概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第3章

二維隨機(jī)變量及其分布第三章

二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布邊緣分布與獨(dú)立性兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例如

E：抽樣調(diào)查15-18歲青少年的身高X與體重Y,以研究當(dāng)前該年齡段青少年的身體發(fā)育情況。

前面我們討論的是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中單獨(dú)的一個(gè)隨機(jī)變量，又稱為一維隨機(jī)變量；然而在許多實(shí)際問(wèn)題中，常常需要同時(shí)研究一個(gè)試驗(yàn)中的兩個(gè)甚至更多個(gè)隨機(jī)變量。

不過(guò)此時(shí)我們需要研究的不僅僅是X及Y各自的性質(zhì)，更需要了解這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互依賴和制約關(guān)系。因此，我們將二者作為一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行研究，記為(X,Y),稱為二維隨機(jī)變（向）量。

設(shè)X、Y為定義在同一樣本空間Ω上的隨機(jī)變量，則稱向量（X，Y）為Ω上的一個(gè)二維隨機(jī)變量。定義二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X,Y)的取值可看作平面上的點(diǎn)（x，y）A二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)若（X，Y）是隨機(jī)變量，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y.定義稱為二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)(3)(x,y)x1x2y1y2P（x1

X

x2，y1

Y

y2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)聯(lián)合分布函數(shù)表示矩形域概率P（x1

X

x2，y1

Y

y2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)二維離散型隨機(jī)變量

若二維隨機(jī)變量（X，Y）的所有可能取值只有限對(duì)或可列對(duì)，則稱（X，Y）為二維離散型隨機(jī)變量。如何反映（X，Y）的取值規(guī)律呢？定義研究問(wèn)題聯(lián)想一維離散型隨機(jī)變量的分布律。（X，Y）的聯(lián)合概率分布（分布律）表達(dá)式形式

。。。......。。。...。。。......。。。...。。。...。。。...。。。...。。。。。。...。。。......。。。。。。......。。。...。。。。。。......。。。。。。......。。。。。。表格形式（常見(jiàn)形式）性質(zhì)

一個(gè)口袋中有三個(gè)球，依次標(biāo)有數(shù)字1，2，2，從中任取一個(gè)，不放回袋中，再任取一個(gè)，設(shè)每次取球時(shí)，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分別記第一次和第二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字，求的聯(lián)合分布列.

的可能取值為(1，2)，(2，1)，(2，2).

Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3)×(2/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3)×(1/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}=(2/3)×(1/2)＝1/3，1/31/3２1/3０１２１ＹＸ例解

見(jiàn)書P69，習(xí)題1的可能取值為例解(0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，（2，0）（X，Y）的聯(lián)合分布律為yX011/301/600-101/31/1225/1200

若存在非負(fù)函數(shù)f（x，y），使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，二元隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)可表示成如下形式

則稱(X,Y)是二元連續(xù)型隨機(jī)變量。f（x，y）稱為二元隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù).二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度定義聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)非負(fù)性幾何解釋..隨機(jī)事件的概率=曲頂柱體的體積設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為(1)確定常數(shù)k；

(2)求的分布函數(shù)；；

.

(4)求例(1)所以解

(2)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，(3)41或解(4)224例已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度為求概率解

1續(xù)解……….x+y=3思考已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度為求概率2241解答

二維均勻分布設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為

上服從均勻分布.在，則稱是平面上的有界區(qū)域，其面積為其中思考已知二維隨機(jī)變量（X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分布，D為x軸，y軸及直線y=2x+1所圍成的三角形區(qū)域。求（1）分布函數(shù)；（2）解（X,Y）的密度函數(shù)為y=2x+1-1/2（1）當(dāng)時(shí)，分布函數(shù)為y=2x+1-1/2（2）當(dāng)時(shí)，y=2x+1-1/2（3）當(dāng)時(shí)，所以，所求的分布函數(shù)為0.5y=2x+1-1/2二維正態(tài)分布設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為其中均為參數(shù)則稱服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布

邊緣分布隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性邊緣分布marginaldistribution二維隨機(jī)變量,是兩個(gè)隨機(jī)變量視為一個(gè)整體，來(lái)討論其取值規(guī)律的，我們可用分布函數(shù)來(lái)描述其取值規(guī)律。

問(wèn)題：能否由二維隨機(jī)變量的分布來(lái)確定兩個(gè)一維隨機(jī)變量的取值規(guī)律呢？如何確定呢？——邊緣分布問(wèn)題邊緣分布marginaldistribution設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，依次稱為二維隨機(jī)變量關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布函數(shù)．二維離散型R.v.的邊緣分布如果二維離散型隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為即YXy1y2y3…x1p11p12p13…x2p21p22p23…x3p31p32p33………………二維離散型R.v.的邊緣分布關(guān)于X的邊緣分布關(guān)于Y的邊緣分布YXy1y2y3…Pi.x1p11p12p13…P1.x2p21p22p23…P2.x3p31p32p33…P3.………………p.jp.1p.2p.3…二維離散型R.v.的邊緣分布關(guān)于X的邊緣分布關(guān)于Y的邊緣分布第j列之和Xx1x2x3…概率P1.P2.P3.…第i行之和Yy1y2y3…概率P.1P.2P.3…二維離散型R.v.的邊緣分布例1設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為YX011/3-101/31/1201/60025/1200求關(guān)于X、Y的邊緣分布關(guān)于Y的邊緣分布Y011/3概率7/121/31/12解關(guān)于X的邊緣分布為X-102概率5/121/65/12YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y）的聯(lián)合分布列二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布

