流體力學(xué)講義-第四章-恒定總流基本方程

PAGEPAGE31第四章恒定總流基本方程

本章是流體力學(xué)在工程上應(yīng)用的基礎(chǔ)。它主要利用歐拉法的基本概念，引入了總流分析方法及總流運動的三個基本方程式：連續(xù)性方程、能量方程和動量方程，并且闡明了三個基本方程在工程應(yīng)用上的分析計算方法。第一節(jié)

總流分析法一、概念

1.流管（streamtube):在流場中取任一封閉曲線（不是流線），通過該封閉曲線的每一點作流線，這些流線所組成的管狀空間稱為流管。

判斷：棱柱形明渠不存在流管。錯圖4-1流管與元流圖4-2

2.元流（tubeflow)

流管中的液流稱為元流或微小流束（圖4-1）。

元流的極限是一條流線（圖4-2）。

3.總流（totalflow）：把流管取在運動液體的邊界上，則邊界內(nèi)整股液流的流束稱為總流。

4.過水?dāng)嗝妫╟rosssection）：即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流動方向的橫斷面，如圖4-3中的1-1，2-2斷面。

判斷：均勻流過水?dāng)嗝媸且黄矫妫瑵u變流過水?dāng)嗝娼破矫?。?/p>

5.控制體：即在流場中劃定的一個固定的空間區(qū)域，該區(qū)域完全被流動流體所充滿。

6.控制斷面：即控制體（流管）有流體流進(jìn)流出的兩個斷面，如圖4-4中的3-3，4-4斷面。圖4-3過水?dāng)嗝鎴D4-4

總流、控制體與控制斷面

判斷：恒定總流的能量方程可通過元流的能量方程在整個總流上積分而得。對二、控制斷面的選取

1.漸變流的性質(zhì)

漸變流過水?dāng)嗝娼茷槠矫?，即漸變流是流線接近于平行直線的流動。均勻流是漸變流的極限。

動壓強特性：在漸變流同一過水?dāng)嗝嫔希?/p>

各點動壓強按靜壓強的規(guī)律（2-11）式分布，如圖4-5，即圖4-5求證：在恒定漸變流的同一過流斷面上各點動水壓強按靜水壓強規(guī)律分布，即：。

證明：列出z1方向的N—S方程有：

對恒定流，當(dāng)?shù)丶铀俣葹?；對漸變流，遷移加

速度近似為0，故根據(jù)歐拉加速度的定義：

又如圖4-6所示：

圖4-6

積分得：

即證。注：上述結(jié)論只適用于漸變流或均勻流的同一過水?dāng)嗝嫔系母鼽c，對不同過水?dāng)嗝?，其單位勢能往往不同。想一想：圖4-7中，過水?dāng)嗝嫔系膭訅簭姺植挤响o壓強分布規(guī)律的為：直管處彎管處圖4-7圖4-82.急變流動壓強特性：在斷面上有

因為急變流時，流線的曲率較大，沿垂直流向方向的加速度不能忽略，如圖4-8。

3.選取：控制斷面一般取在漸變流過水?dāng)嗝婊蚱錁O限情況均勻流斷面上。

問題1：

如圖所示管路系統(tǒng)中流體作實際運動，恒定。圓管等直徑，則下述判斷正確的是：A.該管路系統(tǒng)上點3和5的測壓管水頭相等；B.該管路系統(tǒng)上點7的測壓管水頭大于6點的測壓管水頭；C.該管路系統(tǒng)上點1的動水壓強p1=g水·h1；D.該管路系統(tǒng)上點2和8的動水壓強p1=p8=pa。問題2：

一等直徑水管，A-A為過流斷面，B-B為水平面，1,2,3,4為面上各點，各點的運動物理量有以下關(guān)系：A.；

B.；C.；

D.。問題3：

漸變流任意兩個過水?dāng)嗝娴?。錯三、流量與斷面平均流速

1.

流量（discharge）：是指單位時間內(nèi)通過河渠、管道等某一過水橫斷面的流體量。

體積流量（m3/s）：

（4-1）

質(zhì)量流量（kg/s）：

2.

斷面平均流速v

總流過水?dāng)嗝嫔细鼽c的流速是不相同的，所以常采用一個平均值來代替各點的實際流速，稱斷面平均流速v。

圖4-9中，

（4-2）圖4-9

幾何意義：以底為A，高為u的柱體體積等于流速分布曲面與過水?dāng)嗝嫠鶉傻捏w積。

想一想：為什么在總流分析法中需引入斷面平均流速？因為總流過水?dāng)嗝嫔细鼽c的流速是不相等的。為了簡化總流的計算，所以引入了斷面平均流速來代替各點的實際流速。四、動量及動量修正系數(shù)

