2023屆福建省南安高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知復(fù)數(shù)z=g（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

2-1

A，B，CC'I?'?]D?卜,5

2,《周易》是我國(guó)古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬(wàn)象變化.如圖是一個(gè)八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、

艮、兌八卦（每一卦由三個(gè)爻組成，其中“■一”表示一個(gè)陽(yáng)爻，表示一個(gè)陰爻）.若從含有兩個(gè)及以上陽(yáng)

爻的卦中任取兩卦，這兩卦的六個(gè)爻中都恰有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率為（）

4

i-i

3.設(shè)2=「+方,則|z|=

1+1

1

A.0B.-C.1D.J2

2

4.設(shè)beR*,數(shù)列｛%｝滿足4=2,an+i=a-a~+b,〃eN*，貝！J（）

A.對(duì)于任意。，都存在實(shí)數(shù)M,使得4恒成立

B.對(duì)于任意。，都存在實(shí)數(shù)M，使得區(qū),<M恒成立

C.對(duì)于任意人￡（2-都存在實(shí)數(shù)使得恒成立

D.對(duì)于任意匕e（0,2-4a）,都存在實(shí)數(shù)〃，使得<M恒成立

5,已知集合4={工G川爐＜8》},B={2,3,6},C={2,3,7},則BU(備。)=()

A.[2,3,4,5}B.[2,3,4,5,6}

C.{1,2,3,4,5,6}D.{1,3,4,5,6,7}

6.設(shè)函數(shù)/(x),g(無(wú))的定義域都為R,且/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.〃x>g(x)是偶函數(shù)B.|/(x)|g(x)是奇函數(shù)

c./(x)?|g(x)|是奇函數(shù)D.是奇函數(shù)

7.已知復(fù)數(shù)二滿足|z|=l,則|z+2-i|的最大值為()

A.2+3B.1+V5C.2+A/5D.6

8.圓心為(2,1)且和K軸相切的圓的方程是()

A.(x-2)2+(y-l)2=1B.(x+2)~+(_y+l)'=1

C.(X-2)2+(J-1)2=5D.(x+2)2+(y+l)2=5

9.已知AA5C中，忸4=2,84-8。=一2.點(diǎn)P為5c邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PC-(PA+PB+尸C)的最小值為()

325

A.2B.-----C.—2D.------

412

10.如圖，在AA3C中，點(diǎn)。為線段AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段8Q上靠近點(diǎn)3的三等分點(diǎn)，則

PA+PC=()

|25727

A.-BA+-BCB.-BA+-BCC.-BA+—BCD.-BA+-BC

33999999

11.已知函數(shù)=g(x)=ln1+l,若/(w)=g(〃)成立，則〃一加的最小值為()

5+In6

A.()B.4C.3e--D.

22

12.點(diǎn)0在AA3C所在的平面內(nèi)，|。4卜|°a=|岳|,|而|=2,AO=AAB+MC^,jueR),且

42一4=2(4彳0),則慳卜()

V7

D.V7

V

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

99

13.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛〃〃｝中，=??？，則。］3=.

14.函數(shù)，(幻=虹口的極大值為.

X

15.已知數(shù)列｛4｝滿足：％=1,a“M=：a；+〃?(〃eN*),若對(duì)任意的正整數(shù)〃均有4<4,則實(shí)數(shù)”的最大值是

8

16.已知。>6>0,橢圓G的方程為:+與=1,雙曲線C方程為5-4=1,G與C,的離心率之積為也,

a~b~a~b~2

則G的漸近線方程為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)等比數(shù)列伍“｝的前”項(xiàng)和為S“，若/川=2S,+15GN*)

(I)求數(shù)列伍“｝的通項(xiàng)公式；

(n)在%和an+y之間插入"個(gè)實(shí)數(shù)，使得這〃+2個(gè)數(shù)依次組成公差為4的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛；｝的前?項(xiàng)和為T?,

求證：7；,<2.

