高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修二）：專題10.3 事件的相互獨立性（重難點題型精講）（學(xué)生版）

專題10.3事件的相互獨立性（重難點題型精講）1．事件的相互獨立性(1)定義

對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.(2)性質(zhì)

若事件A與B相互獨立，則與B，A與，與也相互獨立.

(3)應(yīng)用

因為“A與B相互獨立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要條件，所以如果已知兩個事件是相互獨立的，則由它們各自發(fā)生的概率可以迅速得到它們同時發(fā)生的概率.在實際問題中，我們常常依據(jù)實際背景去判斷事件之間是否存在相互影響，若認(rèn)為事件之間沒有影響，則認(rèn)為它們相互獨立.

(4)推廣

兩個事件的相互獨立性可以推廣到n(n>2，n∈)個事件的相互獨立性，即若事件，，，相互獨立，則這n個事件同時發(fā)生的概率P()=P()P()P().2．互斥事件與相互獨立事件的辨析(1)互斥事件與相互獨立事件都描述的是兩個事件間的關(guān)系，但互斥事件強(qiáng)調(diào)不可能同時發(fā)生，相互獨立事件則強(qiáng)調(diào)一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響.用表格表示如下：相互獨立事件互斥事件判斷方法一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響.兩個事件不可能同時發(fā)生，即AB=.概率公式若事件A與B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B).若事件A與B互斥，則P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立.(2)已知事件A，B發(fā)生的概率分別為P(A)，P(B)，我們有如下結(jié)論：事件表示概率（A，B互斥）概率（A，B相互獨立）A，B中至少有一個發(fā)生P(A∪B)P(A)+P(B)1P()P()或P(A)+P(B)P(AB)A，B都發(fā)生P(AB)0P(A)P(B)A，B都不發(fā)生P()1[P(A)+P(B)]P()P()A，B恰有一個發(fā)生P(A∪B)P(A)+P(B)P(A)P()+P()P(B)A，B中至多有一個發(fā)生P(∪A∪B)11P(A)P(B)【題型1獨立性的判斷】【方法點撥】(1)定量法：利用P(AB)=P(A)P(B)是否成立可以準(zhǔn)確地判斷兩個事件是否相互獨立.(2)定性法：直觀地判斷一個事件發(fā)生與否對另一個事件的發(fā)生的概率是否有影響，若沒有影響就是相互獨立事件.【例1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列事件中A，B是相互獨立事件的是（

）A．一枚硬幣擲兩次，A=“第一次為正面”，B=“第二次為反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”C．?dāng)S一枚骰子，A=“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，B=“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”D．A=“人能活到20歲”，B=“人能活到50歲”【變式1-1】（2023·高一課時練習(xí)）袋中有黑、白兩種顏色的球，從中進(jìn)行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，則A1與AA．相互獨立事件 B．不相互獨立事件C．互斥事件 D．對立事件【變式1-2】（2022秋·廣東梅州·高二階段練習(xí)）拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記下股子朝上面的點數(shù).用x表示紅色股子的點數(shù)，用y表示綠色骰子的點數(shù)，用x,y表示一次試驗的結(jié)果.定義事件：A=“x+y為奇數(shù)”，事件B=“x=y”，事件C=“x>4”，則下列結(jié)論不正確的是（

A．PA=3PB B．AC．B與C獨立 D．A與B獨立【變式1-3】（2023秋·浙江紹興·高三期末）數(shù)字1，2，3，4，5，6組成沒有重復(fù)數(shù)字的的六位數(shù)，A表示事件“1和2相鄰”，B表示事件“偶數(shù)不相鄰”，C表示事件“任何連續(xù)兩個位置奇偶性都不相同”，D表示事件“奇數(shù)按從小到大的順序排列”．則（