動量（momentum)是物體運動的一種量度，是描述物體機械運動狀態(tài)的一個重要物理量。

元流中單位時間內(nèi)通過過水?dāng)嗝娴膭恿繛椋?/p>

總流通過整個過水?dāng)嗝娴膭恿恐禐椋ㄔ谶^水?dāng)嗝鎚n方向上）：

（4-3）

式中：β——動量修正系數(shù)，是指實際動量與按斷面平均流速計算的動量的比值，β＞1。對于層流：β=4/3；紊流：β=1.02~1.05，計算值一般取1.0。

可求證β＞1：

(因為)

得證。

動量修正系數(shù)是無量綱數(shù)，它的大小取決于總流過水?dāng)嗝娴牧魉俜植迹植荚骄鶆?，β值越小，越接近?.0。

五、動能及動能修正系數(shù)

動能（kineticenergy）：是指物體由于機械運動而具有的能量。

（4-4）

——單位重量流體的平均動能（流速水頭）。

——動能修正系數(shù)（層流α=2.0，紊流α=1.05~1.1，一般工程計算中常取α=1.0），是實際動能與按斷面平均流速計算的動能的比值，即

（因為）

動能修正系數(shù)是無量綱數(shù)，它的大小取決于總流過水?dāng)嗝嫔系牧魉俜植?，分布越均勻，α值越小，越接近?.0。層流與紊流的比較（圖4-10）圖4-10斷面流速分布動能修正系數(shù)動量修正系數(shù)圓管層流旋轉(zhuǎn)拋物面α=2.0β=4/3圓管紊流對數(shù)規(guī)律α=1.05~1.1β=1.02~1.05

想一想：動能校正系數(shù)α及動量校正系數(shù)β的物理意義是什么？

動能（動量）校正系數(shù)指按實際流速分布計算的動能（動量）與按斷面平均流速計算的動能（動量）的比值。六、總流分析方法

1.以元流為基礎(chǔ)；

2.控制斷面恒選在均勻流或漸變流斷面上。

3.有關(guān)物理量（如流速）斷面平均化。

判斷：當(dāng)流速分布比較均勻時，則動量修正系數(shù)越接近于零。錯第二節(jié)

連續(xù)性方程

取控制體，考慮到條件（1）在恒定流條件下，流管的形狀與位置不隨時間改變；（2）不可能有流體經(jīng)流管側(cè)面流進(jìn)或流出；（3）流體是連續(xù)介質(zhì)，元流內(nèi)部不存在空隙；（4）忽略質(zhì)量轉(zhuǎn)換成能量的可能。圖4-11根據(jù)質(zhì)量守恒原理（圖4-11）

（1）有固定邊界域的總流連續(xù)方程式

（4-5）

物理意義：流入控制體內(nèi)的凈質(zhì)量流量與控制體內(nèi)由于密度變化在單位時間里所增加的質(zhì)量相等。

適用范圍：恒定流、非恒定流、可壓縮、不可壓縮流體、理想流體、實際流體。

（2）恒定流的總流連續(xù)性方程

對于恒定流，有，則（4-5）式為

（4-6）

適用范圍：固定邊界內(nèi)所有恒定流，包括可壓縮或不可壓縮流體、理想流體、實際流體。

（3）不可壓縮流的總流連續(xù)性方程（圖4-12）：

對于不可壓縮流體有：ρ=const，則（4-5）式為圖4-12

（4-7）

或：

（4-8）

物理意義：對于不可壓縮流體，斷面平均流速與過水?dāng)嗝婷娣e成反比，即流線密集的地方流速大

，而流線疏展的地方流速小。

適用范圍：固定邊界內(nèi)的不可壓縮流體，包括恒定流、非恒定流、理想流體、實際流體。

（4）分叉流的總流連續(xù)性方程

（圖4-13）

（4-9）圖4-13

或：

（4-10）

或：

（4-11）

或：

（4-12）

式中：

n——支管數(shù)。流入節(jié)點的流量為“+”，流出節(jié)點的流量為“—”。

q——為節(jié)點流量。

問題：變直徑管的直徑d1=320mm，d2=160mm，流速υ1=1.5m/s，υ2為：

A.3m/s；

B.4m/s；

C.6m/s；

D.9m/s。

思考題：

不可壓縮總流的連續(xù)性方程與連續(xù)性微分方程有無聯(lián)系？

將連續(xù)性微分方程在微元體上積分，并引入斷面平均流速的定義，可得連續(xù)性方程。

設(shè)總流的體積為V,其微體積為dV，則有：

假定總流的表面積為s，其微面積為ds，根據(jù)數(shù)學(xué)分析中的高斯定理：

式中un為總流表面的法向分速，則

對于總流的形狀不隨時間改變的流動，注意到總流側(cè)面上的法向分速等于零，

而過水?dāng)嗝嫔系牧魉偌礊榉ㄏ蛄魉伲瑒t上式為

式中第一項為正值是因u2與A2的外法向一致，而第二項為負(fù)值是因u１與A１的外法向相反。

利用斷面平均流速的概念，上式可改寫為

或：

第三節(jié)