18.(12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面A8CD是邊長(zhǎng)為2的菱形，ND4B=60°,ZADP=90°,平面，

平面ABCD,點(diǎn)尸為棱PD的中點(diǎn).

(I)在棱A8上是否存在一點(diǎn)E,使得平面PCE,并說(shuō)明理由；

(II)當(dāng)二面角。一尸。一3的余弦值為注時(shí)，求直線必與平面ABC。所成的角.

4

19.(12分)已知數(shù)列｛0“｝滿足q=2,a,m=2a“+2”(〃eN*),其前〃項(xiàng)和為S”.

(1)通過(guò)計(jì)算*,1=-,玄，猜想并證明數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足仇=1,“用=二"(〃€"),=若數(shù)列｛c,J是單調(diào)遞減數(shù)列，

求常數(shù)f的取值范圍.

2

20.(12分)已知橢圓C：—+/=1,不與坐標(biāo)軸垂直的直線/與橢圓C交于M，N兩點(diǎn).

4

(I)若線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為11,；)求直線/的方程；

(II)若直線/過(guò)點(diǎn)(4,0),點(diǎn)P(Xo,O)滿足⑥M+即N=0怎N分別為直線PM,PN的斜率)，求X。的值.

21.(12分)“綠水青山就是金山銀山”，為推廣生態(tài)環(huán)境保護(hù)意識(shí)，高二一班組織了環(huán)境保護(hù)興趣小組，分為兩組，

討論學(xué)習(xí).甲組一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙組一共有5人，其中男生2人，女生3人，現(xiàn)要從這9人的

兩個(gè)興趣小組中抽出4人參加學(xué)校的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽.

(1)設(shè)事件A為“選出的這4個(gè)人中要求兩個(gè)男生兩個(gè)女生，而且這兩個(gè)男生必須來(lái)自不同的組”，求事件A發(fā)生的

概率；

(2)用X表示抽取的4人中乙組女生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和期望

22.(10分)(江蘇省徐州市高三第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題)在平面直角坐標(biāo)系.Mb中，已知平行于x軸的動(dòng)直線/交

拋物線C：y2=4尤于點(diǎn)p,點(diǎn)尸為C的焦點(diǎn).圓心不在)，軸上的圓”與直線/,pF,x軸都相切，設(shè)”的軌

跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)若直線4與曲線E相切于點(diǎn)Q(SJ)，過(guò)。且垂直于4的直線為4,直線4，4分別與》軸相交于點(diǎn)A，B.當(dāng)

線段A8的長(zhǎng)度最小時(shí)，求s的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求得z的坐標(biāo)得出答案.

【詳解】

1-z（l-i）（2+z）31.

解：Z=-----=---------------=-------1,

2-i（2-i）（2+i）55

z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

基本事件總數(shù)為6個(gè)，都恰有兩個(gè)陽(yáng)爻包含的基本事件個(gè)數(shù)為3個(gè)，由此求出概率.

【詳解】

解：由圖可知，含有兩個(gè)及以上陽(yáng)爻的卦有巽、離、兌、乾四卦，

取出兩卦的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（巽，乾），（離，兌），（離，乾），（兌，乾）共6個(gè)，其中符合條件的

基本事件有（巽，離），（巽，兌），（離，兌）共3個(gè)，

31

所以，所求的概率P=-=—.

62

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題滲透?jìng)鹘y(tǒng)文化，考查概率、計(jì)數(shù)原理等基本知識(shí)，考查抽象概括能力和應(yīng)用意識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

【解析】

分析：利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共施復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)二，然后求解復(fù)數(shù)的模.

詳解:"1幣-i+"高曷+公

=—i+2i=i,

則z=l,故選c.

點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算.要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共

輾復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式

相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造成不必要的失分.

4.D

【解析】

取。=匕=1,可排除AB；由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列｛4｝的單調(diào)情況，進(jìn)而得到要使明＜用，只需2＜匕業(yè)也立,由此

2a

可得到答案.

