北師大版三角形的證明全章節(jié)復(fù)習題

等腰三角形（基礎(chǔ)）知識講解【學習目標】1.了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念,掌握等腰三角形的軸對稱性；2.掌握等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，會利用這些性質(zhì)進行簡單的推理、證明、計算和作圖．3.理解并掌握等腰三角形、等邊三角形的判定方法及其證明過程.通過定理的證明和應(yīng)用，初步了解轉(zhuǎn)化思想，并培養(yǎng)學生邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.4.理解反證法并能用反證法推理證明簡單幾何題.【要點梳理】要點一、等腰三角形的定義1.等腰三角形有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知線段a,b(如圖).用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作線段BC=a；2.分別以B,C為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧相交于點A;3.連接AB,AC.△ABC為所求作的等腰三角形3.等腰三角形的對稱性(1)等腰三角形是軸對稱圖形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD為底邊上的中線.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD為底邊上的高線.結(jié)論：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線是它的對稱軸.4.等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對稱軸，每個角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對稱軸.要點詮釋：（1）等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.（2）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.要點二、等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等，簡稱“在同一個三角形中，等邊對等角”．推論：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個內(nèi)角都等于60°.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡稱“等腰三角形三線合一”．2.等腰三角形中重要線段的性質(zhì)等腰三角形的兩底角的平分線（兩腰上的高、兩腰上的中線）相等.要點詮釋：這條性質(zhì)，還可以推廣到一下結(jié)論：（1）等腰三角形底邊上的高上任一點到兩腰的距離相等。（2）等腰三角形兩底邊上的中點到兩腰的距離相等.（3）等腰三角形兩底角平分線，兩腰上的中線，兩腰上的高的交點到兩腰的距離相等，到底邊兩端上的距離相等.（4）等腰三角形頂點到兩腰上的高、中線、角平分線的距離相等.要點三、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形.可以簡單的說成：在一個三角形中，等角對等邊.要點詮釋：(1)要弄清判定定理的條件和結(jié)論，不要與性質(zhì)定理混淆．判定定理得到的結(jié)論是等腰三角形，性質(zhì)定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關(guān)系.（2）不能說“一個三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因為還未判定它是一個等腰三角形．2.等邊三角形的判定定理三個角相等的三角形是等邊三角形.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.3.含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.要點四、反證法在證明時，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過逐步推導(dǎo)論證，最后推出與學過的概念、基本事實，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明命題的方法叫做反證法.要點詮釋：反證法也稱歸謬法，是一種間接證明的方法，一般適用于直接證明有困難的命題．一般證明步驟如下：（1）假定命題的結(jié)論不成立；

（2）從這個假設(shè)和其他已知條件出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出與學過的概念、基本事實，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果；

（3）由矛盾的結(jié)果，判定假設(shè)不成立，從而說明命題的結(jié)論是正確的.【典型例題】類型一、等腰三角形中有關(guān)角度的計算題1、如圖，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度數(shù).

舉一反三：【變式】已知：如圖，D、E分別為AB、AC上的點，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度數(shù)．類型二、等腰三角形中的分類討論2、在等腰三角形中，有一個角為40°，求其余各角．3、已知等腰三角形的周長為13，一邊長為3，求其余各邊．舉一反三：【變式】已知等腰三角形的底邊BC＝8，且|AC－BC|＝2，那么腰AC的長為()．A．10或6B．10C．6D．8或6類型三、等腰三角形的性質(zhì)及其運用4、如圖，在△ABC中，邊AB＞AC．求證：∠ACB＞∠ABC舉一反三：【變式】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中線，延長BC至點E，使CE=CD．求證：DB=DE．5、已知：如圖，△ABC的兩條高BE、CD相交于點O，且OB=OC，求證：△ABC是等腰三角形．舉一反三【變式1】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，點D、E在BC上，試說明△ADE是等腰三角形．類型三、含有30°角的直角三角形6.如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求證：BD=3AD.舉一反三：