恒定總流能量方程一、實際流體元流能量方程

對圖4-14中控制體進(jìn)行受力分析（s方向）

兩端面積力：

重力：

粘滯性引起的摩阻力：

恒定流（)的加速度：

由牛頓第二定律

得：

（1）實際流體元流微分能量方程圖4-14

等式兩邊同除以ρgdA，并將代入得實際流體元流微分能量方程：

（4-13）

適用范圍：不可壓縮或可壓縮的恒定流。

（2）不可壓縮流體的元流能量方程

對于不可壓縮流體，有g(shù)=const，積分上式可得不可壓縮流體的元流能量方程：

（4-14）

式中：——比能損失，它表明：在實際流體流動中，由于粘性作用，一部分有效能因阻力作用作負(fù)功被轉(zhuǎn)化成熱能而消耗掉，造成流動流體能量的損失，即比能損失：

L——斷面1及2之間流程長度。

二、恒定總流能量方程1.恒定總流能量方程的推導(dǎo)

設(shè)元流的流量為dQ=u1dA1=u2dA2，則在上述元流能量方程（4-14）的等式兩端同乘以ρgdQ可得單位時間內(nèi)元流兩過水?dāng)嗝娴闹亓磕芰筷P(guān)系式：

然后沿總流過水?dāng)嗝嫔戏e分可得總流能量關(guān)系：

（1）勢能積分：在漸變流斷面或均勻流斷面上，有，則：

（2）動能積分：

（3）損失積分：

實際流體恒定總流的能量方程（對單位重流體而言）

(4-15)

式中：

z——比位能（位置水頭）

——比壓能（壓強水頭，測壓管高度）

——比動能（流速水頭）

——比勢能（測壓管水頭）

——總比能（總水頭）

——平均比能損失（水頭損失）,單位重流體克服流動阻力所做的功。

問題：水平放置的漸擴(kuò)管如圖所示，如忽略水頭損失，斷面形心點的壓強有以下關(guān)系：

A.p1>p2；

B.p1=p2；

C.p1<p2；

D.不定。

問題：

能量方程中表示：A.單位重量流體具有的機械能；B.單位質(zhì)量流體具有的機械能；C.單位體積流體具有的機械能；D.通過過流斷面單位重量流體的總機械能。判斷：

在位置高度相同，管徑相同的同一管道的兩斷面上，其勢能、動能都相等。錯運動水流的測壓管水頭線可以沿程上升，也可以沿程下降。你的回答：對

2.總流能量方程在推導(dǎo)過程中的限制條件

（1）恒定流；

（2）不可壓縮流體；

（3）質(zhì)量力只有重力；

（4）所選取的兩過水?dāng)嗝姹仨毷菨u變流斷面，但兩過水?dāng)嗝骈g可以是急變流。

（5）總流的流量沿程不變。

（6）兩過水?dāng)嗝骈g除了水頭損失以外，總流沒有能量的輸入或輸出。

（7）式中各項均為單位重流體的平均能（比能），對流體總重的能量方程應(yīng)各項乘以ρgQ，即：

（4-16）

3.能量方程的解題步驟

三選一列

1.選擇基準(zhǔn)面:基準(zhǔn)面可任意選定，但應(yīng)以簡化計算為原則。例如選過水?dāng)嗝嫘涡模▃=0），或選自由液面（p=0）等。

2.選擇計算斷面：計算斷面應(yīng)選擇均勻流斷面或漸變流斷面，并且應(yīng)選取已知量盡量多的斷面。

3.選擇計算點：管流通常選在管軸上，明渠流通常選在自由液面。對同一個方程，必須采用相同的壓強標(biāo)準(zhǔn)。

4.列能量方程解題

注意與連續(xù)性方程的聯(lián)合使用。

問題1：在應(yīng)用恒定總流的能量方程，可選用圖中的那幾個斷面，作為計算過水?dāng)嗝?。A.1，2，3，4，5；

B.1，3，5；C.2，4；

D.2，3，4。

例1：如圖所示的虹吸管泄水，已知斷面1,2及2,3的損失分別為hw1,2=0.6v2/(2g)和hw2,3=0.5v2/(2g)，試求斷面2的平均壓強。

解：取0-0，列斷面1，2的能量方程（取α1=α2=1）

（a）

而v2=v3=v（因d2=d1=d），因此可對斷面1，3寫出能量方程圖4-15

（b）

可得：

代入式（a）中得：

可見虹吸管頂部，相對壓強為負(fù)值，即出現(xiàn)真空。為使之不產(chǎn)生空化，應(yīng)控制虹吸管頂高（即吸出高），防止形成過大真空。例2：水深1.5m、水平截面積為3m×3m的水箱，箱底接一直徑為200mm，長為2m的豎直管，在水箱進(jìn)水量等于出水量情況下作恒定出流，略去水頭損失，試求點2的壓強。解根據(jù)題意和圖示，水流為恒定流；水箱表面，管子出口，管中點2所在斷面，都是漸變流斷面；符合總流能量方程應(yīng)用條件。水流不可壓縮，只受重力作用。

