高考數學一輪復習 第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 4.3 平面向量的數量積及應用舉例課時提升作業(yè) 理試題

平面向量的數量積及應用舉例(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2015·廣東高考)在平面直角坐標系xOy中,已知四邊形ABCD是平行四邊形,QUOTE=(1,-2),QUOTE=(2,1),則QUOTE·QUOTE=()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選D.因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以QUOTE=QUOTE+QUOTE=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),所以QUOTE·QUOTE=2×3+1×(-1)=5.2.(2016·岳陽模擬)已知正方形ABCD的邊長為2,E為BC的中點,F為CD的中點,則QUOTE·QUOTE=()A.-1 B.0 C.1 D.2【解題提示】結合圖形,建立平面直角坐標系,轉化為坐標計算.【解析】選B.如圖.以A為原點建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,0),B(2,0),E(2,1),F(1,2),所以QUOTE=(2,1),QUOTE=(-1,2),所以QUOTE·QUOTE=-2+2=0.【一題多解】本題還可以采用如下解法:選B.方法一:如圖,由平面幾何的知識知△ABE≌△BCF,所以∠1=∠2,因為∠1+∠3=90°,所以∠2+∠3=90°,即AE⊥BF,所以QUOTE·QUOTE=0.方法二:選取{QUOTE,QUOTE}為基底,則QUOTE=QUOTE+QUOTE,QUOTE=QUOTE-QUOTE.因為|QUOTE|=|QUOTE|=2,QUOTE⊥QUOTE,所以QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE=-QUOTE+QUOTE=0.3.(2016·攀枝花模擬)已知a·b=-12QUOTE,|a|=4,a和b的夾角為135°,則|b|為()A.12 B.6 C.3QUOTE D.3【解析】選B.a·b=|a||b|cos135°=-12QUOTE,所以|b|=QUOTE=6.【加固訓練】(2016·廈門模擬)若向量a=(1,2),b=(1,-1),則2a+b與a-b的夾角等于()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為2a+b=(3,3),a-b=(0,3),設2a+b與a-b的夾角為α,所以cosα=QUOTE=QUOTE=QUOTE.又α∈[0,π],故α=QUOTE.4.(2016·中山模擬)在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,M為OC的中點,若QUOTE=(2,4),QUOTE=(1,3),則QUOTE·QUOTE等于()A.QUOTE B.-QUOTE C.3 D.-3【解析】選C.如圖,由題意可得QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE=(-1,-1).因為M是OC的中點,所以QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE(1,3)-(2,4)=QUOTE,所以QUOTE·QUOTE=(-1,-1)·QUOTE=QUOTE+QUOTE=3.5.(2016·衡水模擬)已知平面向量m,n的夾角為QUOTE,且|m|=QUOTE,|n|=2,在△ABC中,QUOTE=2m+2n,QUOTE=2m-6n,QUOTE=QUOTE,則|QUOTE|=()A.2 B.4 C.6 D.8【解析】選A.因為QUOTE=QUOTE,所以點D為BC的中點,所以QUOTE=QUOTE(QUOTE+QUOTE)=2m-2n,又因為|m|=QUOTE,|n|=2,平面向量m,n的夾角為QUOTE,所以|QUOTE|=2|m-n|=2QUOTE=2QUOTE=2.6.在平面直角坐標系中,已知O是坐標原點,A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),若|QUOTE+QUOTE|=QUOTE,α∈(0,π),則QUOTE與QUOTE的夾角為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTEπ D.QUOTEπ【解題提示】先求角α的大小,再求向量的夾角.【解析】選A.由題意,得QUOTE+QUOTE=(3+cosα,sinα),所以|QUOTE+QUOTE|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,即cosα=QUOTE,因為α∈(0,π),所以α=QUOTE,CQUOTE.設QUOTE與QUOTE的夾角為θ,則cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因為θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.7.(2016·巴中模擬)已知直線ax+by+c=0與圓O:x2+y2=1相交于A,B兩點,且AB=QUOTE,則QUOTE·QUOTE的值是()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.0【解析】選A.取AB的中點C,連接OC,AB=QUOTE,則AC=QUOTE,又因為OA=1,所以sinQUOTE=sin∠AOC=QUOTE=QUOTE,所以∠AOB=120°,則QUOTE·QUOTE=1×1×cos120°=-QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2015·湖北高考)已知向量QUOTE⊥QUOTE,|QUOTE|=3,則QUOTE·QUOTE=.【解析】因為向量QUOTE⊥QUOTE,所以QUOTE·QUOTE=0,即QUOTE·(QUOTE-QUOTE)=0,所以QUOTE·QUOTE-QUOTE=0,即QUOTE·QUOTE=QUOTE=9.答案:99.(2016·洛陽模擬)與向量a=(3,4)垂直且模長為2的向量為.【解析】設要求向量為b=(x,y),則QUOTE解得QUOTE或QUOTE答案:QUOTE或QUOTE10.