人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 24.50 《圓》壓軸-正多邊形與圓及有關(guān)圓的計(jì)算（專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)）

專(zhuān)題24.50《圓》挑戰(zhàn)綜合（壓軸）題分類(lèi)專(zhuān)題——正多邊形與圓及有關(guān)圓的計(jì)算（專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)）【考點(diǎn)①】圓內(nèi)接四邊形??求角（面積）??證明1．（2020·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，的外角的平分線(xiàn)與它的外接圓相交于點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)求證：（1）；（2）為⊙O的切線(xiàn)．2．（2020·四川雅安·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，，對(duì)角線(xiàn)平分．（1）求證：是等邊三角形；（2）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，若，求的面積．【考點(diǎn)②】】正多邊形和圓??作圖??證明3．（2022·山東省青島實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)一模）請(qǐng)用圓規(guī)和直尺作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡．已知：⊙O，點(diǎn)A在圓上．求作：以A為一頂點(diǎn)作圓內(nèi)接正方形ABCD．4．（2021·北京房山·二模）已知：射線(xiàn)求作：，使得點(diǎn)在射線(xiàn)上，，．作法：如圖，①在射線(xiàn)上取一點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，與射線(xiàn)相交于點(diǎn)；②以為圓心，為半徑作弧，在射線(xiàn)上方交⊙于點(diǎn)；③連接，．則即為所求的三角形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接．∵為⊙的直徑，∴__________．∵，∴等邊三角形．∴．∵點(diǎn)，都在⊙上，∴．（）（填推理的依據(jù)）∴．即為所求的三角形．【考點(diǎn)③】正多邊形和圓??圓周角??中心角??邊數(shù)5．（2021·貴州·一模）如圖，正方形內(nèi)接于，為上的一點(diǎn)，連接，．（1）求的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，是的內(nèi)接正邊形的一邊，求的值．6．（2022·浙江金華·中考真題）如圖1，正五邊形內(nèi)接于⊙，閱讀以下作圖過(guò)程，并回答下列問(wèn)題，作法：如圖2，①作直徑；②以F為圓心，為半徑作圓弧，與⊙交于點(diǎn)M，N；③連接．(1)求的度數(shù)．(2)是正三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)從點(diǎn)A開(kāi)始，以長(zhǎng)為半徑，在⊙上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值．【考點(diǎn)④】正多邊形和圓??動(dòng)點(diǎn)??旋轉(zhuǎn)??中心角??邊數(shù)7．（2022·河北·寬城滿(mǎn)族自治縣教研室模擬預(yù)測(cè)）已知⊙O的半徑和正方形ABCD的邊長(zhǎng)均為1，把正方形ABCD放在⊙O中，使頂點(diǎn)A，D落在⊙O上，此時(shí)點(diǎn)A的位置記為，如圖1，按下列步驟操作：如圖2，將正方形ABCD在⊙O中繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落到⊙O上，完成第一次旋轉(zhuǎn)；再繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落到⊙O上，完成第二次旋轉(zhuǎn)；……（1）正方形ABCD每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為_(kāi)_____°；（2）將正方形ABCD連續(xù)旋轉(zhuǎn)6次，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)B與之間的距離的最小值為_(kāi)_____．（2019·江蘇·南京市第二十九中學(xué)二模）如圖1、圖2、圖3、…、圖n分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，正四邊形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCD…，點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B、C開(kāi)始以相同的速度在⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)．求圖1中∠APN的度數(shù)；圖2中，∠APN的度數(shù)是_______，圖3中∠APN的度數(shù)是________．試探索∠APN的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的關(guān)系（直接寫(xiě)答案）【考點(diǎn)①】弧長(zhǎng)和扇形面積??弧長(zhǎng)9．（2022·福建·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，交⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，CF．(1)求證：AC＝AF；(2)若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．10．（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點(diǎn)A，交邊BC于點(diǎn)C，D，∠B=90°，連接OD，AD．