理論力學(xué)-動(dòng)量矩定理

動(dòng)力學(xué)西北工業(yè)大學(xué)支希哲朱西平侯美麗動(dòng)量矩定理§4-1動(dòng)量矩§4-2動(dòng)量矩定理§4-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理第四章動(dòng)量矩定理§4-5剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程動(dòng)力學(xué)§4-6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用目錄應(yīng)用動(dòng)量定理只能分析出其質(zhì)心加速度觀察貓的自由下落第四章動(dòng)量矩定理

動(dòng)量定理不能用于研究直升飛機(jī)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)第四章動(dòng)量矩定理

實(shí)際問題幾個(gè)實(shí)際問題第四章動(dòng)量矩定理

？誰(shuí)最先到達(dá)頂點(diǎn)？幾個(gè)實(shí)際問題第四章動(dòng)量矩定理

直升飛機(jī)如果沒有尾翼將發(fā)生什么現(xiàn)象？幾個(gè)實(shí)際問題第四章動(dòng)量矩定理

航天器是怎樣實(shí)現(xiàn)姿態(tài)控制的幾個(gè)實(shí)際問題第四章動(dòng)量矩定理

§4-1動(dòng)量矩§4-1動(dòng)量矩

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩

平動(dòng)剛體對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩的另一種表示§4-1動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)A的動(dòng)量mv

對(duì)點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)A對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩。MO(mv)=r

mv上式投影到各坐標(biāo)軸可得動(dòng)量mv

對(duì)各坐標(biāo)軸的矩。Mx(mv)=y(mvz）

z（mvy)My(mv)=z（mvx

）

x（mvz)Mz(mv)=x(mvy）

y（mvx)一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩一、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩

1.對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩2.對(duì)軸的動(dòng)量矩OAFxyzmvrMO(F)MO(mv)LO

=∑MO(mivi)=∑r

mivi類似的可得質(zhì)點(diǎn)系對(duì)各坐標(biāo)軸的動(dòng)量矩表達(dá)式Lx

=

∑Mx(mivi)Ly

=

∑My(mivi)Lz

=

∑Mz(mivi)

質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)某點(diǎn)O的動(dòng)量矩的矢量和，稱為這質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)O的動(dòng)量主矩或動(dòng)量矩。用LO表示，有§4-1動(dòng)量矩

1.對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩2.對(duì)軸的動(dòng)量矩二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩設(shè)剛體以速度

v

平動(dòng)，剛體內(nèi)任一點(diǎn)A的矢徑是ri

,該點(diǎn)的質(zhì)量為m，速度大小是vi

。LO=∑

MO(mivi)=∑(miri)×vC從而整個(gè)剛體對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩該質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩為MO(mivi)=ri

×mivi§4-1動(dòng)量矩OriAmivi因?yàn)閯傮w平動(dòng)vi=v=vCLO=∑

MO(mivi)=∑ri

×mivi又因?yàn)椤苖i

rC=∑miri所以LO=∑mi

rC

×vC=rC×∑mi

vC三、平動(dòng)剛體對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩設(shè)剛體以角速度

繞固定軸

z

轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體內(nèi)任一點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑是rz

。Mz(mv)=rz

·mrz

=mrz2

從而整個(gè)剛體對(duì)軸z

的動(dòng)量矩Lz

=∑Mz(mivi)=

∑miriz2=

Jz

即，作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩，等于這剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。該點(diǎn)的速度大小是v=rz

，方向同時(shí)垂直于軸z

和轉(zhuǎn)動(dòng)半徑rz，且指向轉(zhuǎn)動(dòng)前進(jìn)的一方。若用m

表示該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，則其動(dòng)量對(duì)轉(zhuǎn)軸z

的動(dòng)量矩為§4-1動(dòng)量矩17-9(b)ωAmvzrzO四、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩§4-1動(dòng)量矩一半徑為R、質(zhì)量為m1的勻質(zhì)圓盤與一長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m2的勻質(zhì)細(xì)桿相固連，以角速度

