考研數(shù)學二(解答題)高頻考點模擬試卷82(題后含答案及解析)

考研數(shù)學二（解答題）高頻考點模擬試卷82(題后含答案及解析)題型有：1.1．求極限正確答案：這是求型極限，用洛必達法則得涉及知識點：極限、連續(xù)與求極限的方法2．已知y=∫11①其中t=t(x)由②確定，求正確答案：由①式給出y=y(t)，由參數(shù)式②給出t=t(x)．于是y(t)與t=t(x)復(fù)合的結(jié)果y是x的函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可得是變限積分求導(dǎo)，求是參數(shù)式求導(dǎo)．由①式得．由②得因此涉及知識點：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分概念及其計算3．設(shè)曲線f(x)=xn在點(1，1)處的切線與x軸的交點為(xn，0)，n=1，2，…，計算正確答案：由導(dǎo)數(shù)幾何意義，曲線f(x)=xn在點(1，1)處的切線斜率所以切線方程為y=1+n(x一1)，令y=0解得因此涉及知識點：一元函數(shù)微分學4．設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=正確答案：令則F(1)=F(0)=0．在區(qū)間上分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，將上面兩個等式相加涉及知識點：一元函數(shù)微分學5．設(shè)f(x)=處處可導(dǎo)，確定常數(shù)a，b，并求f’(x)．正確答案：由f(x)在x=0處連續(xù)，得b=0由f(x)在x=0處可導(dǎo)，得a=2，涉及知識點：高等數(shù)學部分6．計算曲線(0≤x≤π)的弧長．正確答案：涉及知識點：高等數(shù)學7．設(shè)f(x)可導(dǎo)，證明：f(x)的兩個零點之間一定有f(x)+f’(x)的零點．正確答案：構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)ex，由于f(x)可導(dǎo)，故F(x)可導(dǎo)，設(shè)x1和x2為f(x)的兩個零點，且x1＜x2，則F(x)在[x1，x2]上滿足羅爾定理條件，由羅爾定理，至少存在一點ξ∈(x1，x2)，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)eξ+f(ξ)eξ=eξ[f’(ξ)+f(ξ)]=0．由于eξ≠0，因此必有f’(ξ)+f(ξ)=0．所以f(x)的兩個零點之間一定有f(x)+f’(x)的零點．解析：f(x)的兩個零點x1，x2(不妨設(shè)x1＜x2)之間有f(x)+f’(x)的零點問題，相當于在(x1，x2)內(nèi)有f(x)+f’(x)=0的點存在的問題．若能構(gòu)造一個函數(shù)F(x)，使F’(x)=[f(x)+f’(x)]φ(x)，而φ(x)≠0，則問題可以得到解決．由(ex)’=ex可以得到啟發(fā)，令F(x)=f(x)ex．知識模塊：一元函數(shù)微分學8．設(shè)f(x)為非負連續(xù)函數(shù)，且滿足f(x)∫0xf(x－t)dt=sin4x，求f(x)在上的平均值．正確答案：令x－t=u，則∫0xf(x－t)dt=∫0xf(u)du．于是f(x)∫0xf(u)du=sin4x，d[∫0xf(u)du]2=2sin4xdx．涉及知識點：一元函數(shù)積分概念、計算及應(yīng)用9．正確答案：涉及知識點：不定積分10．求∫-11(2＋sinχ)dχ．正確答案：涉及知識點：定積分及應(yīng)用11．正確答案：涉及知識點：二重積分12．設(shè)直線y＝aχ與拋物線y＝χ2所圍成的圖形面積為S1，它們與直線χ＝1所圍成的圖形面積為S2，且a＜1．(1)確定a，使S1＋S2達到最小，并求出最小值；(2)求該最小值所對應(yīng)的平面圖形繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：(1)直線y＝aχ與拋物線y＝χ2的交點為(0，0)，(a，a2)．當＜a＜1時，S＝S1＋S2＝∫0a(aχ－χ2)dχ＋∫a1(χ2－aχ)dχ＝，令S′＝a2－＝0得a＝，因為＞0，所以a＝時，S1＋S2取到最小值，此時最小值為當a≤0時，因為S′＝－(a2＋1)＜0，所以S(a)單調(diào)減少，故a＝0時S1＋S2取最小值，而S(0)＝因為＝S(0)，所以當a＝時，S1＋S2最小?(2)旋轉(zhuǎn)體的體積為Vχ＝涉及知識點：一元函數(shù)積分學設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)．13．求初值問題的解，其中a>0；正確答案：y’+ay=f(x)的通解為y=[∫0xf(t)eatdt+C]e-ax，由y(0)=0得C=0，所以y=e-ax∫0xf(t)eatdt．涉及知識點：高等數(shù)學部分14．若｜f(x)｜≤k，證明：當x≥0時，有正確答案：當x≥0時，｜y｜=e-ax｜∫0xf(t)eatdt｜≤eax∫0xke-atdt=涉及知識點：高等數(shù)學部分15．設(shè)f(x)是以4為周期的可導(dǎo)函數(shù)，f(1)=，求y=f(x)在(5，f(