(1)若∠ACB=20°，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留）．(2)求證：AD平分∠BDO．【考點(diǎn)②】弧長(zhǎng)和扇形面積??面積11．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，∠=45°，，以為直徑的⊙與邊交于點(diǎn)．(1)判斷直線(xiàn)與⊙的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．12．（2022·湖北荊門(mén)·中考真題）如圖，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半徑R＝3．(1)求扇形AOB的面積S及圖中陰影部分的面積S陰；(2)在扇形AOB的內(nèi)部，⊙O1與OA，OB都相切，且與弧只有一個(gè)交點(diǎn)C，此時(shí)我們稱(chēng)⊙O1為扇形AOB的內(nèi)切圓，試求⊙O1的面積S1．【考點(diǎn)③】弧長(zhǎng)和扇形面積??路徑13．（2019·江西·一模）如圖，E、F分別為△ABC中AC、AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A、B、C除外)，連接EB，F(xiàn)C交于點(diǎn)P，BC=6．我們約定：線(xiàn)段BC所對(duì)的∠CPB，稱(chēng)為線(xiàn)段BC的張角．(1)已知△ABC是等邊三角形，AE=BF．①求線(xiàn)段BC的張角∠CPB的度數(shù)；②求點(diǎn)P到BC的最大距離；③若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)的長(zhǎng)度稱(chēng)為點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)，求點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)．(2)在(1)中，已知△A'BC是⊙P的外切三角形，若點(diǎn)A'的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)的長(zhǎng)度稱(chēng)為點(diǎn)A'的路徑長(zhǎng)，試探究點(diǎn)A'的路徑長(zhǎng)與點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)之間有何關(guān)系？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．14．（2021·湖南株洲·中考真題）將一物體（視為邊長(zhǎng)為米的正方形）從地面上挪到貨車(chē)車(chē)廂內(nèi)．如圖所示，剛開(kāi)始點(diǎn)與斜面上的點(diǎn)重合，先將該物體繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至正方形的位置，再將其沿方向平移至正方形的位置（此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合），最后將物體移到車(chē)廂平臺(tái)面上．已知，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，米，米．（1）求線(xiàn)段的長(zhǎng)度；（2）求在此過(guò)程中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程．【考點(diǎn)①】圓錐側(cè)面積??圓錐側(cè)面積15．（2022·山東濰坊·中考真題）在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，小瑩將含角的直角三角尺分別以?xún)蓚€(gè)直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到甲、乙兩個(gè)圓錐，并用作圖軟件Geogebra畫(huà)出如下示意圖小亮觀察后說(shuō)：“甲、乙圓錐的側(cè)面都是由三角尺的斜邊旋轉(zhuǎn)得到，所以它們的側(cè)面積相等．”你認(rèn)同小亮的說(shuō)法嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．16．（2019·湖南常德·一模）如圖，AB是圓錐底面圓的直徑，SO是高，OA＝3cm，SO＝4cm，求圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積．【考點(diǎn)②】圓錐側(cè)面積??圓錐的高??最短路徑17．（2019·湖南邵陽(yáng)·中考真題）如圖，在等腰中，，AD是的角平分線(xiàn)，且，以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧EF，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，（1）求由弧EF及線(xiàn)段FC、CB、BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積；（2）將陰影部分剪掉，余下扇形AEF，將扇形AEF圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，AE與AF正好重合，圓錐側(cè)面無(wú)重疊，求這個(gè)圓錐的高h(yuǎn)．18．（2020·廣東·一模）已知圓錐的底面半徑為r＝20cm，高h(yuǎn)=cm,現(xiàn)在有一只螞蟻從底邊上一點(diǎn)A出發(fā)．在側(cè)面上爬行一周又回到A點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短距離．19．（2018·四川達(dá)州·中考真題）閱讀下列材料：已知：如圖1，等邊△A1A2A3內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，連接PA1，PA2，PA3，可證：PA1+PA2=PA3，從而得到：是定值．（1）以下是小紅的一種證明方法，請(qǐng)?jiān)诜娇騼?nèi)將證明過(guò)程補(bǔ)充完整；證明：如圖1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M．