取漸變流斷面1-1,2-2和3-3。因為1-1斷面為水箱水面，較豎直管大得多，故流速水頭

可近似取。取

，并將基準(zhǔn)面O-O取在管子出口斷面3-3上，寫出斷面1-1和斷面3-3的總流能量方程（4-15）：

采用相對壓強

。將已知數(shù)據(jù)代入上式，

即得

由連續(xù)方程（4-7），可得。因此有。圖4-16

取斷面3-3為基準(zhǔn)面，取，寫斷面1-1和2-2的總流能量方程（4-15）：

將已知數(shù)據(jù)代入上式可得

所以其真空值為0.98N/cm2，或絕對值壓強為8.82N/cm2

。

上式說明點2壓強小于大氣壓強，其真空度為1m水柱，或絕對壓強相當(dāng)于10-1=9m水柱。例3：某一水庫的溢流壩，如圖所示。已知壩下游河床高程為105.0m,當(dāng)水庫水位為120.0m時，壩址處收縮過水?dāng)嗝嫣幍乃頷c=1.2m。設(shè)溢流壩的水頭損失。求壩址處斷面的平均流速。

解

由于溢流壩面水流為急變流，所以在距壩前一段距離處，取漸變流斷面1-1和在壩下游水流較平直的C處取斷面2-2。由于水庫的過水?dāng)嗝婷娣e大，流速水頭。圖4-17

水庫水位和下游河床高程都為已知，基準(zhǔn)面0-0取在下游河床底部。取，寫出總流能量方程

因為漸變流斷面上各點的單位勢能（）等于常數(shù)?？蛇x斷面上任一點求得其z和p值。為了計算方便，可選水面上一點，故可用相對壓強計算，該點動水壓強為零，即

又：

令。由圖可知

將以上已知數(shù)據(jù)代入總流量方程，得

解得壩址處的流速

不同固體邊界下的水頭線：圖4-18圖4-19注：出口為自由出流時，P-P線末端應(yīng)落在出口斷面的管軸線上。

不同出口流速時的水頭：下游水池流速為零下游水池流速不為零圖4-20圖4-21

即管道出口處的測管水頭線、總水頭線與下游水位持平。

即管道出口處的總水頭線高于下游水位。1.拿兩張薄紙，平行提在手中，當(dāng)用嘴順紙間縫隙吹氣時，問薄紙是不動、靠攏、還是張開？為什么？

靠攏；流速增大、壓強降低2.水流由等徑斜管的高處A流向低處B（不考慮水頭損失）。討論壓強出現(xiàn)以下三種情況時的情形：

pA>pB；pA=pB；pA<pB問題：水流由等徑斜管的高處A流向低處B（不考慮水頭損失）。

討論壓強出現(xiàn)以下三種情況時的情形：pA>pB；pA=pB；pA<pB參考答案：

pA>pB：A→B流動

pA=pB：A→B流動

pA<pB：

（pB

-pA）/g<(z1-z2)，A→B流動

（pB

-pA）/g=(z1-z2)，靜止

（pB

-pA）/g>(z1-z2)，B→A流動

3.恒定總流能量的限制條件有哪些？如何選取其計算斷面、基準(zhǔn)面、計算點、壓強？

參考答案：

恒定總流能量的限制條件有：

1）恒定流；

2）不可壓縮流體；

3）質(zhì)量力只有重力；

4）所選取的兩過水?dāng)嗝姹仨毷菨u變流斷面，但兩過水?dāng)嗝骈g可以是急變流。

5）總流的流量沿程不變。

6）兩過水?dāng)嗝骈g除了水頭損失以外，總流沒有能量的輸入或輸出。

7）式中各項均為單位重流體的平均能（比能），對流體總重的能量方程應(yīng)各項乘以ρgQ。

三選一列

1）選擇基準(zhǔn)面

基準(zhǔn)面可任意選定，但應(yīng)以簡化計算為原則。例如選自過水?dāng)嗝嫘涡模▃=0），或選自由液面（p=0）等。

2）選擇計算斷面：計算斷面應(yīng)選擇均勻流斷面或漸變流斷面，并且應(yīng)選取已知量盡量多的斷面。

3）選擇計算點：管流通常選在管軸上，明渠流通常選在自由液面上。

4）列能量方程解題

注意與連續(xù)性方程的聯(lián)合使用。

4.總流能量與元流能量方程有什么不同點？

參考答案：

1）以斷面的平均流速v代替元流中的點流速u；

2）以平均水頭損失hw代替元流的水頭損失h′w1.2

；

3）各項反映的是整股水流的能量代替某一元流的能量。三、水頭線

水頭線：沿程水頭（如總水頭或測壓管水頭）的變化曲線。

總水頭線是對應(yīng)的變化曲線，它代表水頭損失沿流程的分布狀況。

測壓管水頭線是對應(yīng)的變化曲線，它代表壓強沿流程的變化狀況。

水力坡度J：指單位長流程的平均水頭損失，即

測壓管水頭線坡度JP：單位長流程上的測壓管水頭線降落，用測壓管測量。圖4-23

虹吸管的水頭線與真空區(qū)