在鉛直面轉(zhuǎn)動(dòng)。試求該系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩。OCl解:

系統(tǒng)做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，該系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩

順時(shí)針。

思考題

思考題1§4-1動(dòng)量矩五、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩的另一種表示過固定點(diǎn)O建立固定坐標(biāo)系Oxyz，以質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心C為原點(diǎn)，取平動(dòng)坐標(biāo)系Cx

y

z

,質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩為L(zhǎng)C——質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心C的動(dòng)量矩可以證明在質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系下，質(zhì)點(diǎn)系的絕對(duì)動(dòng)量對(duì)質(zhì)心C的動(dòng)量矩=相對(duì)動(dòng)量對(duì)質(zhì)心C的動(dòng)量矩。即OAvxyzvCz'y'x'CvCvrrCrr上式即平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩計(jì)算公式§4-1動(dòng)量矩五、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩的另一種表示過固定點(diǎn)O建立固定坐標(biāo)系Oxyz，以質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心C為原點(diǎn)，取平動(dòng)坐標(biāo)系Cx

y

z

,它以質(zhì)心的速度vC

運(yùn)動(dòng)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)A在這平動(dòng)坐標(biāo)系中的相對(duì)速度是vr

,該點(diǎn)的絕對(duì)速度v=ve+vr=vc+vr

,則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩證明OAvxyzvCz'y'x'CvCvrrCrr§4-1動(dòng)量矩LC——質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心C

的動(dòng)量矩對(duì)上式各項(xiàng)分析00則上式可以寫為OAvxyzvCz'y'x'CvCvrrCrr一半徑為r的勻質(zhì)圓盤在水平面上純滾動(dòng)，如圖所示。已知圓盤對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO，角速度為

，質(zhì)心O點(diǎn)的速度為vO。試求圓盤對(duì)水平面上O1點(diǎn)的動(dòng)量矩。§4-1動(dòng)量矩

思考題

思考題2

OrvOO1

行星齒輪機(jī)構(gòu)在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。質(zhì)量為m1的均質(zhì)曲柄OA帶動(dòng)行星齒輪II在固定齒輪I上純滾動(dòng)。齒輪II的質(zhì)量為m2，半徑為r2。定齒輪I的半徑為r1。求輪II對(duì)軸O的動(dòng)量矩。ω0ⅠⅡOAPr1r2α

思考題3§4-1動(dòng)量矩ω2

思考題長(zhǎng)度為l，質(zhì)量不計(jì)的桿OA與半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤B在A處鉸接，桿OA有角速度ω

，輪B有相對(duì)桿OA的角速度ω

（逆時(shí)針向）。求圓盤對(duì)軸O的動(dòng)量矩。OθBAωω

思考題

思考題4§4-1動(dòng)量矩OθBAω長(zhǎng)度為l，質(zhì)量不計(jì)的桿OA與半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤B在A處固結(jié)，桿OA有角速度ω

，（逆時(shí)針向）。求圓盤對(duì)軸O的動(dòng)量矩。

思考題

思考題4§4-1動(dòng)量矩長(zhǎng)度為l，質(zhì)量不計(jì)的桿OA與半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤B在A處鉸接，桿OA有角速度ω

，輪B有相對(duì)桿OA的角速度－ω

。求圓盤對(duì)軸O的動(dòng)量矩。OθBAωω

思考題

思考題4§4-1動(dòng)量矩§4-2動(dòng)量矩定理

動(dòng)量矩定理

動(dòng)量矩守恒定理§4-2動(dòng)量矩定理1.對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理將其兩端求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，得一、動(dòng)量矩定理一、動(dòng)量矩定理