∵△A1A2A3是等邊三角形，∴∠A3A1A2=60°，∴∠A3A1P=∠A2A1M又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，∴△A1A3P≌△A1A2M∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．∴，是定值．（2）延伸：如圖2，把（1）中條件“等邊△A1A2A3”改為“正方形A1A2A3A4”，其余條件不變，請(qǐng)問(wèn)：還是定值嗎？為什么？（3）拓展：如圖3，把（1）中條件“等邊△A1A2A3”改為“正五邊形A1A2A3A4A5”，其余條件不變，則=（只寫(xiě)出結(jié)果）．20．（2021·江蘇連云港·中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．（1）是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊上的一點(diǎn)，且，小亮以為邊作等邊三角形，如圖1，求的長(zhǎng)；（2）是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以為邊作等邊三角形，如圖2，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；（3）是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，M是高上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以為邊作等邊三角形，如圖3，在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；（4）正方形的邊長(zhǎng)為3，E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小亮以B為頂點(diǎn)作正方形，其中點(diǎn)F、G都在直線(xiàn)上，如圖4，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F、G、H與點(diǎn)B重合．則點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____，點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____．參考答案1．（1）證明見(jiàn)分析；（2）證明見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠EAM＝∠EBC．，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠BAE＝∠EAM，得到∠BCE＝∠EBC，于是得到BE＝CE；（2）如圖，連接EO并延長(zhǎng)交BC于H，連接OB，OC，推出直線(xiàn)EO垂直平分BC，得到EH⊥BC，求得EH⊥EF，根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可得到結(jié)論．解：證明：（1）∵四邊形ACBE是圓內(nèi)接四邊形，∴∠EAM＝∠EBC，∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM，∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM，∴∠BCE＝∠EBC，∴BE＝CE；（2）如圖，連接EO并延長(zhǎng)交BC于H，連接OB，OC，∵OB＝OC，EB＝EC，∴直線(xiàn)EO垂直平分BC，∴EO⊥BC，∵EF//BC，∴EO⊥EF，∵OE是⊙O的半徑，∴EF為⊙O的切線(xiàn)．【點(diǎn)撥】本題考查了切線(xiàn)的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．2．（1）見(jiàn)分析；（2）；【分析】（1）根據(jù)三個(gè)內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形即可判斷；（2）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為點(diǎn)F．根據(jù)S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD，分別求出△ABC，△ACD的面積，即可求得四邊形ABCD的面積，然后通過(guò)證得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面積=四邊形ABCD的面積=.解：（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=60°，∴∠ADC=120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB=60°，∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°，∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，∴△ABC是等邊三角形；（2）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CD，垂足為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AC，垂足為點(diǎn)N．∴∠AMD=90°∵∠ADC=120°，∴∠ADM=60°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD=1，AM=，∵CD=3，∴CM=CD+DE=1+3=4，∴S△ACD=CD-AM=×3×=，在Rt△AMC中，∠AMD=90°，∴AC=，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=，∴BN=，∴S△ABC=××=，∴四邊形ABCD的面積=+=，∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC=180°，∵∠ADC=120°，∴∠E=60°，∴∠E=BDC，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠EAB=∠BCD，在△EAB和△DCB中，，∴△EAB≌△DCB（AAS），∴△BDE的面積=四邊形ABCD的面積=.【點(diǎn)撥】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．3．見(jiàn)分析【分析】作直徑AC，過(guò)點(diǎn)O作BD⊥AC交⊙O于B，D，連接AB，BC，CD，AD即可．解：如圖，四邊形ABCD即為所求作．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．4．（1）見(jiàn)分析；（2）90；一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半【分析】（1）以點(diǎn)C為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧線(xiàn)，交圓于一點(diǎn)即為點(diǎn)D，連接AD，補(bǔ)全圖形即可；（2）證明：連接．由為⊙的直徑，得到90．證明等邊三角形，得到，由此得到即為所求的三角形．解：（1）補(bǔ)全的圖形如圖所示：