【詳解】

取。=/?=1,&+1=a；+l,數(shù)列｛叫恒單調(diào)遞增，且不存在最大值，故排除AB選項(xiàng);

因?yàn)楫?dāng)0＜4＜%時(shí)，數(shù)列｛為｝單調(diào)遞增，則an＜x,；

當(dāng)王＜q＜々時(shí)，數(shù)列｛4,｝單調(diào)遞減，則玉

所以要使4＜M,只需要（）＜4＜々，故2＜5二4"J化簡(jiǎn)得人＜2—4。且b＞0.

2a

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查遞推數(shù)列的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理能力，屬于難題.

5.C

【解析】

根據(jù)集合的并集、補(bǔ)集的概念，可得結(jié)果.

【詳解】

集合A=｛xe8x｝=｛xeN|0VxV8｝,

所以集合4=｛1,2,3,4,5,6,7）

B=[2,3,6},C={2,3,7},

故"C={1,4,5,6),

所以8u(aC)={l,2,3,4,5,6}.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查的是集合并集，補(bǔ)集的概念，屬基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，

f(-x)=-/(X),g(一幻=g(x),

/(-x)?g(-x)=-/(x).g(x),故函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤，

|/(-x)|.g(-x)H/(x)必(x)為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤，

/(-x),|g(-x)|=-/(x)dg(x)|是奇函數(shù)，故C正確.

|/(-x).g(-x)Hf(x),g(x)I為偶函數(shù)，故。錯(cuò)誤，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵.

7.B

【解析】

22

設(shè)2=”+歷,41右7?,|z+2-z|=A/(a+2)+0-l),利用復(fù)數(shù)幾何意義計(jì)算.

【詳解】

設(shè)2=”+加,。力€火，由已知，a2+b2=\,所以點(diǎn)(a,切在單位圓上，

而|z+2-i|=|(a+2)+(Z?-l)i|=^/(a+2)2+0-1)2，^(a+2)2+0-1)2表示點(diǎn)3b)

到(—2,1)的距離，故(+2-怔J(-2)2+『+1=1+石.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查求復(fù)數(shù)模的最大值，其實(shí)本題可以利用不等式|Z+2-i區(qū)zI+12-i|來(lái)解決.

8.A

【解析】

求出所求圓的半徑，可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】

圓心為(2,1)且和x軸相切的圓的半徑為1,因此，所求圓的方程為(X-2)2+()-1)2=1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的方程的求解，一般求出圓的圓心和半徑，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.D

【解析】

以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，可得3(-1,0),。(1,0),設(shè)P(a,O),A(x,y),運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示,

求得點(diǎn)A的軌跡，進(jìn)而得到關(guān)于a的二次函數(shù)，可得最小值.

【詳解】

以8c的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的直角坐標(biāo)系，

可得O),C(1,0),設(shè)P(a,0),A(x,y),

由BABC=-2，

可得(x+l,y>(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,y^O,

貝!|PO(PA+P8+PC)=(l—a,0>(x—a—l—a+l—a,y+0+0)

=(1_a)(x_3a)=(1—a)(—2—3a)—3tz~—a—2

"iY25

I6j12

當(dāng)a=J■時(shí)，PC?(尸A+PB+PC)的最小值為—空.

故選D.

y

BqPC

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

10.B

【解析】

PA+PC=BA-BP+BC-BP=BA+BC-BQ,將8。=%+4。=64+；4。，40=80_&4代入化簡(jiǎn)即

可.

【詳解】

----2■

PA+PC=BA-BP+BC-BP=BA+BC--BQ

_7-..

=BA+BC-§(34+AQ)

=-BA+BC--x-AC

333

1257

=—BA+BC——(BC-BA)^-BA+-BC.

3999

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道中檔題.

11.A

【解析】

令./■(，〃)=g(〃)=/，進(jìn)而求得〃-加=2e"-21n-2,再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題即可求解.