因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)系對(duì)定點(diǎn)O的動(dòng)量矩為其中可分為外力對(duì)O點(diǎn)的矩和內(nèi)力對(duì)O點(diǎn)的矩二項(xiàng)即而內(nèi)力對(duì)O點(diǎn)的矩所以有0§4-2動(dòng)量矩定理一、動(dòng)量矩定理1.對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理有結(jié)論質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定點(diǎn)的動(dòng)量矩隨時(shí)間的變化率,等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部外力對(duì)同一點(diǎn)的矩的矢量和，這就是質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。令，則有§4-2動(dòng)量矩定理一、動(dòng)量矩定理將上式投影到固定坐標(biāo)軸系上，注意到導(dǎo)數(shù)的投影等于投影的導(dǎo)數(shù)，則得1.對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理2.對(duì)定軸的動(dòng)量矩定理有結(jié)論質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定軸的動(dòng)量矩隨時(shí)間的變化率,等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部外力對(duì)同一軸的矩的代數(shù)和，這就是質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定軸的動(dòng)量矩定理。1.如果∑MO(Fi（e))

0，則由上面第一式可知，LO=常矢量。2.如果∑Mz

(F（e）)

0，則由上面第二式可知，Lz=常量?！?-2動(dòng)量矩定理對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理對(duì)定軸的動(dòng)量矩定理有結(jié)論如作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力對(duì)某固定點(diǎn)(或固定軸)的主矩始終等于零,則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)(或該軸)的動(dòng)量矩保持不變。這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒定理.它說明了質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒的條件。二、動(dòng)量矩守恒定理§4-2動(dòng)量矩定理

實(shí)例分析

實(shí)例之一：

爬繩比賽的力學(xué)分析§4-2動(dòng)量矩定理

實(shí)例分析

實(shí)例之一：

爬繩比賽的力學(xué)分析§4-2動(dòng)量矩定理

實(shí)例分析

實(shí)例之一：

爬繩比賽的力學(xué)分析初始靜止Lz0=0

把單擺看成一個(gè)在圓弧上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)

A，設(shè)其質(zhì)量為

m

，擺線長(zhǎng)

l。又設(shè)在任一瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)

A

具有速度

v

，擺線

OA

與鉛垂線的夾角是

。

例題4-1

試用動(dòng)量矩定理導(dǎo)出單擺(數(shù)學(xué)擺)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：

取通過懸點(diǎn)

O

而垂直于運(yùn)動(dòng)平面的固定軸z

作為矩軸，對(duì)此軸應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理§4-2動(dòng)量矩定理OAmgFvφl(shuí)例題4-1和從而可得化簡(jiǎn)即得單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程由于動(dòng)量矩和力矩分別是§4-2動(dòng)量矩定理OAmgFvφl(shuí)

例題4-1

例題4-2

摩擦離合器靠接合面的摩擦進(jìn)行傳動(dòng)。在接合前，已知主動(dòng)軸1以角速度

0轉(zhuǎn)動(dòng)，而從動(dòng)軸2處于靜止(圖a)。一經(jīng)結(jié)合，軸1

的轉(zhuǎn)速迅速減慢。軸2的轉(zhuǎn)速迅速加快，兩軸最后以共同角速度

轉(zhuǎn)動(dòng)(圖b)。已知軸1和軸2連同各自的附件對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別是J1和J2，試求接合后的共同角速度

，軸承的摩擦不計(jì)?！?-2動(dòng)量矩定理(a)(b)

012

12例題4-2離合器接合后，系統(tǒng)的動(dòng)量矩是(J1+J2)

。從而求得結(jié)合后的共同角速度顯然

的轉(zhuǎn)向與

0相同。

取軸1和軸2組成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象。解:§4-2動(dòng)量矩定理接合時(shí)作用在兩軸的外力對(duì)公共轉(zhuǎn)軸的矩都等于零，故系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的總動(dòng)量矩不變。接合前系統(tǒng)的動(dòng)量矩是(J1

0+J2

0)

