)。例

2.5.8已知 用長(zhǎng)除法求其逆Z變換x(n)。解由收斂域判定這是一個(gè)右序列，用長(zhǎng)除法將其展成負(fù)冪級(jí)數(shù)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1-az-11/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析例

2.5.9

已知求 其逆Z變換x(n)。解：由收斂域判定，x(n)是左序列，用長(zhǎng)除法將X(z)展成正冪級(jí)數(shù)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析3.部分分式展開法對(duì)于大多數(shù)單階極點(diǎn)的序列，常常用這種部分分式展開法求逆Z變換。設(shè)x(n)的Z變換X(z)是有理函數(shù)，分母多項(xiàng)式是N階，分子多項(xiàng)式是M階，將X(z)展成一些簡(jiǎn)單的常用的部分分式之和，通過查表(參考表2.5.1)求得各部分的逆變換，再相加即得到原序列x(n)。設(shè)X(z)只有N個(gè)一階極點(diǎn)，可展成正式1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析(2.5.11)(2.5.12)觀察上式，X(z)/z在z=0的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)A0，在z=zm的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)Am。(2.5.13)(2.5.14)求出Am系數(shù)(m=0,1,2,…N)后，很容易示求得x(n)序列。1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析例2.5.10已知，求逆Z變換。解1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理因?yàn)槭諗坑驗(yàn)?<|z|<3，第一部分極點(diǎn)是z=2，因此

收斂域?yàn)閨z|>2。第二部分極點(diǎn)z=-3，收斂域應(yīng)取|z|<3。查表2.5.1得到x(n)=anu(n)+(-3)nu(-n-1)一些常見的序列的Z變換可參考表2.5.1。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析表2.5.1常見序列Z變換1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理2.5.4

Z變換的性質(zhì)和定理Z變換有許多重要的性質(zhì)和定理，下面進(jìn)行介紹。1.線性設(shè) X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+Y(z)=ZT［y(n)］,

Ry-

<|z|<

Ry+則

M(z)=ZT［m(n)］=aX(z)+bY(z), R

m-<|z|<R

m+Rm+=max［

Rx+,Ry+］Rm-=max［

Rx,Ry-］(2.5.15)第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理這里M(z)的收斂域(Rm-，Rm+)是X(z)和Y(z)的公式收斂域，如果沒有公共收斂域，例如當(dāng)R

x+>R

x->R

y+>R

y-時(shí)，則M(z)不存在。2.序列的移位設(shè)X(z)=ZT［x(n)］, R

x-<|z|<R

x+則ZT［x(n-n0)］=z-n0X(z),

R

x-<|z|<R

x+

(2.5.16)第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析3.

乘以指數(shù)序列設(shè)

X(z)=ZT［x(n)］,y(n)=anx(n),則

Y(z)=ZT［anx(n)］R

x-<|z|<R

x+a為常數(shù)=X(a-1

z) |a|R

x-<|z|<|a|R

x+證明(2.5.17)因?yàn)镽x-<|a-1

z|<Rx+，得到|a|

Rx-<|z|<|a|

Rx+。1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析4.序列乘以n設(shè)則1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理(2.5.18)證明第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析5.復(fù)序列的共軛設(shè)則1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理證明(2.5.19)第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析6.初值定理設(shè)x(n)是因果序列，X(z)=ZT［x(n)］(2.5.20)證明因此7.終值定理若x(n)是因果序列，其Z變換的極點(diǎn)，除可以有一個(gè)一階極點(diǎn)在z=1上，其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則(2.5.21)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析證明因?yàn)閤(n)是因果序列，因?yàn)?z-1)X(z)在單位圓上無極點(diǎn)，上式兩端對(duì)z=1取極限1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析終值定理也可用X(z)在z=1點(diǎn)的留數(shù)，因?yàn)?2.5.22)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理因此如果單位圓上，X(z)無極點(diǎn)，則x(∞)=0。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析8.序列卷積設(shè)則1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析證明1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理W(z)的收斂域就是X(z)和Y(z)的公共收斂域。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析例2.5.11已知網(wǎng)絡(luò)的單位取樣響應(yīng)h(n)=anu(n),|a|<1，網(wǎng)絡(luò)輸入序列x(n)=u(n)，求網(wǎng)絡(luò)的輸出序列y(n)。解：y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用二種方法，一種直接求解線性卷積，另一種是用Z變換法。1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析由收斂域判定y(n)=0,n<0。n≥0 y(n)=Res［Y(z)z

n-1,1］+Res［Y(z)z

n-1,a］1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析將y(n)表示為1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理9.復(fù)卷積定理如果ZT［x(n)］=X(z)，R

