信號(hào)分析處理 網(wǎng)

第三章1信號(hào)分類(lèi)測(cè)試信號(hào)分析確定性信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)確定性信號(hào)：也稱(chēng)規(guī)律性信號(hào)，其時(shí)間函數(shù)x(t)可以用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式表示，任一瞬時(shí)信號(hào)都有一個(gè)完全確定的數(shù)值。對(duì)規(guī)律信號(hào)進(jìn)行重復(fù)測(cè)量，可以得到相同的測(cè)試結(jié)果。反之，就是隨機(jī)信號(hào)，或稱(chēng)非確定性信號(hào)。確定性信號(hào)分為周期信號(hào)和非周期信號(hào)。A周期信號(hào)：按照一定時(shí)間T（周期）自行重復(fù)變化的信號(hào)。

簡(jiǎn)諧周期信號(hào)：即正弦或余弦信號(hào)，為最簡(jiǎn)單的周期信號(hào)。

復(fù)雜周期信號(hào)：由兩個(gè)或兩個(gè)以上簡(jiǎn)諧周期信號(hào)疊加而成的信號(hào)，它具有一個(gè)最長(zhǎng)的基本重復(fù)周期。B非周期信號(hào)：不存在基本周期，在時(shí)間上永不重復(fù)的信號(hào)。又可分為準(zhǔn)周期信號(hào)和瞬變沖激信號(hào)兩種。

準(zhǔn)周期信號(hào)：又稱(chēng)近周期信號(hào)，是由N個(gè)簡(jiǎn)諧周期信號(hào)合成的，但是其中任何兩個(gè)諧波頻率之比，在任何情況下都不是有理數(shù)，不具備基本周期。

瞬變沖激信號(hào)：瞬變是指持續(xù)幾個(gè)周期的衰減信號(hào)，沖激則是不同形式的單個(gè)脈沖。特點(diǎn)是過(guò)程突然發(fā)生、時(shí)間極短、能量很大。通常包含有由零到無(wú)限大的所有頻率的諧波。確定性振動(dòng)信號(hào)

(a)簡(jiǎn)諧振動(dòng)；(b)復(fù)雜周期振動(dòng)；(c)準(zhǔn)周期振動(dòng)；(d)瞬態(tài)振動(dòng)A平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) 其統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間推移而變化，即與時(shí)間無(wú)關(guān)的隨機(jī)信號(hào)。如果把產(chǎn)生隨機(jī)信號(hào)的物理現(xiàn)象看成一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，則對(duì)此隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行一段時(shí)間觀(guān)測(cè)，所得記錄結(jié)果 稱(chēng)為一個(gè)樣本函數(shù)。在同樣條件下，對(duì)該過(guò)程重復(fù)觀(guān)測(cè)，可以得到互不相同的許多樣本函數(shù)這些樣本函數(shù)的全體稱(chēng)為總體或集合。記為這樣，{x(t)}表示一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。xi(t)表示序號(hào)為i的某一個(gè)樣本函數(shù)。一般地說(shuō)，任何一個(gè)樣本函數(shù)都無(wú)法恰當(dāng)?shù)卮黼S機(jī)過(guò)程{x(t)}。隨機(jī)過(guò)程在某一時(shí)刻之值是一個(gè)隨機(jī)變量，{x(t1)}為該隨機(jī)變量的總體。具體說(shuō)來(lái)，平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)在某一時(shí)刻

的總體集合平均值(統(tǒng)計(jì)特性)等于任一時(shí)刻總體集合平均值(統(tǒng)計(jì)特性)，如：均值均方值■隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)①各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(hào) 如果平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的時(shí)間平均值等于總體集合平均值時(shí)，這種平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)稱(chēng)為各態(tài)歷經(jīng)或遍歷隨機(jī)信號(hào)。②非各態(tài)歷經(jīng)信號(hào) 不滿(mǎn)足各態(tài)歷經(jīng)特性的信號(hào)稱(chēng)為非各態(tài)歷經(jīng)信號(hào)。B