。故由動(dòng)量矩守恒定理得

12

例題4-2例題4-3如圖所示，在靜止的水平勻質(zhì)圓盤上，一人沿盤邊緣由靜止開始相對(duì)盤以速度u行走，設(shè)人質(zhì)量為m2，盤的質(zhì)量為m1

，盤半徑r，摩擦不計(jì)。求盤的角速度。uABzrOω例題4-3§4-2動(dòng)量矩定理uABzrOω解：以人和盤為研究對(duì)象。FBzm2gFBxm1gFByFAxFAy初始靜止Lz0=0

例題4-3§4-2動(dòng)量矩定理例題4-4勻質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m。圓輪在重物P帶動(dòng)下繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重物重量為W。求重物下落的加速度。OPW例題4-4§4-2動(dòng)量矩定理

解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。圓輪對(duì)軸O的動(dòng)量矩重物對(duì)軸O的動(dòng)量矩系統(tǒng)對(duì)軸O的總動(dòng)量矩設(shè)圓輪的角速度和角加速度分別為

和

，重物的加速度為aP。順時(shí)針順時(shí)針順時(shí)針

vOPWaP

例題4-4§4-2動(dòng)量矩定理應(yīng)用動(dòng)量矩定理其中aP

=

R

系統(tǒng)對(duì)軸O的總動(dòng)量矩有得所以求得重物下落的加速度大小

vOPWaP

例題4-4§4-2動(dòng)量矩定理第四章動(dòng)量矩定理

實(shí)例之一：

花樣跳水與花樣滑冰§4-2動(dòng)量矩定理

實(shí)例分析

實(shí)例之二：

直升機(jī)尾漿的平衡作用§4-2動(dòng)量矩定理

實(shí)例分析

實(shí)例之三：

航天器姿態(tài)控制的實(shí)現(xiàn)

實(shí)例分析第四章動(dòng)量矩定理

衛(wèi)星消旋

實(shí)例分析第四章動(dòng)量矩定理

例題4-5

兩個(gè)鼓輪固連在一起，其總質(zhì)量是

m

，對(duì)水平轉(zhuǎn)軸

O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是

JO。鼓輪的半徑是

r1

和

r2

。繩端懸掛的重物

A和

B

質(zhì)量分別是

m1

和

m2

(圖a)，且

m1

>

m2

。試求鼓輪的角加速度?！?-2動(dòng)量矩定理(a)OABr1r2例題4-5

取鼓輪，重物

A

，

B

和繩索為研究對(duì)象(圖b)。對(duì)鼓輪的轉(zhuǎn)軸

z

(垂直于圖面，指向讀者)應(yīng)用動(dòng)量矩定理，有解:§4-2動(dòng)量矩定理OABr1r2(b)v1

αv2m1gm0gm2gF0y系統(tǒng)的動(dòng)量矩由三部分組成，等于考慮到

v1

=

r1

，v2

=

r2

，則得

例題4-5從而求出鼓輪的角加速度方向?yàn)槟骁娤?。?-2動(dòng)量矩定理將式

(2)

和

(3)

代入方程即得OABr1r2(b)v1

αv2m1gm0gm2gF0y

例題4-5§4-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程§4-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

設(shè)剛體在主動(dòng)力F1,F2,···,Fn作用下繞定軸z

轉(zhuǎn)動(dòng)，與此同時(shí),軸承上產(chǎn)生了反力FA和FB。一、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程一、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程用Mz

=∑Mz(F(e))

表示作用在剛體上的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸

z

的主矩(反力FA,

FB自動(dòng)消去)。剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的動(dòng)量矩Lz

=Jzω于是根據(jù)動(dòng)量矩定理可得BωkxF1yzA

kF2FnFAxFAyFByFBzFBx考慮到則上式可寫成或即，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積,等于作用于剛體的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的主矩。這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程?！?-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程BωkxF1yzA

kF2FnFAxFAyFByFBzFBx定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程或§4-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程二、幾點(diǎn)討論1.若外力矩Mz