注意：1.理想流動流體的總水頭線為水平線；

2.實際流動流體的總水頭線恒為下降曲線；

3.測壓管水頭線可升、可降、可水平。

4.若是均勻流，則總水頭線平行于測壓管水頭線，即J=JP。

5.總水頭線和測壓管水頭線之間的距離為相應(yīng)段的流速水頭。

判斷：測壓管水頭線若低于管軸心，則該處水流一定處于真空狀態(tài)。對錯

測壓管水頭線可用來預(yù)測管線真空范圍，從而確定管線最高布置位置。

如下圖的左圖中，BC段由圖中測壓管水頭線可知：

即BC段壓強為真空。圖4-22

問題：粘性流體總水頭線沿程的變化是：

A.沿程下降；

B.沿程上升；

C.保持水平；

D.前三種情況都有可能。

問題：粘性流體測壓管水頭線的沿程變化是：A.沿程下降；B.沿程上升；C.保持水平；D.前三種情況都有可能。

例4：如圖所示為一流動系統(tǒng)，各種損失如圖中所示。AB段直徑d1=100mm，BC段直徑d2=150mm。試求：1）AB段流速v1,Q；2）繪制總水頭線和測壓管水頭線。圖4-24

解

寫1-1和2-2斷面能量方程（4-15），以O(shè)-O為基準(zhǔn)面。

?。?/p>

由連續(xù)性方程知

總水頭線斷面值的計算：

同理：

測壓管水頭線斷面值的計算：

圖4-25

現(xiàn)按一定的比例，將各值繪制在相應(yīng)斷面上，如圖所示。思考題：1.設(shè)有一水平壓力管流，當(dāng)不考慮水頭損失的影響時，其測壓管水頭線沿程下降、上升或水平的條件各是怎樣的？參考答案：

下降：壓強沿程減小。

例：收縮管

水平：壓強沿程不變。

例：管徑沿程不變

上升：壓強沿程增大。

例：擴(kuò)散管2.什么是水頭線？總水頭線與測壓管水頭線有何區(qū)別？

參考答案：水頭線：沿程水頭（如總水頭或測壓管水頭）的變化曲線?？偹^線是對應(yīng)的變化曲線，它代表水頭損失沿流程的分布狀況。測壓管水頭線是對應(yīng)的變化曲線，它代表壓強沿流程的變化狀況。四、能量方程的擴(kuò)展

1.分恒定流（4-19）（4-20）2.能量的輸入與輸出

在同一流動中，若另有機械能輸出（如水輪機），或輸入（如泵或風(fēng)機），則能量方程形式為：（4-21）

式中：+Hs——輸入流體的比能，

；

Np——泵輸入功率（軸功率），單位：N·m；ηp——泵效率。

-Hs——輸出流體的比能

；

Np——水輪機輸出功率，單位：N·m；η——水輪機效率。

例6：一抽水機管系（如圖），要求把下水池的水輸送到高池，兩池高差15m，流量Q=30l/s，水管內(nèi)徑d=150mm。泵的效率hp=0.76。設(shè)已知管路損失（泵損除外）為10v2/(2g)，試求軸功率。

解：取基準(zhǔn)面0-0及斷面1（位于低水池水面）及2（位于高水池水面）。設(shè)泵輸入單位重水流的能量為hp，取α1=α2=1，則能量方程有：

因z1=0，z2=15m，p1=p2=0，且過水?dāng)嗝婧艽?，v1≈v2≈0而管中流速：

圖4-26

故有：

得：hp=16.47N·m/N

所需軸功率Np為：

3.氣流的能量方程

總流的能量方程式（4-15）是對不可壓縮流體導(dǎo)出的，氣體是可壓縮流體，但是對流速不很大（u<60m/s）壓強變化不大的系統(tǒng)，如工業(yè)通風(fēng)管道、煙道等，氣流在運動過程中密度的變化很小，在這樣的條件下，伯努利方程仍可用于氣流。由于氣流的密部空氣的密度是相同的數(shù)量級，在用相對壓強進(jìn)行計算時，需要考慮外部大氣壓在不同高度的差值。

設(shè)恒定氣流如圖4-27，氣流的密度為ρ，外部空氣的密度為ρa

，過流斷面上計算點的絕對壓強為p1abs,p2abs

，列1-1和2-2斷面的能量方程方程式（4-15），且取α1=α2=1：

(4-22)