關(guān)于X的邊緣概率密度為關(guān)于Y的邊緣概率密度為的邊緣分布函數(shù)為關(guān)于的邊緣分布函數(shù)為關(guān)于例2

設(shè)（X,Y）的聯(lián)合密度為求k值和兩個(gè)邊緣分布密度函數(shù)解由得當(dāng)時(shí)關(guān)于X的邊緣分布密度為113113解所以，關(guān)于X的邊緣分布密度為所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度為當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)關(guān)于Y的邊緣分布密度為邊緣分布密度和概率的計(jì)算例3設(shè)（X,Y)的聯(lián)合分布密度為（1）求k值(2)求關(guān)于X和Y的邊緣密度（3）求概率P(X+Y<1)和P(X>1/2)(2)均勻分布解(1)由得當(dāng)時(shí)-11當(dāng)時(shí)所以，關(guān)于X的邊緣分布密度函數(shù)為-11續(xù)解………..

-11解當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度函數(shù)為解（3）

見(jiàn)課本P59例3如果二維隨機(jī)變量（X，Y）服從正態(tài)分布則兩個(gè)邊緣分布分別服從正態(tài)分布與相關(guān)系數(shù)無(wú)關(guān)可見(jiàn)，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布例4設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為求關(guān)于X，Y的邊緣分布密度函數(shù)解關(guān)于X的分布密度函數(shù)為所以，同理可得不同的聯(lián)合分布，可有相同的邊緣分布?？梢?jiàn)，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性特別，對(duì)于離散型和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該定義分別等價(jià)于★★定義設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，兩個(gè)邊緣分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y)，如果對(duì)于任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y)，則稱隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立。對(duì)任意i,j對(duì)任意x,y

在實(shí)際問(wèn)題或應(yīng)用中，當(dāng)X的取值與Y的取值互不影響時(shí)，我們就認(rèn)為X與Y是相互獨(dú)立的，進(jìn)而把上述定義式當(dāng)公式運(yùn)用.

在X與Y是相互獨(dú)立的前提下，邊緣分布可確定聯(lián)合分布！實(shí)際意義補(bǔ)充說(shuō)明設(shè)（X，Y）的概率分布（律）為證明：X、Y相互獨(dú)立。例1

2/5

1/5

2/5

p.j

2/44/202/204/202

1/42/201/202/2011/42/201/202/201/2

pi.20-1yx逐個(gè)驗(yàn)證等式證

∵X與Y的邊緣分布律分別為∴X、Y相互獨(dú)立2/51/52/5p.i20-1

X2/41/41/4Pj.211/2

Y例2設(shè)（X，Y)的概率密度為求(1)P（0≤X≤1，0≤Y≤1）(2)(X,Y)的邊緣密度，（3）判斷X、Y是否獨(dú)立。解①設(shè)A={（x，y）：0≤x≤1，0≤y≤1）}11②邊緣密度函數(shù)分別為當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)所以，同理可得③所以X與Y相互獨(dú)立。例3已知二維隨機(jī)變量（X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分布，D為x軸，y軸及直線y=2x+1所圍成的三角形區(qū)域。判斷X，Y是否獨(dú)立。解（X,Y）的密度函數(shù)為當(dāng)時(shí)，所以，關(guān)于X的邊緣分布密度為關(guān)于X的邊緣分布密度為當(dāng)或時(shí)當(dāng)時(shí)，所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度為關(guān)于Y的邊緣分布密度為當(dāng)或時(shí)所以所以，X與Y不獨(dú)立。設(shè)（X,Y)服從矩形域上的均勻分布，求證X與Y獨(dú)立。例4時(shí)解于是同理所以即X與Y獨(dú)立。時(shí)二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)

是二維隨機(jī)變量,

其聯(lián)合分布函數(shù)為

是隨機(jī)變量

的二元函數(shù)

的分布函數(shù)問(wèn)題：如何確定隨機(jī)變量Z的分布呢？二維離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)

是二維離散型隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布列為

則是一維的離散型隨機(jī)變量其分布列為例設(shè)的聯(lián)合分布列為

YX-2-10-11/121/123/12?2/121/12032/1202/12分別求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列解由（X，Y）的聯(lián)合分布列可得如下表格概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253-3-2-1-15/4-11/457解得所求的各分布列為X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122