=0，剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)；2.若外力矩Mz

=常量，則剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)；3.若外力矩Mz

相同，Jz

越大，角加速度越小，即剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)變化的越慢，反之亦然，這正說明Jz

是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量。BωkxF1yzA

kF2FnFAxFAyFByFBzFBx

解：由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程即在什么條件下，F(xiàn)1=F2?α

mgOF1FF2vF1=F2條件為上式右端=0，則(1)m=0(2)R=0(3)α=0

思考題或或§4-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

例題4-6

已知電機(jī)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩MO與其角速度ω的關(guān)系為MO=MO1(1

ω/ω1)，其中MO1

表示電機(jī)的啟動(dòng)轉(zhuǎn)矩,ω1表示電機(jī)無(wú)負(fù)載時(shí)的空轉(zhuǎn)角速度,且MO1

和ω1都是已知常量。又作用在飛輪上的阻力矩MF可以認(rèn)為不變。電機(jī)軸連同其上的飛輪對(duì)軸O

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是JO

，試求當(dāng)MO>MF時(shí)電機(jī)啟動(dòng)后角速度ω隨時(shí)間t而變化的規(guī)律?！?-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程mgFxFyMrMOωO例題4-6

轉(zhuǎn)動(dòng)部分所受的外力矩有電機(jī)轉(zhuǎn)矩

MO

和阻力矩

MF

。解：故電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程可寫成§4-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程mgFxFyMrMOωO令則上式簡(jiǎn)寫成

例題4-6由題意

MO

>

MF

知，b

cω

>

0，故飛輪作加速轉(zhuǎn)動(dòng)。上式可分離變量而化為求積，有由此得§4-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程即mgFxFyMrMOωO

例題4-6最后求得飛輪角速度的變化規(guī)律可見,飛輪角速度將逐漸增大。當(dāng)

t→∞

時(shí)，上式括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)趨近于零；這時(shí)飛輪將以極限角速度ω∞轉(zhuǎn)動(dòng)，且如不加負(fù)載，即阻力矩

MF

=

0，則ω∞

=

1?！?-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程mgFxFyMrMOωO

例題4-6

例題4-7

復(fù)擺由可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體構(gòu)成。已知復(fù)擺的質(zhì)量是m，重心C到轉(zhuǎn)軸O的距離OC=b，復(fù)擺對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是JO，設(shè)擺動(dòng)開始時(shí)OC與鉛直線的偏角是

0，且復(fù)擺的初角速度為零，試求復(fù)擺的微幅擺動(dòng)規(guī)律。軸承摩擦和空氣阻力不計(jì)。§4-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程OCφ0b例題4-7復(fù)擺在任意位置時(shí)，所受的外力有重力mg和軸承O的反力，為便于計(jì)算，把軸承反力沿質(zhì)心軌跡的切線和法線方向分解成兩個(gè)分力F1和F2。根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程§4-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程OCφbF1F2mg解：有重力mg對(duì)懸軸O產(chǎn)生恢復(fù)力矩。當(dāng)復(fù)擺作微擺動(dòng)時(shí)，可令sin

≈

，于是上式經(jīng)過線性化后，可得復(fù)擺微幅擺動(dòng)的微分方程從而

例題4-7§4-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程復(fù)擺微幅擺動(dòng)的微分方程這是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)微分方程。可見復(fù)擺的微幅振動(dòng)也是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。考慮到復(fù)擺運(yùn)動(dòng)的初條件：當(dāng)t=0

時(shí)擺動(dòng)的頻率ω0

和周期T分別是則復(fù)擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律可寫成

例題4-7§4-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程擺動(dòng)的頻率ω0和周期T分別是復(fù)擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律可寫成工程上常利用關(guān)系(b)測(cè)定形狀不規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。為此，把剛體做成復(fù)擺并用試驗(yàn)測(cè)出它的擺動(dòng)頻率ω0和周期T，然后由(b)式求得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量OCφbF1F2mg