x-<|z|<R

x+ZT［y(n)］=Y(z),R

y-<|z|<R

y+則w(n)=x(n)y(n)第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析W(z)的收斂域1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理(2.5.25)(2.5.24)式中v平面上，被積函數(shù)的收斂域?yàn)?2.5.26)(2.5.24)第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析證明1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理由X(z)收斂域和Y(z)的收斂域，得到第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析例2.5.12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|，若w(n)=x(n)y(n)求W(z)=ZT［w(n)］解：因此1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析W(z)收斂域?yàn)閨a|<|z|≤∞；被積函數(shù)v平面上收斂域?yàn)閙ax(|a|,0)<|v|<min(|a-1|,|z|)，v平面上極點(diǎn)：a、a-1z,c內(nèi)極點(diǎn)z=a。1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析10.帕斯維爾(Parseval)定理利用復(fù)卷積定理可以證明重要的怕斯維爾定理。那么v平面上，c所在的收斂域?yàn)?/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析證明 令

w(n)=x(n)·y*(n)按照(2.5.24)式，得到按照(2.5.25)式，R

x-R

y-<|z|<R

x+R

y+，按照假設(shè)，z=1在收斂域中，令z=1代入W(z)中。1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析如果x(n)和y(n)都滿足絕對(duì)可和，即單位圓上收斂，在上式中令v=e

jω，得到令x(n)=y(n)得到(2.5.29)上面得到的公式和在傅里葉變換中所講的帕期維爾定理(2.2.34)式是相同的。(2.5.28)式還可以表示成下式1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.5.5利用Z變換解差分方程在第一章中介紹了差分方程的遞推解法，下面介紹Z變換解法。這種方法將差分方程變成了代數(shù)方程，使求解過程簡(jiǎn)單。設(shè)N階線性常系數(shù)差方程為(2.5.30)1.求穩(wěn)態(tài)解如果輸入序列x(n)是在n=0以前∞時(shí)加上的，n時(shí)刻的y(n)是穩(wěn)態(tài)解，對(duì)(2.5.30)式求Z變換，得到1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析式中1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理(2.5.31)(2.5.32)第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理2.求暫態(tài)解對(duì)于N階差分方程，求暫態(tài)解必須已知N個(gè)初始條

件。設(shè)x(n)是因果序列，即x(n)=0,n<0，已知初始條件y(-1),y(-2)…y(-N)。對(duì)(2.5.30)式進(jìn)行Z變換時(shí)，注意這里要用單邊Z變換。方程式的右邊由于x(n)是因果序列，

單邊Z變換與雙邊Z變換是相同的。下面先求移位序列的單邊Z變換。設(shè)第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析(2.5.33)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析按照(2.5.33)式對(duì)(2.5.30)式進(jìn)行單邊Z變換(2.5.34)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析例2.5.13已知差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，式中x(n)=anu(n),y(-1)=2，求y(n)。解：將已知差分方程進(jìn)行Z變換式中，于是1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析收斂域?yàn)閨z|>max(|a|,|b|)，式中第一項(xiàng)為零輸入解，第二項(xiàng)為零狀態(tài)解。1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.6

利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性2.6.1傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，輸出端對(duì)輸入為單位脈沖序列δ(n)的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位脈中響應(yīng)h(n)，對(duì)h(n)進(jìn)行傅里葉變換得到H(e

jω)(2.6.1)一般稱H(e

jω)為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率特性。1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析設(shè)h(n)進(jìn)行Z變換，得到H(z)，一般稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。對(duì)N階差分方程(1.4.2)式，進(jìn)行Z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表示式(2.6.2)如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1，H(e

jω)與H(z)之間關(guān)系如下式：(2.6.3)1/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.6.2用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果(可實(shí)現(xiàn))系統(tǒng)其單位脈響應(yīng)h(n)一定滿足當(dāng)n<0時(shí)，h(n)=0，那么其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包含∞點(diǎn)，即∞點(diǎn)不是極點(diǎn)，極點(diǎn)分布在某個(gè)圓的圓內(nèi)，收斂域在某個(gè)圓外。系統(tǒng)穩(wěn)定要求 ，對(duì)照Z(yǔ)變換定義，系統(tǒng)穩(wěn)定要求收斂域包含單位圓。如果系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，收斂域包含∞點(diǎn)和單位圓，那么收斂域可表示為r<|z|≤∞，

0<r<11/27/2021數(shù)字信號(hào)處理第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析例2.6.1已知 分析其因果性和穩(wěn)定性.解：H(z)的極點(diǎn)為z=a，z=a-1，如圖2.5.5所示。(1)收斂域a-1<|z|≤∞，