【詳解】

n

/W)=g(〃)=r二#'"-I=In1+1=r(f>0),一加=2*1-21nt-2,

令：〃(r)=〃'T-21nr—2,h'(t)=2e'-',〃'(r)在(0,+”)上增，

且〃'⑴=0,所以/z⑺在(0,1)上減，在(1,+8)上增，

所以〃(。,而=〃(1)=2—2=0,所以〃-〃7的最小值為().故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，恰當(dāng)?shù)挠靡粋€(gè)未知數(shù)來(lái)表示〃和，〃是本題的

關(guān)鍵，屬于中檔題.

12.D

【解析】

54

確定點(diǎn)。為AABC外心，代入化簡(jiǎn)得到4=工，〃=彳，再根據(jù)8C=AC—A8計(jì)算得到答案.

63

【詳解】

由|。4卜|。目=口4可知，點(diǎn)0為AABC外心，

12121

則==2,ACAO=-AC=-,又AO=2A8+〃AC,

AO-A3=AAB2+/JACAB=42+〃AC-AB=2,

所以彳21①

AOAC-AABAC+^AC^AABAC+^i^-,

因?yàn)?/1一〃=2,②

54

聯(lián)立方程①②可得幾=:，〃=二，ABAC=-\＞因?yàn)?C=AC-A8，

63

所以8C?=AC?+A3?—2AC.A8=7，即陽(yáng)=近?

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量模長(zhǎng)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

3

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式將已知兩式作商，可得4=2,再利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得生=方，再利用等比數(shù)列的通

項(xiàng)公式即可求解.

【詳解】

由=吩，。7，。9=尸，

所以g必=q5p5=1_L],解得g=

。2f42

92印、,3

a2*a4-^4=a3>所以。3=合，

所以43=%/°=白出=奈.

3

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

,1

14.f

【解析】

先求函的定義域，再對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再解不等式得單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得極值點(diǎn),即可求出函數(shù)/(X)的極大值.

【詳解】

函數(shù)/(x)=lnx-1，xe(0,+oo),

X

,l-</nx-l)2-lnx

「?/(x)=2=2，

XX

令r(%)=。得，了=/,

???當(dāng)X￡(0,/)時(shí)，/(X)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增；當(dāng)X￡(/,+8)時(shí)，f\x)<：0,函數(shù).f(x)單調(diào)遞減，

二當(dāng)x=e?時(shí)，函數(shù)"X)取到極大值，極大值為/(/)=*」==.

e~e

故答案為：—7.

6一

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意定義域

優(yōu)先法則的應(yīng)用.

15.2

【解析】

根據(jù)遞推公式可考慮分析-%，再累加求出關(guān)于凡關(guān)于參數(shù)〃4〃的關(guān)系，根據(jù)表達(dá)式的取值分析出“W2,再用數(shù)

學(xué)歸納法證明m=2滿足條件即可.

【詳解】

|12

因?yàn)?+1=-a--an+m^-(an-4)-+m-2>m-2,

oo

?一!

累加可得?！?q+Z(%+|-a)Nl+W-2)(〃一1).

k=]

若根>2,注意到當(dāng)〃f+x>時(shí),(加―2)(〃—1)—,不滿足對(duì)任意的正整數(shù)〃均有％,<4.

所以m<2.

當(dāng)"2=2時(shí),證明：對(duì)任意的正整數(shù)"都有。<4<4.

當(dāng)〃=1時(shí)，?,=1<4成立.

假設(shè)當(dāng)〃=仁(攵21)時(shí)結(jié)論成立，即。<4,

貝！|0<%+[=2+，。；<2+-x42=4,即結(jié)論對(duì)力=2+1也成立.

88

由數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)任意的正整數(shù)"都有0<%<4.

綜上可知,所求實(shí)數(shù)，〃的最大值是2.

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解參數(shù)最值的問(wèn)題,需要根據(jù)遞推公式累加求解，同時(shí)注意結(jié)合參數(shù)的范圍問(wèn)題

進(jìn)行分析.屬于難題.