例題4-7§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

相對(duì)于質(zhì)心軸的動(dòng)量矩定理§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理一、相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理一、相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理過固定點(diǎn)O建立固定坐標(biāo)系Oxyz，以質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心C

為原點(diǎn)，取平動(dòng)坐標(biāo)系Cx

y

z

,

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩。LC——質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心C

的動(dòng)量矩由對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理有OAvxyzvCz'y'x'CvCvrrCrr§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理左端（1）右端代入（1）式有0OAvxyzvCz'y'x'CvCvrrCrr§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理注意到由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有所以上式為即，質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩.這就是相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理的一般形式。OAvxyzvCz'y'x'CvCvrrCrr§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理二、相對(duì)于質(zhì)心軸的動(dòng)量矩定理二、相對(duì)于質(zhì)心軸的動(dòng)量矩定理即，質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)該軸的主矩.將前面所得質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理沿質(zhì)心軸進(jìn)行投影，得OAvxyzvCz'y'x'CvCvrrCrr§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理討論1.在以質(zhì)心為原點(diǎn)的平動(dòng)坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心（或質(zhì)心軸）的動(dòng)量矩定理的形式與對(duì)定點(diǎn)（或定軸）的動(dòng)量矩定理的形式相同；2.由該定理可見，質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心（或質(zhì)心軸）的動(dòng)量矩的改變，只與質(zhì)點(diǎn)系的外力有關(guān)，而與內(nèi)力無(wú)關(guān)，即內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心（或質(zhì)心軸）的動(dòng)量矩。1.對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理2.對(duì)質(zhì)心軸的動(dòng)量矩定理OAvxyzvCz'y'x'CvCvrrCrr貓?jiān)谧杂上侣涞倪^程中是如何轉(zhuǎn)身的人在太空中如何控制身體的姿態(tài)§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理客機(jī)起飛、著陸過程中機(jī)翼形狀及其作用力的變化§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理艦載飛機(jī)起飛和降落過程中的動(dòng)力學(xué)問題問題：彈射裝置為什么裝在飛機(jī)的前部？問題：攔阻裝置為什么裝在飛機(jī)的后部？艦載飛機(jī)起飛裝置示意圖早期艦載飛機(jī)著陸裝置示意圖問題：飛機(jī)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化成什么能量?§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理非正常著陸情況§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理賽車翻車力學(xué)分析１§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理賽車翻車力學(xué)分析2§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理例題4-8§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理C賽車翻車力學(xué)分析3WFN1FF1FN2F2例題4-8長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為m1的均質(zhì)桿OA與半徑為R，質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓盤B在A處鉸接，鉸鏈O，A均光滑。初始時(shí)，桿OA有偏角θ0

，輪B有角速度ω0

（逆時(shí)針向）。求系統(tǒng)在重力作用下的運(yùn)動(dòng)。OθBAωB

例題4-8例題4-8§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

例題4-8§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

1.考慮圓盤B

，受力如圖b所示，根據(jù)對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

2.考慮桿輪系統(tǒng)，受力如圖c所示,應(yīng)用對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩定理，計(jì)算輪B動(dòng)量矩時(shí)使用式

解：LO=LC+rC×p得ωBBAm2gFAxFAy(b)OθBAm2gm1gFOyFOx(c)

例題4-8§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

3.運(yùn)動(dòng)特性：圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)不影響系統(tǒng)的擺動(dòng)，而系統(tǒng)的擺動(dòng)也不影響圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)。微幅振動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為ωBBAm2gFAxFAy(b)OθBAm2gm1gFOyFOx(c)

