南工程線性代數(shù)復(fù)習(xí)題期末復(fù)習(xí)題及參考答案

專升本-線性代數(shù)試題庫(kù)2.已知D=，則3.設(shè)三階行列式xyz=3，則-1-10A*=.-2B=.a1，a2線性表示.(12-2)10.設(shè)4元齊次線性方程組Ax=0，R(A)=2，a1,a2,a3為其解向量，且a1=(2,0,1,5)T，a2+a3=(2,0,1,6)T，則方程組的通解為.11.已知A2-2A-3E=O，則(A-2E)-1=. .(12-2)T都是矩陣A對(duì)應(yīng)特征值λ=2的特征向量，且β=a1-2a2，則向量Aβ=. .xyz234xyz234(A)若A豐O，且AB=O，則B=O;(B)(A+B)(A-B)=A2-B2;(C)若AB=AC，則B=C;(D)(A+E)(A-3E)=A2-2A-3E.(11)4.設(shè)矩陣A=||，則矩陣A的逆矩陣A-1=()（34)(4-1)(-41)(1-1)(-11)（-3(4-1)(-41)(1-1)(-11)（-31)（3-1)（-34)（3-4)5.設(shè)A、B均為同階方陣，則必有()(AB)T=ATBT；(C)(A+B)(A-B)=A2-B2；(D)AB=AB.7.下列關(guān)于矩陣的秩的性質(zhì)中，錯(cuò)誤的是(A)R(AB)=R(A);(B)R(AT(C)R(A,B)=R(A+B);(D)R(A+B)=R(A)+R(B9.下面的變換哪個(gè)不是初等變換11.已知n維向量組C1,C2,,Cm(m>n)，則()12.設(shè)mxn矩陣A的秩為R(A)=n-1，且ξ1、ξ2是非齊次方程Ax=b的兩個(gè)不同的解，則Ax=0的通解為()(A)kξ1,keR；(B)kξ2,keRC）k(ξ1-ξ2),keRD）k(ξ1+ξ2),keR.,ξ2,ξ3是齊次線性方程組Amxnx=0的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，且R(A)=n-3，則ξ1-ξ,ξ2-ξ,ξ2-ξ是方程組的①方陣A的屬于同一個(gè)特征值的特征向量必定線性相關(guān);②方陣A的屬于不同特征值的特征向量必定線性無(wú)關(guān);④兩個(gè)不同方陣的特征向量必定不同.(C)A的行向量組線性相關(guān);(D2-2x3|2-x3=0().16.設(shè)p是可逆陣A的對(duì)應(yīng)于特征值λ(λ士0)的特征向量，則p不一定是(A)(A+E)2;(B)-2A;(C)AT;(D)A*.18.如果A-E可逆，則()aa-baa-2-2-312-2-2-31202-1-21-24-1-2-2-31202-1-2(21-1)(14)4.解矩陣方程AX-B=O，其中A=210，B=-13.(033)(210)7.已知矩陣A滿足(A-2E)(2A+3E)=O，驗(yàn)證：A+E可逆，并求(A+E)-1.(2,-2,1)T,a2=(0,1,-1)T,試求常數(shù)k1,k2，使β=k1a1+k2a2是與a1正交的單位向量，并求β.(2-10)9.求矩陣A=-120的所有特征值與特征向量.(-211)10.求矩陣A=020的所有特征值與特征向量.(320)11.求矩陣A=230（002)|||23x4|12.求矩陣A=||23x4|||(1)||（4)|（4)(2) a2=-3||（1)(2)(5)(3)a3=，a5=-（3)（-12)（2（3)（-12)（2)(1)(3)(0)(1)(2)2345（4)（4)（2)（0)（6)一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示.a4=(0,-2,-1,-1)T；求（1）秩R(a1,a2,a3,a4)2）向量組a1,a2,a3,a4的一；（|23：（無(wú)解2）有惟一解3）有無(wú)窮多解？并求出通解.有惟一解3）有無(wú)窮多解？并求出通解.2323并在有無(wú)窮多解時(shí)求其通解.1.設(shè)向量β可由向量組a1,a2,a3線性表示，但不能由向量組a1,a2線性表示.求證：(1)a3不能由a1,a2線性表示，(2)a3可由a1,a2,β線性表示.3.設(shè)A2-3A+2E=O,證明A的特征值只能是1或2.線性無(wú)關(guān).2222543T;專升本-線性代數(shù)試題庫(kù)答案(15.