（2）證明：連接．∵為⊙的直徑，∴90．∵，∴等邊三角形．∴．∵點(diǎn)，都在⊙上，∴．（一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半）（填推理的依據(jù)）∴．即為所求的三角形．故答案為：90；一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半．．【點(diǎn)撥】此題考查尺規(guī)作圖，等邊三角形的判定及性質(zhì)，圓周角等于同弧所對(duì)圓心角的一半，直徑所對(duì)的圓周角是直角，熟記各定理是解題的關(guān)鍵．5．（1）45°；（2）8【分析】(1)連接，，由正方形內(nèi)接于，可求中心角．．(2)連接，，由正方形內(nèi)接于，可求．由點(diǎn)為的中點(diǎn)，可求,可得，利用周角除以一個(gè)中心角即可求解解：（1）連接，，∵正方形內(nèi)接于，∴．∴；（2）連接，，∵正方形內(nèi)接于，∴．∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴∠COP=∠BOP，∵∠COP+∠BOP=∠COB=90°，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接正n邊形的中心角，掌握?qǐng)A內(nèi)接正方形的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接正n邊形的中心角，利用周角除以正n邊形的中心角求邊數(shù)是解題關(guān)鍵．6．(1)(2)是正三角形，理由見(jiàn)分析(3)【分析】（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)可得，則(優(yōu)弧所對(duì)圓心角)，然后根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)所作圖形以及圓周角定理即可得出結(jié)論；（3）運(yùn)用圓周角定理并結(jié)合（1）（2）中結(jié)論得出，即可得出結(jié)論．（1）解：∵正五邊形．∴，∴，∵，∴(優(yōu)弧所對(duì)圓心角)，∴；（2）解：是正三角形，理由如下：連接，由作圖知：,∵，∴，∴是正三角形，∴，∴，同理，∴，即，∴是正三角形；（3）∵是正三角形，∴．∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理，正多邊形的性質(zhì)，讀懂題意，明確題目中的作圖方式，熟練運(yùn)用圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．7．

【分析】根據(jù)題意可知是等邊三角形，每一次旋轉(zhuǎn)可以轉(zhuǎn)化為等邊三角旋轉(zhuǎn)60度，則正方形各頂點(diǎn)構(gòu)成正六邊形，邊長(zhǎng)為1，進(jìn)而求得每次旋轉(zhuǎn)的角度；在正方形的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，第三次旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)B與之間的距離的最小值為的直徑減去正方形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度解：⊙O的半徑和正方形ABCD的邊長(zhǎng)均為1，是正三角形根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得正方形各頂點(diǎn)構(gòu)成正六邊形，即正方形每一次旋轉(zhuǎn)的角度為30°,如圖，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑如圖中部分，正方形的邊長(zhǎng)為1，正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，的半徑為1最短距離為故答案為：，【點(diǎn)撥】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正三角形的性質(zhì)，找到正方形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．（1）60°；（2）90°，108°；（3）.【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等和三角形內(nèi)角和外角的關(guān)系解答即可．解：（1）圖1：∵點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B、C開(kāi)始以相同的速度在⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，∴∠BAM＝∠CBN，又∵∠APN＝∠BPM，∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°；（2）同理可得：在圖2中，∠APN＝90°；在圖3中，∠APN＝108°．（2）由（1）可知，∠APN＝所在多邊形的內(nèi)角度數(shù)，故在圖n中，．【點(diǎn)撥】此題是一道規(guī)律探索題，體現(xiàn)了探索發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律：通過(guò)計(jì)算得出特殊多邊形中的角∠APN的度數(shù)，然后得出n邊形的∠APN的度數(shù)．9．