16.x±=0

【解析】

求出橢圓與雙曲線的離心率，根據(jù)離心率之積的關(guān)系，然后推出。力關(guān)系，即可求解雙曲線的漸近線方程.

【詳解】

22

a>b>0,橢圓G的方程為之+==1，

G的離心率為：一”,

a

22

雙曲線G方程為二一==1，

。2的離心率：如辿,

&與C,的離心率之積為業(yè),

2

aa2

hj_12_立

-2，a-V

C的漸近線方程為：/=±也'，即8±及曠=0.

2

故答案為：尤±0y=O

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，掌握橢圓、雙曲線的離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(I)a“=3"T；(II)詳見(jiàn)解析.

【解析】

(I)%+|=2S“+l,4=2S,T+1(*2),兩式相減化簡(jiǎn)整理利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.

/<,1〃+1拉+1

(II)由題設(shè)可得知+]=%+(〃+1)4,,可得7=------=7^77,利用錯(cuò)位相減法即可得出.

【詳解】

解：(I)因?yàn)椋=2S〃+1,故a.=2S,i+l(〃N2),兩式相減可得，

a

4+1-n=2(S“一S"T)=2a.(n>2),故an+l=3an(n>2),

因?yàn)棰龋堑缺葦?shù)列，.??。2=34,又％=24+1,所以3al=2q+l,

故4=1,所以4=3"、

1〃+1n+l

<n)由題設(shè)可得=%+(〃+1)4,所以丁=-------=丁石-

<%一42-3

所以y+2+合++*，①

nJ.13n〃+1

貝！J_=1--------~+H-----------H------,---②

3〃32-322?3'i2?3"

2111n+1

①一②得：-I[=1T----------1----------1--------T2^3"

3〃2-32-322?3〃T

一口而"？^)〃+]

2-3"

1--1

3

,e152〃+515小加一

所以(，=&—記訶<&<2,得證?

OO?JO

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式、錯(cuò)位相減法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

18.(1)見(jiàn)解析(2)60°

【解析】

(I)取PC的中點(diǎn)。，連結(jié)EQ、FQ,得到故AE/AFQ且AE=FQ,進(jìn)而得到AF7/EQ,利用線面平行的判

定定理，即可證得Ab//平面PEC.

(H)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ED=a,求得平面EBC的法向量為〃?，和平面。尸C的法向量

〃，利用向量的夾角公式，求得a=6,進(jìn)而得到NP8D為直線PB與平面ABC。所成的角，即可求解.

【詳解】

(I)在棱上存在點(diǎn)E，使得A///平面PCE,點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn).

理由如下：取PC的中點(diǎn)。，連結(jié)EQ、FQ,由題意，F(xiàn)QHDCaFQ=；CD,

AE//CD且AE=、CD,故AE//EQ且AE=FQ.所以，四邊形AEQE為平行四邊形.

2

所以，AF//EQ,又EQ，平面PEC,/尸，平面PEC,所以，Ab//平面PEC.

(D)由題意知為正三角形，所以田_LAB,亦即EDLCD,

又NAT>P=90°,所以且平面ADPL平面ABCD,平面ADPc平面ABCD=A￡>,

所以平面ABCD,故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)FD=a,則由題意知。(0,0,0),E(0,0,a),C(0,2,0),B(V3,l,0),

FC=(O,2,-?),CB=(6,-1,O),

設(shè)平面FBC的法向量為加=(x,y,z),

m?FC=0,2y-az=0-九C

則由，得《

r,令x=l,則y=z=—

mCB=073x-y=0a

所以取，〃=1,瓜,顯然可取平面DEC的法向量〃=(1,0,0),

由題意:所以a=也.

由于PD,平面ABC。，所以依在平面ABC。內(nèi)的射影為80,

所以NPBD為直線PB與平面ABC。所成的角，

易知在RfAPBO中，tanZPBD=—=a=y/3,從而NP3￡>=60°,

BD

所以直線A5與平面ABCD所成的角為60°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和直線與平面所成角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理

能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)

成，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力.