非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)： 所有不滿(mǎn)足平穩(wěn)性要求的隨機(jī)信號(hào)。在工程實(shí)際中，隨機(jī)信號(hào)一般都是平穩(wěn)、各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(hào)。這樣就不需要做大量的重復(fù)試驗(yàn)，只需要根據(jù)任何一個(gè)樣本函數(shù)按時(shí)間平均的方法獲取總體的統(tǒng)計(jì)特性。3）連續(xù)與離散時(shí)間信號(hào)A、連續(xù)時(shí)間信號(hào)：在數(shù)學(xué)表達(dá)式中，作為獨(dú)立變量的時(shí)間取值是連續(xù)的，幅值可以是連續(xù)的也可以是離散的值。B、離散時(shí)間信號(hào)：若時(shí)間變量取離散值，幅度取值只存在于離散的時(shí)刻。C、模擬信號(hào)：獨(dú)立變量時(shí)間和幅值均為連續(xù)值的信號(hào)。D、數(shù)字信號(hào)：時(shí)間與幅值均為離散值的信號(hào)。一般而言，模擬信號(hào)是連續(xù)的（時(shí)間和幅值都是連續(xù)的），數(shù)字信號(hào)是離散的。連續(xù)信號(hào) 模擬信號(hào)2信號(hào)的幅值域和時(shí)域分析1）幅值域分析：主要討論周期信號(hào)的幅值域分析，對(duì)于隨機(jī)信號(hào)等的幅值域分析可以參閱數(shù)字信號(hào)處理和隨機(jī)過(guò)程方面的書(shū)籍。周期信號(hào)的強(qiáng)度分析主要包括峰值、絕對(duì)值、有效值和平均功率。A、峰值 信號(hào)在一個(gè)周期 的時(shí)間內(nèi)可能出現(xiàn)的最大瞬時(shí)值，即B、峰—峰值 是在一個(gè)周期中最大瞬時(shí)值

+與最小瞬時(shí)值(又稱(chēng)谷值) -之差。

對(duì)信號(hào)的峰值和峰—峰值應(yīng)有足夠的估計(jì)。信號(hào)的峰—峰值不能超過(guò)測(cè)試系統(tǒng)允許輸入的上限值與下限值，進(jìn)一步則希望在測(cè)試系統(tǒng)的線(xiàn)性區(qū)域內(nèi)。前一要求是保證測(cè)試系統(tǒng)正常工作的必要條件，后一要求是保證足夠小的非線(xiàn)性誤差，并使信號(hào)不致產(chǎn)生大的畸變。C、此周期信號(hào)的均值它的表達(dá)式為它是信號(hào)的恒定分量，也即直流分量，可以用表示。D絕對(duì)均值全波整流后的均值就是信號(hào)的絕對(duì)均值。

E有效值是信號(hào)的均方根值嚴(yán)格按照式求得的有效值又稱(chēng)為真有效值，以區(qū)別于按其他間接轉(zhuǎn)換關(guān)系得到的有效值。

F均方值是信號(hào)的平均功率，即上述各個(gè)均值都是在一個(gè)周期時(shí)間內(nèi)求平均。周期信號(hào)的強(qiáng)度2）信號(hào)的時(shí)域分析

信號(hào)的時(shí)域分析是以時(shí)間t為橫坐標(biāo)變量來(lái)描述信號(hào)隨時(shí)間的變化規(guī)律。時(shí)域信號(hào)分析包含信號(hào)分解、合成以及參數(shù)計(jì)算兩個(gè)方面。A、信號(hào)的分解與合成：根據(jù)實(shí)際需要可從不同角度出發(fā)將信號(hào)分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單信號(hào)的和，反之則可進(jìn)行信號(hào)的合成。交直流分解 將信號(hào)分解為：其中——直流分量；——交變分量，反映信號(hào)中隨時(shí)間而交變的部分實(shí)際中常常進(jìn)行這種分解，例如：分析各種整流濾波電路或穩(wěn)壓電源的輸出，我們需要其直流成分，其交變波動(dòng)分量應(yīng)設(shè)法抑制與消除。

偶奇分解按照信號(hào)對(duì)縱軸的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，可將信號(hào)分解為偶分量與奇分量其中：對(duì)于具有偶對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的時(shí)間函數(shù)信號(hào)，其頻

譜將具有實(shí)數(shù)性質(zhì)，即各頻率分量的相位為零。

虛實(shí)分解 在描述某些變化過(guò)程的物理量時(shí)，有時(shí)需要用復(fù)量來(lái)描述。交流電路常用的復(fù)量描述可具有兩種形式。直角坐標(biāo)表示極坐標(biāo)表示

正交函數(shù)分解 一個(gè)平面矢量可以分解為相互垂直的兩個(gè)矢量，也就是說(shuō)可以用一個(gè)二維正交矢量集完備地表示一個(gè)平面矢量。對(duì)于一個(gè)三維空間矢量，可以分解為相互垂直的三個(gè)矢量，也即可用一個(gè)三維正交矢量集完備地表示一個(gè)三維空間矢量。進(jìn)一步推論，一個(gè)n維空間矢量，可以分解為相互垂直的n個(gè)矢量，也就是說(shuō)，可以用一個(gè)n維正交矢量集完備地表示一個(gè)n維空間矢量。信號(hào)的分解就是用分量來(lái)表示函數(shù)。與矢量分解類(lèi)同，一個(gè)函數(shù)(信號(hào))x(t)，可以分解為相互正交的n個(gè)函數(shù)，也就是說(shuō)可以用正交函數(shù)集的n個(gè)分量之和來(lái)表示該函數(shù)。①三角函數(shù)集在時(shí)間間隔集之全體