【變式】如圖，等邊三角形ABC內(nèi)一點P，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度數(shù)．類型四、反證法7.求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°。舉一反三：【變式】下列選項中，可以用來證明命題“若a2＞1，則a＞1”是假命題的反例是（）A.a=—2B.a=—1C.a=1D.a=2【鞏固練習】一.選擇題1.已知一個等腰三角形兩邊長分別為5，6，則它的周長為()A．16 B．17C．16或17 D．102.用反證法證明命題：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，證明的第一個步驟是（）A.假設(shè)CD∥EF;B.假設(shè)AB∥EFC.假設(shè)CD和EF不平行D.假設(shè)AB和EF不平行3.將兩個全等的且有一個角為30°的直角三角形拼成如圖所示形狀，兩條長直角邊在同一條直線上，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（）A.4個B.3個C.2個D.1個4.已知實數(shù)x，y滿足|x?4|+(y?8)2＝0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．20或16 B．20C．16 D．以上答案均不對5.如圖，D是AB邊上的中點，將沿過D的直線折疊，使點A落在BC上F處，若，則度數(shù)是（）A．60°B．70°C．80°D．不確定6.如圖，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，若∠ADB=93°，則∠A=（）A．31° B．46.5° C．56° D．62°二.填空題7．如圖，△ABC中，D為AC邊上一點，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，則∠CBD＝_____°．

8.等腰三角形的頂角比其中一個底角大30°，則頂角的度數(shù)為．9.用反證法證明“如果同位角不相等，那么這兩條直線不平行“的第一步應(yīng)假設(shè)_________.10.等腰三角形的一個角是70°，則它的頂角的度數(shù)是.11.如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個就能推出△ABC是等腰三角形的是_________．（把所有正確答案的序號都填寫在橫線上）①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．12.如圖，△ABC的周長為32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周長為24，那么AD的長為.三.解答題13．已知：如圖，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一點，延長CA至E，使AE＝AD．試確定ED與BC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．14.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點E．AD⊥CE于點D．求證：△BEC≌△CDA．15.用反證法證明：等腰三角形的底角是銳角．角的平分線的性質(zhì)（基礎(chǔ)）【學習目標】1．掌握角平分線的性質(zhì)，理解三角形的三條角平分線的性質(zhì)．2．掌握角平分線的判定及角平分線的畫法．3.熟練運用角的平分線的性質(zhì)解決問題．【要點梳理】要點一、角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.

要點詮釋：

用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.

要點二、角的平分線的判定角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.要點詮釋：

用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

要點三、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖

（1）以O(shè)為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.要點四、三角形角平分線的性質(zhì)三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點，此點叫做三角形的內(nèi)心且這一點到三角形三邊的距離相等.三角形的一內(nèi)角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點.這點叫做三角形的旁心.三角形有三個旁心.所以到三角形三邊所在直線距離相等的點共有4個.如圖所示：△ABC的內(nèi)心為，旁心為，這四個點到△ABC三邊所在直線距離相等.【典型例題】類型一、角的平分線的性質(zhì)1．如圖，∠ACB＝90°,BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延長線交BC的延長線于F.求證：AE＝CF.2、如圖,△ABC中,∠C＝90,AC＝BC,AD平分∠CAB,交BC于D,DE⊥AB于E,且AB＝6,則△DEB的周長為()A.4 B.6 C.10 D.以上都不對舉一反三：【變式】已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，且，則△ABD與△ACD的面積之比為（）A．3：2B．C．2：3D.3、如圖，OC是∠AOB的角平分線，P是OC上一點，PD⊥OA交于點D，PE⊥OB交于點E，F(xiàn)是OC上除點P、O外一點，連接DF、EF，則DF與EF的關(guān)系如何？證明你的結(jié)論．類型二、角的平分線的判定4、已知，如圖，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求證：AF為∠BAC的平分線.

