一維無限深勢阱的動(dòng)量幾率幅和等式型不確定關(guān)系

()大理學(xué)院荷花校區(qū)物理系,云南大理均根動(dòng)量.()中圖分類號:O41311文獻(xiàn)標(biāo)記碼:A文章編號:04ΔΔ普遍形式的不擬定關(guān)系px?h?/2x()ΔΔ體狀況下如單縫衍射、一維無限深勢阱、一維諧振子和氫原子等等px終究等于什么這個(gè)問題,在1把坐標(biāo)原點(diǎn)取在勢阱壁上,并使坐標(biāo)軸指向另一阱壁,則寬度為0,0<x<a;()函數(shù)x=根據(jù)薛定諤方程能夠解出勢阱中粒子的波函數(shù)?,x?0,x?aπ2/asinnx/a,0<x<a,n=1,2,3,;ψ()x=0,x?0,x?a.+?aπ2na22ψ()x?=x|x|dx=xsindx.x=??2a-aa+?2π11a2n22sinxdx-x-=a.22?2aa0π122n-11Δ()x=1-a.2212π2ΔΔ)(可見,x隨量子數(shù)n的增大而增大,當(dāng)n??時(shí),x?a/2n對于粒子被關(guān)在寬度為a的剛性直壁阱內(nèi)這種典型情形,粒粒子位置的不擬定范疇就等于a/23.對于上面討論的這種狀況來說,典型規(guī)律是量子規(guī)律在n03Y650A()作者介紹:羅凌霄1964—,男,副專家,理學(xué)學(xué)士2()ψ為方便起見,我們以p代表動(dòng)量在x軸上的投影動(dòng)量的本征函數(shù)及其共軛復(fù)數(shù)分別為x=xpii11px3-pxh?h?ψ(和x=eep1/21/2π(π()2h?a+?iπ12nx-px3h?ψψ()()=xxdx=esindx=cpp1/2??(πaa)-?02h?(π)cosn+pa/h?11211-+-1/2πππ2n/a+p/h?n/a+p/hn/a-p/h)??(π)(π)(π)sinn+pa/h?n-pa/h?sinn-pa/h?cos+i-πππn/a-p/hn/a+p/hn/a-p/h122413cc=++-pp22π(π)(π)2h2a?n/a+p/h?n/a-p/h?(π)(π)n/a+p/h?n/a-p/h?(π)(π)(π)2cosn+pa/h?2cosn+pa/h?2cosn-pa/---2(π)(π)(ππ))(n/a+p/h?n/a-p/h?n/a+p/h?n/a-p/h?(π)n/a+p/h?12(π)sinpa/h-n?(π)n-pa/han212cos?×-=22pa/h?+n2h?1(π)n/a-p/h?(π)pa/h?-n12(π)sinpa/h?+n21)(×2.2πpa/h-n?1(π)pa/h+?333?0,因此平均動(dòng)量p?=pccdp=0,于是動(dòng)由于是奇函數(shù),并且當(dāng)|p|??時(shí),pccpppppp+?+?2332=p?,()pccdp3pp?-?-2Δ()p,p=1122(π)(π)sinpa/h?-nsinpa/h?+n+?+?22dpdp)5=-.22π?π?pa/h-n?11pa/h?+n-?-?(π)(π)pa/h-npa/h+n??22()()根據(jù)2式和512(π)sinpa/h?-n+?+?2dp3ccdp=an/h?=pp2??π1pa/h?+n-?-?(π)pa/h-n?2112(π)(π)sinpa/h?-ndpa/h?-n+?22n.2?11-?π)(π)πpa/h?-npa/h?-n+n2n6式仍然成立.因此,當(dāng)n取非零整66()()把2式代入3式,得1122(π)(π)sinpa/h?+n-sinpa/h-n?22+?+?an2pdp2pdp2(Δ)p=+.22?π?π2?h1pa/h?+n1pa/?h-n-??(π)(π)pa/h?-npa/h?+n212(π)sinpa/h?-n2+?2pdpan2(Δ)p=.2?πh1pa/h+n??-?(π)npa/h-?21(π)τ令pa/h?-n=,則222222+?+?+?2ττπ)πτττsin4nh?sin[+n/2]4nh?1sind22(Δ)pτπττ=d=d+n.22222τπτπ?+n??+n4τττ-?-?-?aa22ττsinsinτττ()是奇函數(shù),并且當(dāng)||??時(shí),?0因此第一項(xiàng)積分等于零.再把6式代入其中,由于2222πnh?2(Δ)得p=,故動(dòng)量不擬定范疇2πnh?Δ)(p7=.可見,阱中粒子動(dòng)量的不擬定范疇與量子數(shù)n成正比,與阱的寬度為a的剛性直壁阱內(nèi)這種典型情形,由于粒子的動(dòng)量只能取p和-p并且取p和-p的幾率各為1/222()Δpp.與4式比較懂得,僅因此粒子的平均動(dòng)量p?=0方均根動(dòng)量=p,動(dòng)量的不擬定范疇p但是,按典型規(guī)律,p能夠連()ΔΔ續(xù)取值,因此p=p也能夠持續(xù)取值,然而按量子規(guī)律7式ΔπΔ典型規(guī)律畢竟不同.但是,當(dāng)a??時(shí),相鄰兩個(gè)p值的差別h?/?0,此時(shí)pa3一維無限深方形勢阱中粒子的等式型動(dòng)量-位置不擬定關(guān)系()()根據(jù)1式和722πh?nΔΔ()px=8-2,32π()ΔΔΔΔ(ΔΔ)/3-2h/2111357??可見px隨的增大而增大,并且沒有上限.px的最小值px=×h?2h?24λλ根據(jù)德布羅意公式=h/p和駐波條件a=n/2能夠推出πnh?()=9p.πnh?2()()()=,與9我們根據(jù)德布羅意公式和駐波條件根據(jù)4式和7式得到方均根動(dòng)量5結(jié)論()根據(jù)8式懂得,ΔΔΔΔ與量子數(shù)n密切相關(guān),n越大,px也就越大,并且沒有上限.但是px111357h?/2,比普遍形式的不確實(shí)關(guān)系給出的下限h?/2數(shù)有關(guān)的等式型關(guān)系式,是一件令人愉快的事情.些特殊狀況的等式型不擬定關(guān)系也同樣能夠被推導(dǎo)出來.()1馬文蔚.物理學(xué)教程下冊M.北京:高等教育出版社,.189—2周世勛.量子力學(xué)教程M.北京:高等教育出版社,1979.81—ThemomentumprobabilityamplitudeandtheformuncertaintyrelationofonedimensionalinfinitewellLUOLing2xiao()DepartmentofPhysics,DaliCollege,Dali671000Abstract:Themomentumprobabilityamplitudeandtheequalityformuncertaintyrelationofonedimensionalinfinitewellaregiven,aanomalousintegralformulaisdeduced,itshowthatthemomentumreckonedfromdeBroglieformulaandsta