新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)課時分層作業(yè)6等差數(shù)列前n項和的最值及應(yīng)用新人教A版選擇性必修第二冊

課時分層作業(yè)(六)等差數(shù)列前n項和的最值及應(yīng)用一、選擇題1．已知數(shù)列{an}滿足an＝26－2n，則使其前n項和Sn取最大值的n的值為()A．11或12 B．12C．13 D．12或132．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝10，公差d＝－72，則Sn取得最大值時n的值為(A．3 B．4C．5 D．63．現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數(shù)為()A．9 B．10C．19 D．294．《周髀算經(jīng)》有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問芒種日影長為()A．一尺五寸 B．二尺五寸C．三尺五寸 D．四尺五寸5．(多選)已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，前n項和為Sn，滿足a1＋5a3＝S8，下列選項正確的有()A．a(chǎn)10＝0 B．S7＝S12C．S10最小 D．S20＝0二、填空題6．若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時，數(shù)列{an}的前n項和最大．7．在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時，Sn取得最大值，則公差d的取值范圍是________．8．在等差數(shù)列{an}中，a3＋a10＝5，a7＝1，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則Sn的最大值為________．三、解答題9．某人用分期付款的方式購買一件家電，價格為1150元，購買當(dāng)天先付150元，以后每月的這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%.若交付150元后的一個月開始算分期付款的第一個月，則分期付款的第10個月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實際花費多少錢？10．《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對我國民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識起到了很大的作用．在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．在這個問題中，記這位公公的第n個兒子的年齡為an，則a1＝()A．35 B．32C．23 D．3811．(多選)設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項和，則下列命題中正確的是()A．若d＜0，則數(shù)列{Sn}有最大項B．若數(shù)列{Sn}有最大項，則d＜0C．若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則對任意n∈N*，均有Sn＞0D．若對任意n∈N*，均有Sn＞0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列12．(多選)設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，a1＞0且S6＝S9，則()A．d＞0B．a(chǎn)8＝0C．S7或S8為Sn的最大值D．S5＞S613．植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植樹一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一棵樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，此最小值為________米．14．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的取值范圍；(2)該數(shù)列的前幾項和最大？15．在①an＋1－an＝－19，②an＋1＝an＋n－8設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝9，________，求{an}的通項公式，并判斷Sn是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，說明理由．課時分層作業(yè)(六)1．D[∵a1＝24>0，d＝－2<0，且a13＝0，∴S12＝S13，∴n＝12或13時，Sn取最大值．故選D.]2．A[∵a1＝10，d＝－72∴Sn＝10n＋nn-12×-72＝－7∵n∈N*，拋物線y＝－74x2＋474x的對稱軸為直線x＝∴當(dāng)n＝3時，Sn取得最大值為392.故選3．B[鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數(shù)組成了一個等差數(shù)列，最上面一層鋼管數(shù)為1，逐層增加1個．∴鋼管總數(shù)為：1＋2＋3＋…＋n＝nn+當(dāng)n＝19時，S19＝190.當(dāng)n＝20時，S20＝210>200.∴n＝19時，剩余鋼管根數(shù)最少，為10根．]4．B[由題知各節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列，設(shè)為{an}，Sn是其前n項和，則S9＝9a1+a92＝9a5＝85.5(尺)，所以a5＝9.5(尺)，由題知a1＋a4＋a7＝3a4＝31.5(尺)，所以a4＝10.5(尺)，所以公差d＝a5－a4＝－1，所以a12＝a5＋7d5．AB[因為{an}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由a1＋5a3＝S8，可得a1＋9d＝0，即a10＝0，即選項A正確；又S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，即選項B正確；當(dāng)d>0時，則S9或S10最小，當(dāng)d<0時，則S9或S10最大，即選項C錯誤；又因為S19＝19a10＝0，a20≠0，所以S20≠0，即選項D錯誤．故選AB.]6．8[∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0.故前8項的和最大．]7．-1，-78[由題意，當(dāng)且僅當(dāng)n＝可知d<0，解得－1<d<－788．70[設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.則2a1所以Sn＝na1＋nn-12d＝－32n因為二次函數(shù)y＝－32x2＋412x圖象的對稱軸為直線x＝416，n∈所以當(dāng)n＝7時，(Sn)max＝70.]9．解：設(shè)每次交款數(shù)額依次為a1，a2，…，a20，則a1＝50＋1000×1%＝60(元)，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)，…，a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)，即第10個月應(yīng)付款55.5元．由題知，20個月貸款還清．由于{an}是以60為首項，以－0.5為公差的等差數(shù)列，所以有S20＝60+60-19×0.即全部付清后實際付款1105＋150＝1255(元)．10．A[由題意可知，九個兒子的年齡成公差d＝－3的等差數(shù)列，且九項之和為207.故S9＝9a1＋9×82d＝9a1－108＝207，解得a11．ABD[顯然Sn對應(yīng)的二次函數(shù)有最大值時d＜0，且若d＜0，則Sn有最大值，故A，B正確．又若對任意n∈N*，Sn＞0，則a1＞0，d＞0，{Sn}必為遞增數(shù)列，故D正確．而對于C項，令Sn＝n2－2n，則數(shù)列{Sn}遞增，但S1＝－1＜0，故C不正確．]12．BC[因為Sn＝na1＋nn-12d，所以Sn＝d2n則Sn是關(guān)于n(n∈N*，n≠0)的一個二次函數(shù)，又a1＞0且S6＝S9，對稱軸n＝6+92＝152，開口向下，則d又n為整數(shù)，所以Sn在[1，7]上單調(diào)遞增，在[8，＋∞)上單調(diào)遞減，所以S5＜S6，故D錯誤；所以最靠近152的整數(shù)n＝7或n＝8時，Sn最大，故C正確；由題意知a7＋a8＋a9＝0，∴a8＝0，故B正確．故選13．2000[假設(shè)20位同學(xué)是1號到20號依次排列，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，則樹苗需放在第10或第11號樹坑旁，此時兩側(cè)的同學(xué)所走的路程分別組成以20為首項，20為公差的等差數(shù)列，故所有同學(xué)往返的總路程為S＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×14．解：(1)由a3＝12，S12＞0，S13＜0，得a1+解得－247＜d＜－故公差d的取值范圍是-24(2)法一：由題意可得d＜0，∴{an}為遞減數(shù)列．由S12＞0，S13＜0，可知在1≤n≤12中，必存在自然數(shù)n，使得an≥0，an＋1＜0，此時對應(yīng)的Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．∵S12=6a6+a7＞0，S13=13法二：解關(guān)于n的不等式組a得n由－247＜d＜－3，得n≤3－12d＜3＋123＝7，n＞2－12d＞2∴5.5＜n＜7.∵n∈N*，∴n＝6.故當(dāng)n＝6時，Sn最大，即前6項和最大．法三：Sn＝na1＋nn-12d＝n(12－2d)＋nn-12d＝d2n由－247＜d＜－3，知6＜125∴當(dāng)n＝6時，Sn最大，即前6項和最大．15．解：若選①：因為an＋1－an＝－19，a1＝9，所以{an}是首項為9，公差為－1所以an＝9＋(n－1)·-19＝－19n由－19n＋829≥0，得n≤82，又a82＝所以Sn存在最大值，且最大值為S81或S8