,內(nèi)，當(dāng) 時(shí)，三角函數(shù),

,

,

,是完備的正交函數(shù)集。

任一周期為 的周期信號(hào)，可以用三角函數(shù)集中個(gè)正交函數(shù)( 個(gè)分量)之和來(lái)表示:■②復(fù)指數(shù)函數(shù)集

在區(qū)間數(shù)集之全體內(nèi)，當(dāng) 時(shí)，復(fù)指數(shù)函，

，

，…，

，也是一完備正交函數(shù)集。任一周期為

的周期信號(hào) ，也可用復(fù)指數(shù)函數(shù)集中個(gè)正交函數(shù)(m個(gè)分量)之和來(lái)表示。B時(shí)域的參數(shù)分析時(shí)域函數(shù)x(t)給出了信號(hào)隨時(shí)間變化的規(guī)律?？筛鶕?jù)不同的實(shí)際要求與具體問(wèn)題，求取信號(hào)時(shí)域的波形參數(shù)，如如時(shí)間常數(shù)的求取，有阻尼自然振蕩角頻率，峰值時(shí)間，上升時(shí)間，上升前沿。3）信號(hào)的頻域分析頻域分析也稱(chēng)為頻譜分析，是指對(duì)信號(hào)在頻率域內(nèi)進(jìn)行分析。分析的結(jié)果是以頻率為坐標(biāo)的各種物理量的譜線(xiàn)和曲線(xiàn)，可得到各種幅值譜、相位譜、功率譜和各種譜密度等。在工程實(shí)際中經(jīng)常要用到需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻域分析的情況。

信號(hào)的時(shí)域分析與頻域分析既相互獨(dú)立又密切相關(guān)，可以通過(guò)傅里葉變換把它們聯(lián)系起來(lái)并互相轉(zhuǎn)換。1）周期信號(hào)與離散頻譜任一周期信號(hào)

，在有限區(qū)間（t，t+T)內(nèi)滿(mǎn)足狄利克萊(Dirichlet)條件，就可以分解為正交函數(shù)線(xiàn)性組合的無(wú)窮級(jí)數(shù)，即可以展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)。狄利克萊條件在一周期內(nèi)，函數(shù)是絕對(duì)可積的，即應(yīng)為有限值；在一周期內(nèi)，函數(shù)的極值數(shù)目為有限；在一周期內(nèi)，函數(shù)f(t)或者為連續(xù)的，或者具有限個(gè)這樣的間斷點(diǎn)，即當(dāng)t從較大的時(shí)間值和較小的時(shí)間值分別趨向間斷點(diǎn)時(shí)，函數(shù)具有兩個(gè)不同的有限的函數(shù)值。測(cè)試技術(shù)中的周期信號(hào)，大都滿(mǎn)足該條件。A傅立葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)展開(kāi)式：其中：■■■■■——直流分量——余弦分量的幅值——正弦分量的幅值——各頻率分量的幅值——各頻率分量的相位——角頻率也可以表示為下式：其中：B復(fù)指數(shù)函數(shù)展開(kāi)式：其中：——傅里葉系數(shù)， 又：這兩種展開(kāi)方式在本質(zhì)上是一致的，兩者也存在著一定的聯(lián)系。由歐拉公式：可得：實(shí)部虛部模值初相角■以，常值分量和作圖分別為幅頻譜圖和相頻譜圖；也可作，

圖，分別稱(chēng)為實(shí)頻譜圖、虛頻譜圖；它們都是雙邊譜，從到＋。

負(fù)頻率的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果，并沒(méi)有明確的物理意義。實(shí)際上只有把負(fù)頻率項(xiàng)與相應(yīng)的正頻率項(xiàng)成對(duì)地合并起來(lái)，才是實(shí)際的頻譜函數(shù)。2)例子：周期信號(hào)方波的傅立葉級(jí)數(shù)內(nèi)，方波的表達(dá)式

解：在一個(gè)周期為：分段積分，可得：根據(jù)上式對(duì)常值分量余弦分量幅值正弦分量幅值故該周期方波的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為