例題4-8§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理例題4-9起重裝置由勻質(zhì)鼓輪D（半徑為R，重為W1）及均質(zhì)梁AB（長(zhǎng)l=4R，重W2=W1）組成，鼓輪通過電機(jī)C（質(zhì)量不計(jì)）安裝在梁的中點(diǎn)，被提升的重物E重。電機(jī)通電后的驅(qū)動(dòng)力矩為M，求重物E上升的加速度a及支座A，B的約束力FNA及FNB。OBACDE例題4-9§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理1.求加速度a。解：其中解得考慮鼓輪D，重物E及與鼓輪固結(jié)的電機(jī)轉(zhuǎn)子所組成的系統(tǒng)（圖b），M為電機(jī)定子作用在轉(zhuǎn)子的驅(qū)動(dòng)力矩，對(duì)固定點(diǎn)O的應(yīng)用動(dòng)量矩定理得OBACDEO

WMODEW1(b)

例題4-9§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理2.考慮整個(gè)系統(tǒng)（圖c），注意驅(qū)動(dòng)力矩為M系統(tǒng)內(nèi)力。對(duì)點(diǎn)B應(yīng)用動(dòng)量矩定理得OAB

WW2FNAACDEFNBW1(c)解得

例題4-9§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理對(duì)整個(gè)系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)量定理得OAB

WW2FNAACDEFNBW1(c)解得

例題4-9§4-4相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理§4-5剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程§4-5剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程§4-5剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程

設(shè)剛體在外力F1,F2,···,Fn作用下作平面運(yùn)動(dòng)。取固定坐標(biāo)系

Oxyz

，使剛體平行于坐標(biāo)面Oxy

運(yùn)動(dòng)，且質(zhì)心C在這個(gè)平面內(nèi)，再以質(zhì)心為原點(diǎn)作平動(dòng)坐標(biāo)系C

x′y′z′。即xyzz'x'vCCOFiF1F2FnyCxCy'由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，剛體的平面運(yùn)動(dòng)可分解成隨質(zhì)心的牽連平動(dòng)和相對(duì)于質(zhì)心的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。隨質(zhì)心的牽連平動(dòng)規(guī)律可由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理來(lái)確定∑miac=∑Fi（e）而相對(duì)于質(zhì)心的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律可由相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理來(lái)確定即§4-5剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程將前一式投影到軸x，y

上，后一式投影到軸Cz′上，可得隨質(zhì)心的牽連平動(dòng)規(guī)律可由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理來(lái)確定∑miac=∑Fi（e）

而相對(duì)質(zhì)心的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律可由相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理來(lái)確定注意到則有這就是剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程?？梢詰?yīng)用它求解剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力學(xué)問題。式中JC表示剛體對(duì)軸

Cz′的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。xyzz'x'vCCOFiF1F2FnyCxCy'

例題4-10

勻質(zhì)圓柱的質(zhì)量是

m

，半徑是r，從靜止開始沿傾角是φ的固定斜面向下滾動(dòng)而不滑動(dòng)，斜面與圓柱的靜摩擦系數(shù)是fs。試求圓柱質(zhì)心C的加速度，以及保證圓柱滾動(dòng)而不滑動(dòng)的條件?！?-5剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程xyOCφ例題4-10

例題4-10解：由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程，有§4-5剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程

以圓柱為研究對(duì)象，圓柱作平面運(yùn)動(dòng)。maC=mgsin

φ－F

(1)0=FN－mgcos

φ

(2)JCα

=F

r

(3)由于圓柱只滾不滑，故有運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系aC=rα

(4)

聯(lián)立求解以上四個(gè)方程，并考慮到

JC=Mr2/2

，得到FN=mgcos

φxyOCAFNFmgαφaC

例題4-10§4-5剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程F

≤fsFN

從而求得圓柱滾動(dòng)而不滑動(dòng)的條件由保證圓柱滾動(dòng)而不滑動(dòng)的靜力學(xué)條件：代入求出的F

和FN，則得xyOCAFNFmgαφaCFN=mgcos

φ

例題4-10tan

φ

≤3fs≤§4-5剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程2.本例動(dòng)量矩方程亦可用