進(jìn)行氣流計算，通常把上式表示為壓強的形式

（4-23）

式中pw為壓強損失，pw

=ρghw圖4-27

將式（4-23）中的壓強用相對壓強p1,p2表示則

式中pa為z1處的大氣壓，為z2高程處的大氣壓，代入式（4-22），整理得

（4-24）

這里p1，p2稱為靜壓；稱為動壓。

（ρa-ρ）g為單位體積氣體所受有效浮力，（z2-z1）為氣體沿浮力方向升高的距離，乘積（ρa-ρ）g（z2-z1）為1-1斷面相對于2-2斷面單位體積氣體的位能，稱為位壓。

式（4-24）就是以相對壓強計算的氣流能量方程。當(dāng)氣流的密度和外界空氣的密度相同ρa=ρ，或兩計算點的高度相同z2=z1時，位壓項為零，式（4-24）簡化為

（4-25）式中靜壓與動壓之和稱為全壓。

當(dāng)氣流的密度遠(yuǎn)大于外界空氣的密度（ρ>>ρa），此時相當(dāng)于液體總流，式（4-24）中ρa可忽略不計，認(rèn)為各點的當(dāng)?shù)卮髿鈮合嗤?，式?-24）化簡為

除以ρg，即

（4-26）

由此可見，對于液體總流來說，壓強p1,p2不論是絕對壓強，還是相對壓強，能量方程的形式不變。

例5：自然排煙鍋爐如圖，煙囪直徑d=1m，煙氣流量Q=7.135m3/s，煙氣密度ρ=0.7kg/m3

，外部空氣密度ρa

=1.2kg/m3，煙囪的壓強損失

，為使煙囪底部入口斷面的真空度不小于10mm水柱。試求煙囪的高度H。

解：選煙囪底部斷面為1-1斷面，出口斷面為2-2斷面，因煙氣和外部空氣的密度不同，則

其中1-1斷面：

2-2斷面：代入上式圖4-28自然排煙鍋爐得H=32.63m。煙囪的高度須大于此值。

由此題可見p2=0，自然排煙鍋爐煙囪底部壓強為負(fù)壓p1<0，頂部出口壓強p2=0，且z2<z1，這種情況下，是位壓（ρa-ρ）g（z2-z1）提供了煙氣在煙囪內(nèi)向上流動的能量。因此，自然排煙需要有一定的位壓，為此煙氣要有一定的溫度，以保持有效浮力（ρa-ρ）g，同時煙囪還需要有一定的高度（z2-z1），否則將不能維持自然排煙。

五、能量方程的應(yīng)用

1.畢托管測速

當(dāng)水流受到迎面物體的阻礙，被迫向兩邊（或四周）分流（如圖4-29）時，在物體表面上受水流頂沖的A點流速等于零，稱為滯止點（或駐點）。在滯止點處水流的動能全部轉(zhuǎn)化為壓能。畢托管（圖4-30）就是利用這個原理制成的一種量測流速的儀器。圖4-29圖4-30

想一想：畢托管通常用來測量總水頭，而測壓管所測量的是測壓管水頭，兩者之差為流速水頭。

2.文丘里流量計

為確定管道流量，常用如圖所示的文丘里流量計測量。它由漸變管和壓差計兩部分組成。壓差計中的工作液體與被測液體或相同（圖4-31a），或不同（圖4-31b），測量大壓差常用水銀作為工作液體（圖4-31b）。

設(shè)已知管流流體為水，管徑d1,d2及壓差計的水頭差△h。則可確定通過的流量Q。（a）（b）圖4-31

取管軸0-0為基準(zhǔn)面，測壓管所在斷面1,2為計算斷面（符合漸變流），斷面的形心點為計算點，對斷面1,2寫能量方程（4-15），由于斷面1，2間的水頭損失很小，可視，取α1=α2=1，得

由此得：

故可解得：

因此：

（4-27）

式中,K對給定管徑是常量，稱為文丘里流量計常數(shù)。

實際流量：

μ——文丘里流量計系數(shù)，隨流動情況和管道收縮的幾何形狀而不同。

對水銀壓差計有：

考考你：文丘里流量計是通過被測兩個斷面的測壓管水頭差來測量計算管道的流量的。判斷：文丘里流量計公式（4-27）能不能用來測量計算傾斜管道中的流量？能3.射流器

圖4-32為射流器示意圖。其工作原理是利用水箱的水經(jīng)過噴嘴流出后，由于流速增加，壓力降低，便將真空室抽成真空。利用真空室形成的真空度，可以將一定深度的池水吸上，并與吸水管水流混合后從出水管一起流出。

已知：H=1m，h=5m，D=50mm，d=30mm，略去水頭損失，試求真空室中的真空值p2及出水管流量

解：取斷面1-1,2-2,3-3,4-4,5-5五個漸變流斷面，以噴嘴軸線0-0為基準(zhǔn)面，取動能修正系數(shù)α=1,列能量方程（4-15）式和連續(xù)性方程（4-9）有：