已知圓O的半徑為2,AB是圓O的一條直徑,C,D兩點都在圓O上,且|QUOTE|=2,則|QUOTE+QUOTE|=.【解題提示】結合圖形進行向量的分解與合成,轉化,化簡后再求模.【解析】如圖,連接OC,OD,則QUOTE=QUOTE+QUOTE,QUOTE=QUOTE+QUOTE,因為O是AB的中點,所以QUOTE+QUOTE=0,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,設CD的中點為M,連接OM,則QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=2QUOTE,顯然△COD是邊長為2的等邊三角形,所以|QUOTE|=QUOTE,故|QUOTE+QUOTE|=|2QUOTE|=2QUOTE.答案:2QUOTE(20分鐘40分)1.(5分)(2016·石家莊模擬)在△ABC中,AB=4,AC=3,QUOTE·QUOTE=1,則BC=()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.3【解題提示】利用已知條件,求得QUOTE,QUOTE夾角的余弦,再用余弦定理求BC.【解析】選D.設∠A=θ,因為QUOTE=QUOTE-QUOTE,AB=4,AC=3,所以QUOTE·QUOTE=QUOTE2-QUOTE·QUOTE=9-QUOTE·QUOTE=1.所以QUOTE·QUOTE=8·cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以BC=QUOTE=3.2.(5分)(2015·福建高考)已知QUOTE⊥QUOTE,|QUOTE|=QUOTE,|QUOTE|=t.若點P是△ABC所在平面內的一點,且QUOTE=QUOTE+QUOTE,則QUOTE·QUOTE的最大值等于()A.13 B.15 C.19 D.21【解題提示】結合題意建立平面直角坐標系,轉化為坐標運算.【解析】選A.以A點為坐標原點建立平面直角坐標系如圖所示,C(0,t),BQUOTE,QUOTE=(1,0)+4(0,1)=(1,4),從而QUOTE=QUOTE,QUOTE=(-1,t-4),所以QUOTE·QUOTE=-4t-QUOTE+17≤-2QUOTE+17=13,當且僅當4t=QUOTE即t=QUOTE時,等號成立.【加固訓練】若a,b是單位向量,a·b=0,且|c-a|+|c-2b|=QUOTE,則|c+2a|的范圍是()A.[1,3] B.[2QUOTE,3]C.QUOTE D.QUOTE【解題提示】根據向量a,b的關系,轉化為向量的坐標運算.【解析】選D.因為a,b是單位向量,且a·b=0,所以不妨設a,b分別是與x軸,y軸正方向相同的單位向量,即a=(1,0),b=(0,1).設c=(x,y),則c-a=(x-1,y),c-2b=(x,y-2),c+2a=(x+2,y),所以|c-a|+|c-2b|=QUOTE+QUOTE=QUOTE,上式的幾何意義是動點P(x,y)到定點A(1,0),B(0,2)的距離之和為QUOTE的點的集合,而|AB|=QUOTE,所以點P在線段AB上,如圖.|c+2a|=QUOTE的幾何意義是動點P(x,y)到定點C(-2,0)的距離,過C作CD⊥AB,垂足為D,則|CD|=QUOTE,又|CA|=3,所以QUOTE≤|c+2a|≤3.3.(5分)(2015·天津高考)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,動點E和F分別在線段BC和DC上,且QUOTE=λQUOTE,QUOTE=QUOTE,則QUOTE·QUOTE的最小值為.【解析】因為QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+λQUOTE,QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE+λQUOTE+QUOTE·QUOTE=QUOTE×4+λ+QUOTE×2×1×cos120°=QUOTE+QUOTEλ+QUOTE≥2QUOTE+QUOTE=QUOTE.當且僅當QUOTE=QUOTEλ即λ=QUOTE時,QUOTE·QUOTE的最小值為QUOTE.答案:QUOTE4.(12分)(2015·陜西高考)△ΑΒC的內角Α,Β,C所對的邊分別為a,b,c.向量m=QUOTE與n=QUOTE平行.(1)求Α.(2)若a=QUOTE,b=2求△ΑΒC的面積.【解題提示】(1)先利用m∥n得出asinB-QUOTEbcosA=0,再利用正弦定理轉化求得tanA的值從而得A的值.(2)利用余弦定理得邊c的值,代入三角形的面積公式求解.【解析】(1)因為m∥n,所以asinB-QUOTEbcosA=0,由正弦定理得sinAsinB-QUOTEsinBcosA=0,又sinB≠0,從而tanA=QUOTE,由于0<A<π,所以A=QUOTE.(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,而a=QUOTE,b=2,A=QUOTE,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因為c>0,所以c=3.故△ABC的面積為QUOTEbcsinA=QUOTE.【加固訓練】已知點A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ).(1)若|QUOTE|=|QUOTE|,求QUOTE的值.(2)若(QUOTE+2QUOTE)·QUOTE=1,其中O為坐標原點,求sinθ·cosθ的值.【解析】因為A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ),所以QUOTE=(2sinθ-1,cosθ),QUOTE=(2sinθ,cosθ-1).(1)|QUOTE|=|QUOTE|,所以QUOTE=QUOTE,化簡得2sinθ=cosθ,所以tanθ=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=-5.(2)QUOTE=(1,0),QUOTE=(0,1),QUOTE=(2sinθ,cosθ),所以QUOTE+2QUOTE=(1,2),因為(QUOTE+2QUOTE)·QUOTE=1,所以2sinθ+2cosθ=1.所以(sinθ+cosθ)2=QUOTE,所以sinθ·cosθ=-QUOTE.5.(13分)已知平面向量a,b滿足|a|=QUOTE,|b|=1,(1)若|a-b|=2,試求a與b的夾角的余弦值.(2)若對一切實數x,|a+xb|≥|