舉一反三：【變式】如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE＝CF．

求證：AD是△ABC的角平分線.【鞏固練習】一.選擇題1.AD是△ABC的角平分線,自D點向AB、AC兩邊作垂線,垂足為E、F,那么下列結(jié)論中錯誤的是()A.DE＝DF B.AE＝AFC.BD＝CDD.∠ADE＝∠ADF2．如圖，在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分線，交AC于D，若CD＝，AB＝，則ΔABD的面積是（）A．B．C． D．23.如圖，平分于點，點是射線上的一個動點，若，則的最小值為（）A.1B.2C.3D.44.到三角形三邊距離相等的點是（）

A.三角形三條高線的交點B.三角形三條中線的交點

C．三角形三邊垂直平分線的交點D.三角形三條內(nèi)角平分線的交點

5.如圖，下列條件中不能確定點O在∠APB的平分線上的是（）A．△PBA≌△PDCB.△AOD≌△COBC.AB⊥PD，DC⊥PBD.點O到∠APB兩邊的距離相等.6.已知，如圖，AB∥CD，∠BAC、∠ACD的平分線交于點O，OE⊥AC于E，且OE＝5，則直線AB與CD的距離為（）A.5B.10C.15D.20二.填空題7．如圖，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若點D到AB的距離等于5，則BC的長為_____．8.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB，∠1＝∠2，且AC＝6，那么線段BE是△ABC的，AE＋DE＝。9.已知：如圖，在ΔABC中，BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于點O，過O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，則OP、OM、ON的大小關(guān)系為_____．10.如圖,直線、、表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,可供選擇的地址有處.11．已知：如圖，在RtΔABC中，∠C＝90°，沿著過點B的一條直線BE折疊ΔABC，使C點恰好落在AB邊的中點D處，則∠A的度數(shù)等于_____．12.已知如圖點D是△ABC的兩外角平分線的交點，下列說法

（1）AD＝CD(2)D到AB、BC的距離相等

（3）D到△ABC的三邊的距離相等（4）點D在∠B的平分線上

其中正確的說法的序號是_____________________.

三.解答題13．已知，如圖，∠C＝∠D＝90°,E是CD上一點，AE、BE分別平分∠DAB、∠ABC.

求證：E是CD的中點.

14．如圖，在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD與△BCA的面積比為3∶8，求△ADE與△BCA的面積之比．15.已知：如圖，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線BF、CF交于點F.求證：一點F必在∠DAE的平分線上．線段的垂直平分線----知識講解(基礎(chǔ))【學習目標】1.掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線．2.會證明三角形的三條中垂線必交于一點.掌握三角形的外心性質(zhì)定理.3.已知底邊和底邊上的高，求作等腰三角形.4.能運用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理解決簡單的幾何問題及實際問題．【要點梳理】要點一、線段的垂直平分線1.定義經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．2.線段垂直平分線的做法求作線段AB的垂直平分線.作法：（1）分別以點A，B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點；（2）作直線CD，CD即為所求直線．要點詮釋：(1)作弧時的半徑必須大于AB的長，否則就不能得到兩弧的交點了．(2)線段的垂直平分線的實質(zhì)是一條直線.要點二、線段的垂直平分線定理