JAα

=MA。3.本例亦可用動(dòng)能定理求出aC，然后應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求出F。即圓柱有滑動(dòng)，故運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系aC=rα不成立。則應(yīng)用關(guān)系F=FN

fs

做為補(bǔ)充方程。xyOCAFNFmgαφaC

討論

例題4-101.若不成立，如何分析？≤

例題4-11

勻質(zhì)細(xì)桿AB

的質(zhì)量是m

，長(zhǎng)度是2l

，放在鉛直面內(nèi)，兩端分別沿光滑的鉛直墻壁和光滑的水平地面滑動(dòng)。假設(shè)桿的初位置與墻成交角

0，初角速度等于零。試求桿沿鉛直墻壁下滑時(shí)的角速度和角加速度，以及桿開始脫離墻壁時(shí)它與墻壁所成的角度

1?！?-5剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程yOφABCyx例題4-11§4-5剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程解:

在

A端脫離墻壁以前，受力如圖所示。桿作平面運(yùn)動(dòng)，取坐標(biāo)系

Oxy，則桿的運(yùn)動(dòng)微分方程可寫成由幾何關(guān)系知yOFAFBmgφCvABCyx

例題4-11§4-5剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程將式(d)和(e)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得把

(f)和(g)分別代入

(a)和(b)，再把

FA和

FB的值代入

(c)最后得桿

AB的角加速度yOFAFBmgφCvABCyx

例題4-11§4-5剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程

例題4-9

利用關(guān)系把上式化成積分求得桿

AB的角速度yOFAFBmgφCvABCyx

例題4-11§4-5剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程當(dāng)桿即將脫離墻時(shí)，F(xiàn)A→0。以FA=0代入(a)，再根據(jù)(f)得把(h)和(i)的表達(dá)式在

=

1時(shí)的值代入上式，得關(guān)系整理后，求得桿開始脫離墻時(shí)與墻所成的夾角

例題4-11§4-6

動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用§4-6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用BAO130oDWWWM例題12勻質(zhì)圓輪A和B的半徑均為r，圓輪A和B以及物塊D的重量均為W，圓輪B上作用有力偶矩為M的力偶。圓輪A在斜面上向下作純滾動(dòng)，不計(jì)圓輪B的軸承的摩擦力。求：1.物塊D的加速度；2.二圓輪之間的繩索所受拉力；3.圓輪B處的軸承約束力。O2例題4-12

解：1.確定物塊的加速度對(duì)系統(tǒng)整體應(yīng)用動(dòng)能定理BAO130oDWWWMs§4-6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用O2代入動(dòng)能定理得

例題4-12將所有運(yùn)動(dòng)量都表示成廣義坐標(biāo)s

的形式BO2AO130oDWWWM§4-6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用s整理得

例題4-12sDO為求物塊的加速度，將等式兩邊對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，得到BAO130oDWWWM§4-6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用O2解得

例題4-12WDBO2WFTFByFBxM2.確定圓輪A和B之間繩索的拉力

解除圓輪B軸承處的約束，將AB段繩索截開，對(duì)圓輪B、繩索和物塊D組成的局部系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)量矩定理BO2AO130oDWWWM§4-6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用

例題4-12根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系§4-6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用WDBO2WFTFByFBxM

例題4-123.確定圓輪B軸承處的動(dòng)約束力對(duì)圓輪B、繩索和物塊D組成的局部系統(tǒng)應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理§4-6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用WDBO2WFTFByFBxM解得

例題4-12如何求圓輪B和物體D之間繩索的拉力以及圓輪A與斜面間的摩擦力?BO2AO130oDWWWM§4-6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用AO1aWFTFFN

討論WDaＦD

例題4-12BO2AO130oDWWWM§4-6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用

討論

例題4-12應(yīng)用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解。AO