此周期方波的幅值譜無(wú)直流分量、無(wú)偶次諧波，含有基波(基波頻率 )和奇次諧波分量。諧波幅值以 的規(guī)律收斂。3)周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)

A．離散性只在(n=0，1，2，…)離散值上取值(實(shí)頻譜)或只在(m=0，±l，±2，…)離散點(diǎn)上取值(復(fù)頻譜)。B．諧波性每條譜線(xiàn)只出現(xiàn)在基波頻率（ ）的整數(shù)倍的頻率上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù)，相鄰譜線(xiàn)間隔為

。

C．收斂性常見(jiàn)的周期信號(hào)幅值總的趨勢(shì)是隨諧波次數(shù)的增高而減小，由于這種收斂性，實(shí)際測(cè)量中可以在一定誤差允許范圍內(nèi)忽略那些次數(shù)過(guò)高的諧波分量。4)非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜■

非周期信號(hào)包括準(zhǔn)周期信號(hào)和瞬變沖激信號(hào)兩種，其頻譜各有獨(dú)自的特點(diǎn)。周期信號(hào)可展開(kāi)成許多乃至無(wú)限項(xiàng)簡(jiǎn)諧信號(hào)之和，其頻譜具有離散性，諸諧波分量的頻率具有一個(gè)公約數(shù)——基頻。但幾個(gè)簡(jiǎn)諧信號(hào)的疊加，不一定是周期信號(hào)，也就是說(shuō)具有離散頻譜的信號(hào)不一定是周期信號(hào)。只有各簡(jiǎn)諧成分的頻率比是有理數(shù)，因而它們能在某個(gè)時(shí)間間隔后周而復(fù)始，合成后的信號(hào)才是周期信號(hào)。準(zhǔn)周期信號(hào)就是由幾個(gè)簡(jiǎn)諧信號(hào)疊加形成，具有離散頻譜。但簡(jiǎn)諧信號(hào)頻率比不是有理數(shù)，合成后不是周期信號(hào)。一般所說(shuō)的非周期信號(hào)是指瞬變沖激信號(hào)，如矩形脈沖信號(hào)、指數(shù)衰減信號(hào)、衰減振蕩、單脈沖等。對(duì)這種非周期信號(hào)，我們不能直接用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)。A頻譜密度函數(shù)

對(duì)于非周期信號(hào)，可以看作周期

為無(wú)窮大的周期信號(hào)。當(dāng)周期

趨近無(wú)窮大時(shí)，則基波譜線(xiàn)及譜線(xiàn)間隔 趨近無(wú)窮小，從而離散的頻譜就變?yōu)檫B續(xù)頻譜。所以，非周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)的。重寫(xiě)傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開(kāi)式為：當(dāng)周期 時(shí)，譜線(xiàn)間隔 趨近無(wú)窮小 離散量

（，傅里葉系數(shù) ，模）變?yōu)檫B續(xù)變量趨于無(wú)窮小，故作不出 圖，各條譜線(xiàn)幅值比例保持不變。將它放大

倍

由于時(shí)間 是積分變量，故上式積分后，僅是 的函數(shù)，并記作

或■

表示單位頻帶上的頻率分量，是復(fù)數(shù)，稱(chēng)為 的頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)頻譜密度。B非周期信號(hào)的傅里葉積分表示作為周期為無(wú)窮大的非周期信號(hào)，當(dāng)周期 時(shí)，頻譜譜線(xiàn)間隔 ，離散變量變?yōu)檫B續(xù)變量，求和運(yùn)算就變?yōu)榍蠓e分運(yùn)算。這就是傅里葉積分。記為傅立葉正變換：傅立葉逆變換：作 或圖，并稱(chēng)之為非周期信號(hào)■的幅值譜密度。

非周期信號(hào)用傅里葉積分來(lái)描述，其頻譜是連續(xù)的，它是由無(wú)限多個(gè)、頻率無(wú)限接近的頻率成分所組成。各頻率上譜線(xiàn)幅值趨于無(wú)窮小，故用頻譜密度來(lái)描述，它在數(shù)值上相當(dāng)于將分量放大倍，同時(shí)保持各頻率分量幅值相對(duì)分布規(guī)律不變。C一些非周期信號(hào)的傅里葉變換

求非周期信號(hào)的頻譜，就是通過(guò)傅立葉正變換求非周期信號(hào)的頻譜密度

[例]

求矩形窗函數(shù)的頻譜，函數(shù) 如下圖所示解：按傅立葉正變換定義式求其頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)為：矩形窗函數(shù)及其幅值譜其幅值譜密度矩形窗函數(shù)的頻譜圖表明：