|（3555)9) ; ;2.D;3.D;4.A;6A;i=2,3,4aaabaaabb000b00b0c0b0c0b00cb00c2+2baabc0b0cbaa0a0aa2c2.r1+2r2043013060212054543021254543421054004-30130-602-1-20-5454-302-1-2-545(21-114)(1-1132)(1-1132)(21-114)(1-1132)(1-1132)|(1-105|喻|0302)(42)|所以X=||(-23|因?yàn)?A-2E,A)=|1-130101-10)(1153031-0)(1153031-110120|3)323)321|所以B=|3)(10043-33)(10043-3喻010-11333)(1-10121-10)(1003-212-215-22)|-1)|10)|23)|3)03)0-113216．解:因?yàn)锳*A=|A|E=3E，由題可知ABA*所以3AB=6B+A，即(3A－6E)B=從而B=(3A－6E)-1A，(030210)(300120)(030210)(300120)||0)|-13)|(13230)7.證明:由((13230)所以(A+E)(2A-3E)=3E，即(A+E)(A-E)=E，從而A+E可逆，且(A+E)-1=A-E.(2r1)||8.解:β=|-2r1+r2|，1-r2)|由正交性得4r1+(4r1-2r2)+(r1-r2)=0，即r2=3r1，①由單位向量得(2r1)2+(-2r1+r2)2+(r1-r2)2=1，②(212)T(212)T(212)T(212)T2-λ-10-12-λ1-11-λ得A的特征值為λ1=λ2=1,λ3=3.9.解:由A-λE=-12-λ2-λ-10-12-λ1-11-λ得A的特征值為λ1=λ2=1,λ3=3.(1-10)(1-10)(1)(0)A-E=-110——r2(2)當(dāng)λ3=3時(shí),解(A-3E)x=0.(-1-10)(10-1)(1)A-3E=-1-10——r3=-1,屬于λ3=3的特征向量為k3p3(k3-2-λ11-413-λ得A的特征值為λ1=-1,λ2=λ3=2.（-414)（000)（-414)（000)(1)(-4(-4101r—喻(1(((400)),(1)(1)||對(duì)應(yīng)λ2=λ3=2的特征向量為k2p2+k3p3(k2,k3不全為0)11.解:由A-λE=(1-λ)(2-λ)(5-λ)=0，特征值為λ1=1,λ(1)當(dāng)λ1=1時(shí)，求(A-E)x=0的(110)(1)(2)當(dāng)λ2=2時(shí),求(A-2E)x=0的非零解.(100)(0)A-2E——r2(3)當(dāng)λ3=5時(shí),求(A-5E)x=0的非(1-10)(1)A-5E——r3(1 | |(1 | |0 |0 |21-1x-2-212.解：A喻12.解：A喻2||04)（0(3)當(dāng)x=1且y=2時(shí)，R(A)=2；A=(a,a,a(12253)||r4+(r3+r1)|0-1-916-10|(12253)r4-r1|0-1-916-10|喻|00-4692-46|(1005-1)||||(2)一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組為a1,a2,a3；|1-1y||002-y)R(A)=3；(1||3|23-412-58-353)26-4(1||0|2100291053)-21|00)=-1|2|（4307403121-1202) 5| 6),a2,a3,a4,a5)(13012)(13012)（08242)（00000)(100-1545喻|001-2535|喻|001-2535|||(2)一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組為a1,a2,a3；且a4=-a1+a2-a3，a5=a1+a2+a3.(1-120)(1-120)(1-120)（011-1)（011-1)（001-1)(1-120)(1-120)(1002)|002-2||001-1||001-1|（001-1)（0000)（0000)所以(1)R(a1,a2,a3,a4)=3；(2)a1,a2,a3為一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組（不惟一=2a-a3(1(1)|||||-20.（)kk2kk-1k2(k-1)k=k00k-11010k-2(01-1-1)(2010)解.=13x1|x3lx3,所以原方程組的通解為x=c(11-11)(11-11)(11-11)0a-b1.(- (1)((a(x1)(0)(x1)(0)得到同解方程組為〈|（x3)（1)（x3)（1)2數(shù))