把H=1，h=5，E1=H，E4=-h，

圖4-32p2=p5

代入有：令Q1=kQ2得

解得：

所以真空室中的真空值為-5.00075m，出水管流量為0.007896m3/s。

以上計算抽取的介質(zhì)為液體，而在實際工程中多為氣體，氣體作為介質(zhì)時，其流量要大得多。最常見的應(yīng)用是：離心式水泵啟動前，須先在泵殼內(nèi)灌滿水，以排除空氣，然后才能啟動水泵，達(dá)到抽水的目的。在生產(chǎn)實踐中排除泵內(nèi)空氣的過程常借助射流器來完成。上圖所示為其裝置的示意圖，射流前將泵內(nèi)抽成真空，水池中的水即被吸出充滿泵殼內(nèi)。第四節(jié)

恒定總流動量方程

動量定理：質(zhì)量系的動量對時間的變化率等于作用于該質(zhì)點系的所有外力之矢量和，即：

如圖4-33從恒定總流中任取一束元流為控制體，dt時間內(nèi)，流體從1-2處流至1'-2'處。

dt時間內(nèi)元流的動量變化（恒定流）為

由動量定律得：

圖4-33

(1)

不可壓縮流體恒定元流動量方程

不可壓縮流體恒定流，有,且，則有

（4-29）

（2）不可壓縮流體恒定總流動量方程

（4-30）

或（4-31）

計算時β可取為1.0。

判斷：動量方程中只有力是有方向的，流速v可以以標(biāo)量表示。錯

式中：——作用于控制體內(nèi)流體的所有外力矢量和。該外力包括：

（1）作用在該控制體內(nèi)所有流體質(zhì)點的質(zhì)量力；

（2）作用在該控制體面上的所有表面力（動水壓力、切力）；

（3）四周邊界對水流的總作用力。

或：

適用范圍：

（1）理想流體、實際流體的不可壓縮恒定流。

（2）選擇的兩個過水?dāng)嗝鎽?yīng)是漸變流過水?dāng)嗝?，而過程可以不是漸變流。

（3）質(zhì)量力只有重力（4）沿程流量不發(fā)生變化；若流量變化，則方程為：

（4-32）

想一想：在應(yīng)用恒定總流動量方程時，為什么不必考慮水頭損失？

為內(nèi)力

動量方程的解題步驟

1.選脫離體

根據(jù)問題的要求，將所研究的兩個漸變流斷面之間的水體取為脫離體；

2.選坐標(biāo)系

選定坐標(biāo)軸的方向，確定各作用力及流速的投影的大小和方向；

3.作計算簡圖

分析脫離體受力情況，并在脫離體上標(biāo)出全部作用力的方向；

4.列動量方程解題

將各作用力及流速在坐標(biāo)軸上的投影代入動量方程求解。計算壓力時，壓強采用相對壓強計算。

注意與能量方程及連續(xù)性方程的聯(lián)合使用。

若由動量方程求出的力是負(fù)號，說明

所受的力的方向與假定方向相反

。

例1：如圖4-34所示，噴水推進(jìn)船，從前艙進(jìn)水，然后用泵及直徑為d=15cm的排水管從后艙排向水中。已知船速u1=36km/h，推進(jìn)力F=2kN。試求水泵的排水量及推進(jìn)裝置的效率。圖4-34

解：取船內(nèi)流管的全部內(nèi)壁輪廓為控制體，已知進(jìn)水速度為v1=36km/h=10m/s，設(shè)相對于船艇的排水速度為v2，排水量為Q，則由動量方程（4-30）得

代入已知數(shù)據(jù)，得

推進(jìn)裝置的輸出有效功率為（作用于船體）：

由發(fā)動機輸入到水力推進(jìn)裝置的輸入功率為：

故推進(jìn)裝置的效率為

例2：一水平放置的噴嘴將一水流射至正前方一光滑壁面后，將水流分為兩股，如圖4-35所示。已知d=40mm，Q=0.0252m3/s，水頭損失不計，求水流對光滑壁面的作用力R。

解：

1.取控制面：在楔體前后取緩變流斷面1與斷面2,3之間的水體為脫離體，作用于脫離體上的力有：

（1）斷面1,2,3及脫離體表面上的動水壓力P1,P2,P3及P均等于零（作用在大氣中）

（2）重力G，鉛垂向下

圖4-35（3）楔體對水流的反力R，待求。

2.取坐標(biāo)，列動量方程（4-31）：（1）

3.令β1=β2=β3=1.0，α1=α2=α3=1。列能量方程（4-15）：

代入（1）式可得：

水流對壁面的作用力R=-R′，大小相等，方向相反。

當(dāng)θ=60°時

R=252N

θ=90°時

R=504N

θ=180°時

R=1008N

例3：如圖4-36(a)所示有一高度為50mm，速度v為18m/s的單寬射流水股，沖擊在邊長為1.2m的光滑平板上，射流沿平板表面分成兩股。已知板與水流方向的夾角為30度,平板末端為鉸點.若忽略水流、空氣和平板的摩阻，且流動在同一水平面上，求：