19.(1)a“=(〃+l>2"T,證明見(jiàn)解析；(2)|1,+oo

IJ/

【解析】

(1)首先利用賦值法求出生爭(zhēng)墨的值，進(jìn)一步利用定義求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵首先利用疊乘法求出數(shù)列的通

項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用數(shù)列的單調(diào)性和基本不等式的應(yīng)用求出參數(shù)/的范圍.

【詳解】

(1)數(shù)列伍“｝滿足q=2,an+l=2%+2"(〃eN*),其前〃項(xiàng)和為S,,.

所以外=2q+2=6,%=2a2+2,=16,

A-

畤=2,畀，

所以猜想得：4=(〃+1)?2"，

證明：由于。用=2勺+2",

所以4號(hào)=2+工，

2"+,2"2

貝的爵-(常數(shù))，

所以數(shù)列｛妥｝是首項(xiàng)為1，公差為;的等差數(shù)列.

所以祟=[+；(〃_l)=g+^,整理得%=(〃+l)?2"T.

>7

(2)數(shù)列｛〃｝滿足4=1,6向=—b“(neN*),

n+2

所以行n

〃+2

h_n-\n-221

貝u—-——2—----?----...—?一

人J%履2b[n+1n43

22

所以口

〃(〃+1)z?(n+l)

7747

所以％…=2向大-。-2“宣-，)=2“大-2”而+力

G422n2

4712_t>--------------=-------------=-------

所以-------1---------<0,整理得〃+2n+1iv+3n+22

〃〃〃+二

+2+1n

2211

由于〃+*+3..6,所以3「3,即，>—.

n"+一+33

n

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，疊乘法的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性在數(shù)列中的應(yīng)用，基本不等式的

應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題型.

20.(I)x+2y—2=0(H)%=1

【解析】

(I)根據(jù)點(diǎn)差法，即可求得直線的斜率，則方程即可求得;

（n）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，根據(jù)即M+%V=O,即可求得參數(shù)的值.

【詳解】

r2

”%2=11,

⑴設(shè)N（x,y）,則<

222

兩式相減，可得（尤/尤2）國(guó)+々）

+（弘一必）（乂+）'2）=。?（*）

4

因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為I1,J

,所以玉+Z=2,%+%=1?

代入（*）式，得（「二

”2>2+（y_%）=o.

4

.y一必1

所以直線/的斜率左=

所以直線/的方程為y_g=_g（x—l）,即x+2y-2=0.

x=my+4,

（II）設(shè)直線/：x=my+40）,聯(lián)立

—+y=1.

14?

整理得（加2+4）y2+8沖+12=0.

所以八=64m2-4X12X（/??+4）>0,解得/川>12.

g、i8機(jī)12

所以X”中.

所以%+%=/一+一二曄R盧3

X.—尢、尤—-無(wú)八IY—YIIY.—XI

々X+3%—（弘+）‘2）工0_（沖2+4）X+（團(tuán)%+4^2—（y+%）玉）

（x1-x0）（x2-x0）（內(nèi)一天）（工2—玉））

2陽(yáng)跖+（4—%）（乂+必）=0

（王一工0）（馬一七）

所以2mxy2+（4-彳0）（凹+%）=8

所以2沖跖+（4_/）（乂+必）==”坐空=0.

m+4/篦+4m+4

因?yàn)?“RO,所以X。=1.

【點(diǎn)睛】

本題考查中點(diǎn)弦問(wèn)題的點(diǎn)差法求解，以及利用代數(shù)與幾何關(guān)系求直線方程，涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬中檔題.

24

21.(I)-；(II)分布列見(jiàn)解析，一.

73

【解析】

.C2362

(I)直接利用古典概型概率公式求尸(4)=3：*==.(H)先由題得X可能取值為0,1,2,3,再求X

C91267

的分布列和期望.

【詳解】

C\-C\-Cl362

(I)p(>

126