雙曲線的簡單性質

讓我們一起研究：標準方程為:的雙曲線的性質。第一頁第二頁，共29頁。1、對稱性F2F1Oxy雙曲線關于y軸對稱。第二頁第三頁，共29頁。F2F1Oxy雙曲線關于x軸對稱。第三頁第四頁，共29頁。A2A1A2F2F1Oxy雙曲線關于原點對稱。第四頁第五頁，共29頁。F2F1Oxy1、對稱性雙曲線關于y軸、x軸、原點對稱。為什么？第五頁第六頁，共29頁。F2F1OA1A2xy2、范圍橫坐標的范圍：從而:x-a或x

a由式子知x-a或x

a所以

第六頁第七頁，共29頁。3、頂點OB2B1A1A2xy可得x=a從而：A1(-a,0),A2(a,0)也把B1(0,-b),B2(0,b)畫在y軸上在中令y=0，為雙曲線的頂點第七頁第八頁，共29頁。3、頂點OB2B1A1A2xy線段A1A2叫雙曲線的實軸;線段B1B2叫雙曲線的虛軸。長為2a長為2b第八頁第九頁，共29頁。4、離心率上面雙曲線的形狀有什么變化？怎樣刻畫它們的扁平程度？OA1A2y第九頁第十頁，共29頁。4、離心率雙曲線的焦距與長軸長的比稱為雙曲線的離心率，用e表示，即OA1A2ye變大，雙曲線的形狀會怎樣變化?第十頁第十一頁，共29頁。5、漸近線OB2B1A1A2xy紅色虛框的兩條對角線，為雙曲線的漸近線ab其方程為第十一頁第十二頁，共29頁。一般結論：雙曲線的漸近線為第十二頁第十三頁，共29頁。練習1、計算下列雙曲線的漸近線：你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？第十三頁第十四頁，共29頁。雙曲線的幾何性質讓我們一起來歸納一下第十四頁第十五頁，共29頁。雙曲線方程范圍對稱性

頂點

漸近線離心率

關于x軸、y軸、原點對稱(-a,0),(a,0)(0,-a),(0,a)第十五頁第十六頁，共29頁。例1、求雙曲線的實半軸長,虛半軸長,焦點坐標,離心率.漸近線方程。解：把方程化為標準方程：可得:實半軸長a=4虛半軸長b=3半焦距c=焦點坐標是(0,-5),(0,5)離心率:漸近線方程:第十六頁第十七頁，共29頁。練習1、求下面雙曲線的范圍，頂點坐標，焦點坐標，實軸長，虛軸長，焦距，離心率，漸近線方程。

9x2-y2=81焦點坐標是頂點坐標是(-3,0),(3,0),(0,-9),(0,9)實軸長2a=6，虛軸長2b=18，焦距2c=離心率e=漸近線方程:第十七頁第十八頁，共29頁。練習2：求適合下列條件的雙曲線的標準方程。(1)實軸在x軸上,離心率e=,b=2(3)過點(-1,3)和雙曲線

有共同的漸近線。(2)過點(3,4)且虛軸長為實軸長的2倍第十八頁第十九頁，共29頁。(1)實軸在x軸上,離心率e=,b=2(2)過點(3,4)且虛軸長為實軸長的2倍或第十九頁第二十頁，共29頁。(3)過點(-1,3)和雙曲線

有共同的漸近線。第二十頁第二十一頁，共29頁。例2、雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m，試選擇適當?shù)淖鴺讼?，求出此雙曲線的方程(精確到1m).xOyB12B’A’C’13AC25解：如圖，建立直角坐標系xoy，使小圓的直徑AA’在x軸上，圓心與原點重合，第二十一頁第二十二頁，共29頁。設雙曲線的方程為令C的坐標為(13,y),則B的坐標為(25,y-55)，將B、C坐標代入方程得①②xOyB12B’A’C’13AC25由方程②，得(負值舍去)第二十二頁第二十三頁，共29頁。xOyB12B’A’C’13AC25代入方程①得化簡得用計算器解得b≈25，所以所求雙曲線的方程為第二十三頁第二十四頁，共29頁。例3、點M(x,y)到定點F(5,0)的距離和它到定直線l:的距離的比是常數(shù)，求點M的軌跡。解：設d是點M到直線l的距離，根據(jù)題意，xOyMFHdl所求軌跡就是集合第二十四頁第二十五頁，共29頁。xOyMFHdl由此得將上式兩邊平方，并化簡得9x2-16y2=144，它是一條雙曲線。即第二十五頁第二十六頁，共29頁。小結第二十六頁第二十七頁，共29頁。雙曲線方程范圍對稱性