（1）流量分配Q1和Q2；

（2）設(shè)射流沖擊點位于平板形心，若平板自重可忽略，A端應(yīng)施加多大的垂直力P，才能保持平板的平衡，圖4-36(b)；

（3）若B點不鉸接，平板與水流方向一致以u=8m/s運動時，水流作用在平板上的垂直力的大小。圖4-36(a)

解：1.選0-0,1-1,2-2斷面間水體為控制體，如圖所示取x,y直角坐標(biāo)。設(shè)平板作用在水股上的力為R（在y方向，無平板反力，忽略摩阻），沿y軸方向?qū)憚恿糠匠蹋?-31）

（1）

寫0-0,1-1斷面的能量方程（4-15）（沿流線）：

同理：

又β1=β2=β=1，則（1）式為：圖4-36(b)

∴

Qcos30°=Q1－Q2

(2)

由連續(xù)性方程（4-9）：Q=Q1+Q2

(3)

聯(lián)立（2）、（3）兩式

Q2=Q－Q1=0.067Q

2.沿x軸方向?qū)憚恿糠匠?4-31)式，如圖4-36(c)：圖4-36(c)

水對平板在x方向的沖擊力F為8100N，方向與R的方向相反?，F(xiàn)對B點取矩：∑MB=0

即：

∴P=4050N

3.當(dāng)平板以速度u=8m/s沿水流方向運動時，單位時間水流沖擊在平板上的質(zhì)量是ρA(v-u)，圖示控制體的相對速度v-u：寫x方向的動量方程：

當(dāng)平板運動時，水流作用在平板上的垂直作用力是2.5kN，作用方向與R相反。

例4

圖4-37為一滾水壩，上游水位因壩的阻擋而抬高，測得斷面1-1的水深為1.5m，下游斷面2-2水深為0.6m。略去水頭損失，求水流對1m壩寬（垂直紙面方向）的水平作用力F。

解

在壩前一段距離處，取漸變流斷面1-1；在壩下游水流較平直處，取斷面2-2。以壩基底部為基準(zhǔn)面0-0，設(shè)α1=α2=1，寫出總流能量方程（4-15）：

（1）

利用連續(xù)方程（4-9）：

取寬度為1m，得

代入（1）式：

圖4-37

得

1m壩寬的單寬流量

作用在斷面1-1上的水壓力

作用在斷面2-2上的水壓力

壩對水流作用力的合力為R，取斷面1-1和2-2之間的水流為隔離體（圖b),寫出總流動量方程（4-30）

得：

則水流對1m壩寬的作用力，方向與R相反。方

程應(yīng)用條件方程的意義常見待求問題備

注能量方程

恒定、不可壓縮流體；質(zhì)量力只有重力；計算斷面為漸變流斷面反映了液流中機械能和其他形式的能（主要是代表能量損失的熱能）間的守恒與轉(zhuǎn)化關(guān)系

動水壓強（或動水壓力）、斷面平均流速、流量、斷面之間的壓強差、平均動能差、機械能損失、水流流向等。1.選擇實例：

斷面：管子的出口斷面、表面為大氣壓的斷面等；

代表點：對于明渠流，可選自由液面上的點；對于管流，可選斷面的中心點；

2.注意點

兩漸變流斷面之間可以有急變流；當(dāng)有流量或能量輸入、輸出時，方程形式應(yīng)有所改變；壓強一般采用相對壓強。動量方程

恒定、不可壓縮流體，質(zhì)量力只有重力；計算斷面為漸變流斷面。

反映了液流與邊界上作用力之間的關(guān)系

液流對邊界的沖擊力，或邊界對液流的反作用力、已知全部作用力，求平均流速或流量等

作用于脫離體上的外力有：1）重力即為脫離體中的流體重量；2）兩端過水?dāng)嗝嫔系膭铀畨毫Γò挫o水壓強規(guī)律分布）；3）液流邊界作用于脫離體上的合力?？伎寄悖河蓜恿糠匠糖蟮玫牧θ魹樨?fù)值時說明什么問題？待求未知力的大小與脫離體的大小有無關(guān)系？應(yīng)用中如何選取脫離體？

參考答案方向反；無關(guān)（無重力時）；計算斷面與固體壁面本章小結(jié)一、幾個基本概念

1）元流（tubeflow）：充滿在流管中的液流稱為元流或微小流束。元流的極限是一條流線。無數(shù)元流之和就構(gòu)成總流。

2）過水?dāng)嗝妫╟rosssection）：即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流動方向的橫斷面，即與元流或總流的流線成正交的橫斷面稱為過水?dāng)嗝妗?/p>

3）點流速：流體流動中任一點的流速稱為點流速，常用u表示