）A．事件A與事件B相互獨立 B．事件A與事件C相互獨立C．事件A與事件D相互獨立 D．事件B與事件C相互獨立【題型2相互獨立事件的概率】【方法點撥】利用相互獨立事件的概率乘法公式，進(jìn)行求解即可.【例2】（2023秋·山東濟(jì)寧·高二期末）假設(shè)PA=0.3,PB=0.4，且A與B相互獨立，則A．0.12 B．0.58 C．0.7 D．0.88【變式2-1】（2022·高一課時練習(xí)）已知事件A，B相互獨立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，給出下列四個式子：①P(AB)＝0.12；②P(AB)＝0.18；③P(AB)＝0.28；④P(AB)＝0.42.其中正確的有()A．4個 B．2個C．3個 D．1個【變式2-2】（2022春·安徽安慶·高一期末）設(shè)事件A，B相互獨立，PA=0.6，PB=0.3，則A．0.36 B．0.504 C．0.54 D．0.9【變式2-3】（2022春·山西太原·高一期末）設(shè)A，B，C是一個隨機(jī)試驗中的三個事件，且PA>0，PB①若A與B互斥，則PAB②若A與B獨立，則PA∪B③若A，B，C兩兩獨立，則PABC④若PABC=PAPBPC則其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【題型3事件相互獨立的應(yīng)用】【方法點撥】實際問題中，計算相互獨立事件同時發(fā)生的概率，先用字母表示出事件，再分析題中涉及的事件.對于計算問題：將題中所求事件轉(zhuǎn)化為若干個獨立事件的交事件，利用獨立事件的性質(zhì)和推廣求解.【例3】（2022·高一單元測試）甲、乙、丙三人能獨立解決某一問題的概率分別是15，14，13A．160 B．320 C．1330【變式3-1】（2022·高二單元測試）一個袋子中有4個紅球，n個綠球，采用不放回的方式從中依次隨機(jī)地取出2個球，若取出第二個球是紅球的概率為0.4，那么n的值是（

）A．3 B．4 C．6 D．8【變式3-2】（2022春·黑龍江綏化·高二期中）某學(xué)校餐廳就餐刷卡器是由三個電子元件按如圖所示的方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則刷卡器能正常工作.如果各個元件能否正常工作相互獨立，元件1、元件2正常工作的概率都是35，元件3正常工作的概率是2527，那么該刷卡器能正常工作的概率為（A．23 B．79 C．89【變式3-3】（2022·高一單元測試）高一年級某同學(xué)參加了學(xué)校“數(shù)學(xué)社”“物理社”“話劇社”三個社團(tuán)的選拔，該同學(xué)能否成功進(jìn)入這三個社團(tuán)是相互獨立的．假設(shè)該同學(xué)能夠進(jìn)入“數(shù)學(xué)社”“物理社”“話劇社”三個社團(tuán)的概率分別為m，n，15，該同學(xué)進(jìn)入兩個社團(tuán)的概率為320，且三個社團(tuán)都進(jìn)不了的概率為25，則m+n=A．712 B．112 C．815【題型4互斥事件、事件的相互獨立性的綜合應(yīng)用】【方法點撥】閱讀題目，分析事件之間的關(guān)系，一般將問題劃分為若干個彼此互斥的事件，然后運用互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式求解.【例4】（2022秋·陜西榆林·高二階段練習(xí)）甲乙兩運動員進(jìn)行乒乓球比賽，采用7局4勝制．在一局比賽中，先得11分的運動員為勝方，但打到10：10平后，先多得2分者為勝方．在10：10平后，雙方實行輪換發(fā)球法，每人每次只發(fā)1個球．若在某局比賽中，甲發(fā)球時甲得分的概率為35，乙發(fā)球時甲得分的概率為13，各球的結(jié)果相互獨立，在雙方10：10平后，甲先發(fā)球，則甲以13：11贏下此局的概率為（A．425 B．225 C．875【變式4-1】（2022·高一單元測試）甲、乙兩人比賽，每局甲獲勝的概率為13，各局的勝負(fù)之間是獨立的，某天兩人要進(jìn)行一場三局兩勝的比賽，先贏得兩局者為勝，無平局．若第一局比賽甲獲勝，則甲獲得最終勝利的概率為（

A．13 B．59 C．23【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）2021年神舟十二號、十三號載人飛船發(fā)射任務(wù)都取得圓滿成功，這意味著我國的科學(xué)技術(shù)和航天事業(yè)取得重大進(jìn)步．現(xiàn)有航天員甲、乙、丙三個人，進(jìn)入太空空間站后需要派出一人走出太空站外完成某項試驗任務(wù)，工作時間不超過10分鐘，如果10分鐘內(nèi)完成任務(wù)則試驗成功結(jié)束任務(wù)，10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤回再派下一個人，每個人只派出一次．已知甲、乙、丙10分鐘內(nèi)試驗成功的概率分別為45，34，23A．