它是一個(gè)型函數(shù)，是個(gè)連續(xù)譜，包含無(wú)窮多個(gè)頻率成分，在 處，幅值譜密度為零；

·當(dāng)窗寬

趨于無(wú)窮小時(shí)，即 ，矩形窗函數(shù)變?yōu)榫匦螁蚊}沖，也即相當(dāng)于單位沖激函數(shù)

，第一個(gè)過(guò)零點(diǎn) 則趨于無(wú)窮大。這時(shí)，所有頻率分量幅值均相同，其值為 ，即幅值譜密度趨于無(wú)窮??；

·當(dāng)窗寬 時(shí)，則第一個(gè)過(guò)零點(diǎn) ，頻譜密度函數(shù)只在 時(shí)存在，這相當(dāng)于直流信號(hào)只在 處存在譜線(xiàn)；

·譜線(xiàn)主要集中在 內(nèi)，故稱(chēng)頻段為信號(hào)帶寬，或稱(chēng)主瓣寬度。[例]

沖激函數(shù) 的傅里葉變換

應(yīng)用傅里葉變換求取頻譜密度的信號(hào)必須滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件，即

才能確保其傅里葉變換存在，這個(gè)困難可以通過(guò)利用沖激函數(shù) 及其頻譜 來(lái)解決。這樣，不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件的信號(hào)也能獲得它們的頻譜。

單位沖激函數(shù) 一般凡是滿(mǎn)足以下三條性質(zhì)的函數(shù)都可稱(chēng)為單位沖激函數(shù)(1)(2)(3)

以上性質(zhì)(1)，(2)描述了單位沖激函數(shù)的特點(diǎn)。性質(zhì)(3)描述了單位沖激函數(shù)的抽樣特性。它說(shuō)明一連續(xù)時(shí)間信號(hào)與單位沖激信號(hào)

相乘并在

到的時(shí)刻抽選出的時(shí)間內(nèi)積分時(shí)，就在。

單位沖激函數(shù)的頻譜 根據(jù)傅里葉變換定義式有：

由此可見(jiàn)沖激函數(shù)的頻譜密度函數(shù)為一常數(shù)。這表明在整個(gè)頻率范圍內(nèi)都有分量存在。不同頻率的所有分量的強(qiáng)度都相同，這種譜通常稱(chēng)“白色譜”。利用函數(shù) 求直流信號(hào) 的頻譜對(duì)直流信號(hào)有

直流信號(hào)不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件，故不能直接利用傅立葉變換式來(lái)求頻譜，現(xiàn)將 看作為當(dāng) 時(shí)，函數(shù) ，即該函數(shù)趨向一直流信號(hào)。由前已知其頻譜函數(shù)為同時(shí)該頻譜函數(shù)又是沖激函數(shù)，即：由此可知直流信號(hào) 的頻譜在■度為處有一脈沖譜線(xiàn)，可以證明其沖激強(qiáng)。沖激強(qiáng)度為于是，直流信號(hào)的頻譜可利用表示為5)傅里葉變換的性質(zhì)

一個(gè)信號(hào)的時(shí)域描述和頻域描述依靠傅里葉變換來(lái)確立彼此一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。熟悉傅里葉變換的性質(zhì)，有助于了解信號(hào)在某個(gè)域中的變化和運(yùn)算將在另一域中產(chǎn)生何種相應(yīng)的變化和運(yùn)算關(guān)系。A線(xiàn)性疊加性傅里葉變換是一種線(xiàn)性運(yùn)算，即時(shí)域信號(hào)增大a倍時(shí)，則頻域信號(hào)的頻譜函數(shù)也增大a倍；在時(shí)域，n個(gè)信號(hào)合成后的頻譜函數(shù)，等于各個(gè)信號(hào)頻譜函數(shù)之和。B時(shí)移特性則式中

上式說(shuō)明，將信號(hào) 在時(shí)域中沿時(shí)間軸平移一個(gè)常值 而成為時(shí)延信號(hào) ，在頻域其幅頻譜不變，而相頻譜中相角的改變與頻率成正比。即若基波相移移 ，三次諧波相移，則二次諧波相，……。C頻移特性若則頻移特性說(shuō)明，函數(shù)在時(shí)域乘以

，則在頻域中整個(gè)頻譜沿頻率軸搬移一個(gè)常值

。【例】求正、余弦信號(hào)的頻譜

[解]根據(jù)歐拉公式可知

所以，它們都是在時(shí)域?qū)σ恢绷餍盘?hào)乘以或，因此，在頻域上是將直流信號(hào)的沖激譜線(xiàn)沿頻率軸搬移±，于是有[例]

