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培優(yōu)點6向量極化恒等式專題二
三角函數(shù)與解三角形平面向量基本定理及數(shù)量積是高考考查的重點,很多時候需要用基底代換,運算量大且復(fù)雜,用向量極化恒等式、等和(高)線求解,能簡化向量代換,減少運算量,使題目更加清晰簡單.考點一向量極化恒等式考點二等和(高)線解基底系數(shù)和(差)問題專題強化練內(nèi)容索引向量極化恒等式考點一例1考向1利用向量極化恒等式求值27∴AO=6,OE=3,設(shè)BD=DC=m,AE=EF=FD=n,則AD=3n.根據(jù)向量的極化恒等式,例2考向2利用向量極化恒等式求最值、范圍如圖所示,取OC的中點D,連接PD,因為O為AB中點,(2)平面向量a,b滿足|2a-b|≤3,則a·b的最小值為______.由向量極化恒等式知當(dāng)且僅當(dāng)|2a+b|=0,|2a-b|=3,利用向量的極化恒等式可以快速對數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化,體現(xiàn)了向量的幾何屬性,特別適合于以三角形為載體,含有線段中點的向量問題.規(guī)律方法跟蹤演練1依題意得AD∥BC,∠BAD=120°,取MN的中點E,連接DE(圖略),當(dāng)點M,N在線段BC上運動時,DE的最小值等于點D到直線BC的距離,[0,2]當(dāng)弦MN的長度最大時,MN為內(nèi)切球的直徑.設(shè)內(nèi)切球的球心為O,等和(高)線解基底系數(shù)和(差)問題考點二等和(高)線(1)當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時,k=1;(2)當(dāng)?shù)群途€在O點和直線AB之間時,k∈(0,1);(3)當(dāng)直線AB在O點和等和線之間時,k∈(1,+∞);(4)當(dāng)?shù)群途€過O點時,k=0;(5)若兩等和線關(guān)于O點對稱,則定值k1,k2互為相反數(shù);(6)定值k的變化與等和線到O點的距離成正比.√例3方法二
如圖,過N作BC的平行線,√如圖,作出定值k為1的等和線DE,AC是過圓上的點最遠(yuǎn)的等和線,當(dāng)M在N點所在的位置時,2x+y最大,所以2x+y取得最大值2.要注意等和(高)線定理的形式,解題時一般要先找到k=1時的等和(高)線,以此來求其他的等和(高)線.易錯提醒跟蹤演練22圖(1)圖(1)方法二
令x+y=k,在所有與直線AB平行的直線中,切線離圓心最遠(yuǎn),如圖(2),圖(2)專題強化練√12345678如圖所示,取CD的中點E,連接PE,√1234567812345678√123456781234567如圖,O為AB的中點,8|MO|max=|OC|+1=3,|AB|min=2a=8,√12345678如圖,當(dāng)P位于點A時,(λ+μ)min=0,當(dāng)P位于點D時,(λ+μ)max=3.12345678√1234567所以P0為EB的中點,取BC的中點D,連接DP0,DP,則DP0為△CEB的中位線,DP0∥CE.根據(jù)向量的極化恒等式,8必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB,又E為AB的中點,所以AC=BC.12345678[-2,6]12345678如圖所示,取AB的中點D,連接CD,因為△ABC為等邊三角形,1234567821234567如圖,取BC的中點M,AD的中點N,連接MN,ON,8當(dāng)且僅當(dāng)O,N,M三點共線時取等號.1234567812345678
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