(1)見(jiàn)分析(2)【分析】（1）先證明四邊形ABED是平行四邊形，得∠B＝∠D，再證明即可得到結(jié)論；（2）連接OA，OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，由圓周角定理可得最后由弧長(zhǎng)公式可求出結(jié)論．解：（1）∵，，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴∠B＝∠D．又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴，∴AC＝AF．（2）連接AO，CO．由（1）得∠AFC＝∠ACF，又∵∠CAF＝30°，∴，∴．∴的長(zhǎng)．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．10．(1)(2)見(jiàn)分析【分析】（1）連接，由，得，由弧長(zhǎng)公式即得的長(zhǎng)為；（2）根據(jù)切于點(diǎn)，，可得，有，而，即可得，從而平分．（1）解：連接OA，∵∠ACB＝20°，∴∠AOD＝40°，∴，．（2）證明：，，切于點(diǎn)，，，，，，平分．【點(diǎn)撥】本題考查與圓有關(guān)的計(jì)算及圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式及圓的切線(xiàn)的性質(zhì)．11．(1)證明見(jiàn)分析(2)【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理證明從而可得結(jié)論；（2）如圖，連接OD，先證明再利用陰影部分的面積等于三角形ABC的面積減去三角形BOD的面積，減去扇形AOD的面積即可．（1）證明：∠=45°，，即在上，為的切線(xiàn)．（2）如圖，連接OD，，，，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，切線(xiàn)的判定，扇形面積的計(jì)算，掌握“切線(xiàn)的判定方法與割補(bǔ)法求解不規(guī)則圖形面積的方法”是解本題的關(guān)鍵．12．(1)扇形面積S＝，陰影部分面積S＝﹣(2)π【分析】（1）根據(jù)扇形的面積公式就可以求出，陰影的面積用扇形的面積減去三角形的面積；（2）設(shè)⊙O1與OA相切于點(diǎn)E，連接O1O，O1E，通過(guò)解三角形就可以求出半徑，再利用圓的面積進(jìn)行計(jì)算．解：（1）∵∠AOB＝60°，半徑R＝3，∴S＝＝，∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△OAB是等邊三角形，∴S△OAB＝，∴陰影部分的面積S陰＝﹣．設(shè)⊙O1與OA相切于點(diǎn)E，連接O1O，O1E，∴∠EOO1＝∠AOB＝30°，∠OEO1＝90°，在Rt△OO1E中，∵∠EOO1＝30°，∴OO1＝2O1E，∵OC=OO1+O1C，O1E=O1C，∴O1E＝1，∴⊙O1的半徑O1E＝1．∴S1＝πr2＝π．【點(diǎn)撥】本題考查了相切兩圓的性質(zhì)．構(gòu)造直角三角形是常用的方法，本題的關(guān)鍵是求得圓的半徑．13．(1)①∠BPC=120°；②點(diǎn)P到BC的最大距離；③；(2)點(diǎn)A'的路徑長(zhǎng)是點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)的2倍．【分析】（1）①利用等邊三角形的性質(zhì)證△AEB與△BCF全等，得到∠EBA=∠BCF，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠CPB的度數(shù)；②由題意可知當(dāng)PO⊥BC于點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離最大，根據(jù)垂徑定理及三角函數(shù)即可求出點(diǎn)P到BC的最大距離；③由題意知點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)為弧BC的長(zhǎng)，在②的基礎(chǔ)上直接利用公式即可求出結(jié)果；（2）中題意可知張角∠CPB的度數(shù)始終為120°，可得∠CBP+∠BCP=60°，因?yàn)閳AP是△A'BC的內(nèi)切圓，由此可推出A'是等邊三角形ABC外接圓上優(yōu)弧BAC上的一動(dòng)點(diǎn)，其半徑為2，圓心角240°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可直接求出其長(zhǎng)度，并計(jì)算出點(diǎn)A'的路徑長(zhǎng)是點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)的2倍．解：(1)①∵△ABC是等邊三角形，∴∠CBA=∠A=60°，AB=BC，∵AE=BF，∴△AEB≌△BCF(SAS)，∴∠EBA=∠BCF，∵∠EBA+∠CBE=60°，∠EBC+∠BCF+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-60°=120°；②如圖1所示，由于∠BPC始終為120°，故過(guò)點(diǎn)B，P，C作圓O，∴∠BOC=120°，當(dāng)PO⊥BC于點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離最大，∵OB=OC，∴∠BOP=∠BOC=60°，NB=BC=3，∴ON=，OB=2，∴點(diǎn)P到BC的最大距離PN=2-=；③點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)為弧BC的長(zhǎng)，∴弧BC===；(2)由(1)中題意可知張角∠CPB的度數(shù)始終為120°，可得∠CBP+∠BCP=60°，又∵圓P是△A'BC的內(nèi)切圓，∴∠CBA'+∠BCA'=120°，∴∠CA'B=60°，∴A'是等邊三角形ABC外接圓上優(yōu)弧BAC上的一動(dòng)點(diǎn)，由題意可得等邊三角形ABC外接圓的半徑為2，∴點(diǎn)A'的路徑是優(yōu)弧BAC的長(zhǎng)度，即以240°的圓心角，半徑為2的弧長(zhǎng)，如圖，所以點(diǎn)A'的路徑長(zhǎng)===，∵：=2：1，∴點(diǎn)A'的路徑長(zhǎng)是點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)的2倍．