脈沖序列 的頻譜

[解] 這一無(wú)限長(zhǎng)的脈沖序列可看成是周期為T(mén)的周期函數(shù)，因而可用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，即其中傅里葉系數(shù)

為注意積分區(qū)間在至 內(nèi)只有 一個(gè)脈沖。[例]求交流不平衡電橋輸出信號(hào)的頻譜及頻移特[解] 根據(jù)歐拉公式性可得交流不平衡電橋是一個(gè)調(diào)幅器，輸出信號(hào)是幅度 被調(diào)制的調(diào)幅波，載波頻率是交流電橋供電電源的頻率 。調(diào)幅過(guò)程將調(diào)制信號(hào)的頻譜 左右平移±

。D

對(duì)稱(chēng)性若則對(duì)稱(chēng)性說(shuō)明若偶函數(shù) 的頻譜函數(shù)為

，與形狀相同的時(shí)間函數(shù) 的頻譜函則數(shù)，除系數(shù)外與原信號(hào)有相同的形狀。E

尺度變換特性若則■尺度變換特性說(shuō)明，若信號(hào)變化加快 倍，即信號(hào) 沿時(shí)間軸壓縮到原來(lái)的 變?yōu)樾盘?hào)，則在頻域中的頻譜函數(shù)在頻域坐標(biāo)上將展寬倍，頻帶加寬幅值壓低；反之若信號(hào)在時(shí)域擴(kuò)展，即，則其頻譜變窄幅值增高。尺度變換特性(a)

a=1；

(b)a=2F微分特性若則■微分特性說(shuō)明，在頻域?qū)︻l譜函數(shù)

乘以 ，相當(dāng)于時(shí)域原函數(shù) 進(jìn)行微分運(yùn)算。G

積分特性若則積分特性說(shuō)明，在頻域?qū)Τ艘?，相當(dāng)于在時(shí)域?qū)ζ湓瘮?shù) 進(jìn)行積分運(yùn)算。6)離散時(shí)間信號(hào)的頻譜

在以計(jì)算機(jī)為中心的測(cè)試系統(tǒng)中，模擬信號(hào) 進(jìn)入數(shù)字計(jì)算機(jī)前先經(jīng)過(guò)采樣器，將連續(xù)時(shí)間信號(hào)變?yōu)殡x散時(shí)間信號(hào)，稱(chēng)為采樣信號(hào) 。而后再經(jīng)A／D轉(zhuǎn)換器在幅值上量化變?yōu)殡x散的數(shù)字信號(hào)。這樣，將會(huì)出現(xiàn)一系列新的問(wèn)題，現(xiàn)在從頻域分析其頻譜的變化。①

采樣信號(hào) 及其頻譜

A

信號(hào) 被采樣的等效采樣器在采樣瞬時(shí)0，T，2T，…時(shí)

,取得信號(hào)

的瞬時(shí)值，于是采樣過(guò)程相當(dāng)于是用一個(gè)等時(shí)距 的脈沖序列 去乘 ，這時(shí)采樣信號(hào)可等效表示為

式中 ——相距為 的無(wú)限長(zhǎng)的理想脈沖序列，它可用 函數(shù)的集合來(lái)表示：式中即——采樣角頻率，現(xiàn)改用 來(lái)表示，因而采樣信號(hào) 可由下式來(lái)表示：對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行傅里葉變

B采樣信號(hào)的頻譜換，即■

采樣信號(hào)的頻譜在幅值上比原信號(hào) 的頻譜 幅值放大了 倍，并呈現(xiàn)周期性。重軸上，每隔

，，如下圖所復(fù)周期為 ，即在頻率在 處重復(fù)出現(xiàn)示?！鎏幍淖V線(xiàn)就是原信號(hào) 的頻譜(乘以

)，稱(chēng)為主分量。

至 為主周期。m≥1各處稱(chēng)為折疊出現(xiàn)的譜線(xiàn)稱(chēng)為高頻分量，將頻率。②采樣定理與頻率混淆(混疊)采樣是把連續(xù)時(shí)間信號(hào)變成離散時(shí)間序列的過(guò)程。這一過(guò)程相當(dāng)于在連續(xù)時(shí)間信號(hào)上“抽取”許多離散時(shí)刻 上的信號(hào)瞬去乘連續(xù)時(shí)間信號(hào)時(shí)值。在數(shù)學(xué)處理上等效于以等時(shí)距 的單。是位脈沖序列采樣間隔， 為采樣角頻率，它們的取值是一個(gè)很重要的問(wèn)題。A

采樣定理 給出一個(gè)在理論上能不失真再現(xiàn)原信號(hào)的最低采樣頻率，即采樣頻率 必須滿(mǎn)足關(guān)系式中 ——為信號(hào)的最高頻率分量。由上圖可見(jiàn)，當(dāng) 時(shí)，也就是采樣頻率 時(shí)，可以通過(guò)加一理想低通濾波器提取主分量 ，濾除掉全部m≥1的高頻分量 ，從而由 恢復(fù)原信號(hào)在理論上無(wú)誤差。實(shí)際工程中的低通濾波器不可能有理想的低通特性，故采樣頻率需要更高，通常為

。B頻率混淆(混疊)(aliasing)不滿(mǎn)足采樣定理，即假若采樣頻率，也是隔

，如上圖(c)所示。在每 重復(fù)出現(xiàn)譜線(xiàn)時(shí)均產(chǎn)生譜線(xiàn)的交疊。影響最大的是的高頻分量“混疊”進(jìn)人主周期內(nèi)被誤認(rèn)為是低頻主分量，這時(shí) 的譜線(xiàn)中增加了混入的譜線(xiàn) ，即使采用理想低通濾波器也不可能將混入的高頻分量從主分量中去除掉，因而由混入了高頻分量的主分量重現(xiàn)原信號(hào)在理論上存在誤差。

例如：對(duì)一個(gè)信號(hào)采樣，采樣率為100Hz,對(duì)于信號(hào)中的f=25，70，160，510Hz的頻率分量，

則混疊頻率為：25（無(wú)混疊），30，40，10Hz。以上例子的計(jì)算公式為：

C預(yù)濾波器在以計(jì)算機(jī)為中心的測(cè)試系統(tǒng)中，在采樣之前，傳感器之后設(shè)置一低通濾波器，該濾波器就稱(chēng)為預(yù)濾波器。由預(yù)波器的截止頻率 ，來(lái)確定信號(hào)的最高頻率 ，即這時(shí)令采樣頻率遵守采樣定理這時(shí)令采樣頻率遵守采樣定理

則采樣信號(hào) 的頻譜不會(huì)發(fā)生重疊現(xiàn)象，如下圖所示，主周期中的主分量沒(méi)有高頻分量混入?！鲱A(yù)濾波器截止頻率

時(shí)采樣信號(hào)的頻譜消除了譜線(xiàn)交疊區(qū)

例如：在對(duì)飛機(jī)發(fā)電機(jī)發(fā)出的頻率為400Hz（基頻）的交流信號(hào)進(jìn)行分析時(shí)，為了分析出其中的

N次諧波，采樣頻率至少為2×N×400Hz。7）離散傅里葉變換(DFT)

離散傅里葉變換(DFT)是指用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)由下式所表示的傅里葉正、反變換的數(shù)值計(jì)算。A離散傅里葉變換的步驟與譜線(xiàn)特點(diǎn)

欲對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào) 用計(jì)算機(jī)進(jìn)行離散傅里葉變換，首先經(jīng)采樣器對(duì)它進(jìn)行采樣，滿(mǎn)足采樣，為采樣間隔，從而，它是一個(gè)無(wú)限定理的采樣頻率為獲得時(shí)間離散的采樣信號(hào)長(zhǎng)的離散的時(shí)間序列，

。

實(shí)際上，只能對(duì)有限長(zhǎng)的信號(hào)進(jìn)行分析與處理，所以必須對(duì)無(wú)限長(zhǎng)離散時(shí)間序列截?cái)啵蝗∮邢迺r(shí)間 中的 個(gè)數(shù)據(jù)

， 。這樣無(wú)限長(zhǎng)連續(xù)時(shí)間信號(hào)時(shí)間序列就變成了有限長(zhǎng)，這等效于將負(fù)方向開(kāi)拓為重復(fù)周期為的離散

沿時(shí)間軸的正的周期信號(hào)。因此其頻譜的特點(diǎn)是具有離散性、諧波性、周期性。的等效

①離散性因?yàn)槭蔷哂兄貜?fù)周期周期信號(hào)，故是離散頻譜?；l率基波角頻率、譜線(xiàn)間隔二次諧波角頻率離散的頻k次諧波角頻率

譜線(xiàn)只出現(xiàn)在率點(diǎn)上。是基波

②

諧波性 諧波頻率頻率 的整數(shù)倍。為離散時(shí)間采樣信號(hào)，在頻域沿頻軸點(diǎn)上重復(fù)出現(xiàn)③

周期性 由于采樣，將連續(xù)時(shí)間信號(hào)

變，，每隔 ，也即在使原信號(hào)的頻譜出現(xiàn)周期性；這就是說(shuō)，時(shí)，第 次諧波頻率等于采當(dāng)諧波次數(shù)樣頻率，即(采樣頻率)可獲得，這表明在頻段條譜線(xiàn)。B離散傅立葉變換定義式