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的的判定與性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，弧長(zhǎng)公式等，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意畫(huà)出圖形．14．（1）米；（2）4米．【分析】（1）利用直角三角形FGH即可求解；（2）連接A1A2，則必過(guò)點(diǎn)D1，分別求出A1A2和的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路程．解：（1）∵M(jìn)G∥PQ，∴∠FGM=∠FBP=30°．∴在中，（米）．（2）連接A1A2，則必過(guò)點(diǎn)D1，且四邊形A1BGA2是矩形．∴A1A2=BG=BF-GF=（米）．∵四邊形ABCD和四邊形A1BC1D1都是正方形，∴AB=A1B，∠A1BC1=∠ABC=90°．∴∠ABA1=180°-∠A1BC1-∠FBP=180°-90°-30°=60°．∴（米）．∴在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至A2的路程為：（米）．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、矩形和正方形的性質(zhì)、平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟知旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．不認(rèn)同，理由見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面面積公式進(jìn)行比較即可得到答案．解：甲圓錐的底面半徑為BC，母線(xiàn)為AB，，乙圓錐的底面半徑為AC，母線(xiàn)為AB，，∵，∴，故不認(rèn)同小亮的說(shuō)法．【點(diǎn)撥】本題考查圓錐的側(cè)面面積，解題的關(guān)鍵是熟知圓錐側(cè)面面積的計(jì)算公式．16．圓錐展開(kāi)圖的面積是15πcm2．【分析】首先根據(jù)勾股定理求得母線(xiàn)長(zhǎng)，利用圓的周長(zhǎng)公式求得底面周長(zhǎng)，即扇形的弧長(zhǎng)，然后利用扇形的面積公式即可求解．解：在直角△OAS中，AS＝＝5cm，底面周長(zhǎng)是：2π×3＝6πcm，則圓錐展開(kāi)圖的面積是：×6π×5＝15πcm2．【點(diǎn)撥】正確理解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖與原來(lái)的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．17．（1）；（2）.【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得到，，則可計(jì)算出，然后利用扇形的面積公式，利用由弧EF及線(xiàn)段FC、CB、BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積進(jìn)行計(jì)算；（2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到，解得，然后利用勾股定理計(jì)算這個(gè)圓錐的高h(yuǎn)．解：∵在等腰中，，∴，∵AD是的角平分線(xiàn)，∴，，∴，∴，∴由弧EF及線(xiàn)段FC、CB、BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積.（2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得，解得，這個(gè)圓錐的高．【點(diǎn)撥】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和扇形的面積公式．18．【分析】螞蟻爬行的最短距離是圓錐的展開(kāi)圖的扇形中AA′的長(zhǎng)度．根據(jù)勾股定理求得母線(xiàn)長(zhǎng)后，利用弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)求得扇形的圓心角的度數(shù)為90度，再由等腰直角三角形的性質(zhì)求解．解：設(shè)扇形的圓心角為n，圓錐的在Rt△AOS中，∵r=20cm，h=cm，∴由勾股定理可得母線(xiàn)l==80cm，而圓錐側(cè)面展開(kāi)后的扇形的弧長(zhǎng)為2×20π=.∴n=90°即△SAA′是等腰直角三角形，∴由勾股定理得：AA'==80cm．∴螞蟻爬行的最短距離為80cm．【點(diǎn)撥】本題利用了勾股定理，弧長(zhǎng)公式，圓的周長(zhǎng)公式，等腰直角三角形的性質(zhì)求解．19．（1）證明見(jiàn)分析；（2）是定值，理由見(jiàn)分析；（3）分析：（2）結(jié)論：是定值．在A4P上截取AH=A2P，連接HA1．證明PA4=A4+PH=PA2+PA1，同法可證：PA3=PA1+PA2，推出（+1）（PA1+PA2）=PA3+PA4，可得PA1+PA2=（-1）（PA3+PA4），即可解決問(wèn)題；（3）結(jié)論：則．如圖3-1中，延長(zhǎng)PA1到H，使得A1H=PA2，連接A4H，A4A2，A4A1．由△HA4A1≌△PA4A2，可得△A4HP是頂角為36°的等腰三角形，推出PH=PA4，即PA1+PA2=PA4，如圖3-2中，延長(zhǎng)PA5到H，使得A5H=PA3．同法可證：△A4HP是頂角為108°的等腰三角形，推出PH=PA4，即PA5+PA3=PA4，即可解決問(wèn)題；解：（1）如圖1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M．∵△A1A2A3是等邊三角形，∴∠A3A1A2=60°，∴∠A3A1P=∠A2A1M又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，∴△A1A3P≌△A1A2M∴PA3=MA2，∵PM=PA1，∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．∴，是定值．（2）結(jié)論：是定值．理由：在A4P上截取AH=A2P，連接HA1．∵四邊形A1A2A3A4是正方形，∴A4A1=A2A1，∵∠A1A4H=∠A1A2P，A4H=A2P，∴△A1A4H=△A1A2P，∴A1H=