由無(wú)限長(zhǎng)采樣信號(hào)有限長(zhǎng)采樣時(shí)間序列的傅里葉變換出發(fā)推導(dǎo)的離散傅里葉變換定寫(xiě)義式。重 對(duì)的傅里葉變換:(根據(jù)的抽樣特性而得)點(diǎn)

當(dāng)采樣 ，共有 個(gè)，即無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)截?cái)嗪笞優(yōu)橹芷谛盘?hào)。譜由連續(xù)譜變?yōu)殡x散譜，即 ，于是有離散傅里葉變換定義式如下

式中 ——復(fù)數(shù)因子，復(fù)數(shù)因子具有周期性，故可進(jìn)一步說(shuō)明頻譜 具有周期性如下：值，放大C離散傅立葉逆變換定義式由主周期頻譜 求時(shí)域序列 倍為因?yàn)?，代入上式后得于是得離散傅立葉變換對(duì)如下：正變換反變換其中D

DFT的計(jì)算次數(shù)由離散傅立葉變換公式可知，計(jì)算一條譜線(xiàn)值需進(jìn)行 次乘法，需進(jìn)行 次乘法次加法，條譜線(xiàn)則次加法。當(dāng) ，需進(jìn)行2096068次運(yùn)算。

如此多的計(jì)算次數(shù)使DFT不可能在實(shí)際工程中得到應(yīng)用，因而出現(xiàn)了各種用于減少DFT計(jì)算次數(shù)的算法，如基2時(shí)間偶奇分解算法等等。那些能夠減少計(jì)算次數(shù)、縮短運(yùn)算時(shí)間、能在工程實(shí)際中用來(lái)實(shí)現(xiàn)DFT計(jì)算的快速算法就稱(chēng)為快速傅里葉變換，簡(jiǎn)稱(chēng)FFT。已有各種實(shí)用軟件可供利用。為8)信號(hào)的頻譜分析

利用計(jì)算機(jī)對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析已有現(xiàn)成的

FFT軟件。問(wèn)題在于如何選取采樣間隔(或采樣頻率)，取多少個(gè)采樣點(diǎn)，截取長(zhǎng)度應(yīng)多大，以使頻譜分析保證一定的精度。A柵欄效應(yīng)

對(duì)于一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的信號(hào)其頻譜是連續(xù)的，要利用計(jì)算機(jī)對(duì)它進(jìn)行頻譜分析時(shí)，必須將它截?cái)啵蛊涑蔀橛邢揲L(zhǎng)度 的信號(hào)。這樣，經(jīng)過(guò)有限截取的信號(hào)就轉(zhuǎn)化為周期是 的周期信號(hào)。相應(yīng)地，頻譜由原來(lái)的連續(xù)譜變成離散譜。于是，在離散譜線(xiàn)之間的頻率分量就被“擋住”而損失掉，這種現(xiàn)象稱(chēng)為柵欄效應(yīng)。

如：截取信號(hào)長(zhǎng)度 ，則可獲得譜線(xiàn)的頻率為：2Hz(基波)，4Hz，6Hz，8Hz，10Hz，12Hz，…。

如果信號(hào)有7Hz的峰值分量，則被柵欄檔住而無(wú)法檢驗(yàn)出來(lái)。這種情況可以通過(guò)提高頻譜的分辨率 來(lái)改善。

增大 將會(huì)減小采樣頻率，故需注意必須保證滿(mǎn)足采樣定理。增大 ；要注意滿(mǎn)足要求(對(duì)于基2FFT)。對(duì)某些衰減信號(hào)可以采取補(bǔ)零來(lái)增加 的數(shù)值。號(hào)被截?cái)?，相?dāng)于用矩形窗B泄漏

時(shí)域無(wú)限長(zhǎng)信函數(shù)

去乘 ，窗外時(shí)域信息全部損失，導(dǎo)致頻域增加頻率分量的現(xiàn)象。，截?cái)嘤嘞倚盘?hào)的頻譜及其頻譜及其頻譜如下①矩形窗函數(shù)

已知余弦信號(hào)矩形窗函數(shù)圖所示(c)矩形窗

(a)余弦信號(hào)(b)矩形窗函數(shù)截?cái)嘤嘞液瘮?shù)的頻譜截?cái)嗟挠嘞倚盘?hào)，

信號(hào) 為矩形窗函數(shù)可用下式表示根據(jù)頻移特性可得譜就是將的頻譜沿

信號(hào) 的頻頻率軸搬移±②