線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等．

要點詮釋：線段的垂直平分線定理也就是線段垂直平分線的性質(zhì)，是證明兩條線段相等的常用方法之一．同時也給出了引輔助線的方法，“線段垂直平分線，常向兩端把線連”.就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件．要點三、線段的垂直平分線逆定理線段的垂直平分線逆定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．要點詮釋：到線段兩個端點距離相等的所有點組成了線段的垂直平分線.線段的垂直平分線可以看作是與這條線段兩個端點的距離相等的所有點的集合．要點四、三角形的外心三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心——外心.要點詮釋:1.三角形三條邊的垂直平分線必交于一點（三線共點），該點即為三角形外接圓的圓心.2.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合.3.外心到三頂點的距離相等.要點五、尺規(guī)作圖作圖題是初中數(shù)學中不可缺少的一類試題，它要求寫出“已知，求作，作法和畫圖”，畫圖必須保留痕跡，在現(xiàn)行的教材里，一般不要求寫出作法，但是必須保留痕跡.證明過程一般不用寫出來.最后要點題即“xxx即為所求”.【典型例題】類型一、線段的垂直平分線定理 1、如圖，△ABC中AC＞BC，邊AB的垂直平分線與AC交于點D，已知AC=5，BC=4，則△BCD的周長是（）A．9B．8C．7D．6舉一反三：【變式1】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E，下述結(jié)論錯誤的是（）A．BD平分∠ABCB．△BCD的周長等于AB+BCC．AD=BD=BCD．點D是線段AC的中點【變式2】如圖所示，在△ABC中，DE是AC的中垂線，AE＝3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長是cm．類型二、線段的垂直平分線的逆定理2、如圖，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求證：AD是線段BC的垂直平分線．舉一反三：【變式】如圖，P是∠MON的平分線上的一點，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分別為A、B．求證：PO垂直平分AB．類型三、線段的垂直平分線定理與逆定理的綜合應(yīng)用3、已知：如圖，AB=AC，DB=DC，E是AD上一點．求證：BE=CE．4、如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC邊上的中點，CE⊥AD于點E，BF∥AC交CE的延長線于點F，求證：AB垂直平分DF．舉一反三：【變式】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分線MN分別交BC、AB于點M、N.求證：CM=2BM.類型四、尺規(guī)作圖5、如圖，A，B，C是新建的三個居民小區(qū)，我們已經(jīng)在到三個小區(qū)距離相等的地方修建了一所學校，你能確定學校的位置嗎？線段的垂直平分線——鞏固練習（基礎(chǔ)）【鞏固練習】一．選擇題1．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E．已知∠BAE=10°，則∠C的度數(shù)為（）A．30°B．40°C．50°D．60°2．如圖，△ABC中，DE是AB的垂直平分線，交BC于點D，交AB于點E，已知AE=1cm，△ACD的周長為12cm，則△ABC的周長是（）A．13cmB．14cmC．15cmD．16cm3．如圖，在△ABC中，∠A=105°，AE的垂直平分線MN交BE于點C，且AB+BC=BE，則∠B的度數(shù)是（）A．45°B．60°C．50°D．55°4．如圖，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，E為AB上一點，且CE=EB，ED⊥CB于D，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）A．AE=BEB．CE=ABC．∠CEB=2∠AD．AC=AB5．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE，則∠CBE等于（） A、80° B、70° C、60° D、50°6．如圖所示，BE⊥AC于點D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，則∠E＝（）．A．25°B．27°C．30°D．45°二．填空題7．ΔABC中，若AB－AC＝2cm，BC的垂直平分線交AB于D點，且ΔACD的周長為14cm，則AB＝_____，AC_____．8．如圖，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AC于P點．（1）若∠A＝35°，則∠BPC＝_____；（2）若AB＝5cm，BC＝3cm，則ΔPBC的周長＝_____．9．如圖，在△ABC中，BC邊上的垂直平分線DE交邊BC于點D，交邊AB于點E．若△EDC的周長為24，△ABC與四邊形AEDC的周長之差為12，則線段DE的長為．10．如圖，在中，∠C＝90°，∠A＝30°，CD＝2cm，AB的垂直平分線MN交AC于D，連結(jié)BD，則AC的長是___________cm．11．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線MN分別交AC，AB于點D，E．若∠CBD:∠DBA＝3:1，則∠A的度數(shù)為________．12．如圖，在△ABC中，AC＝16cm，AB的垂直平分線交AC于D，如果BC＝10cm，那么△BCD的周長是cm．三．解答題：13．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD的垂直平分線交BC的延長線于F．求證：∠BAF=∠ACF．14．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F．求證：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．15．為了推進農(nóng)村新型合作醫(yī)療制度改革，準備在某鎮(zhèn)新建一個醫(yī)療點P，使P到該鎮(zhèn)所屬A村、B村、C村的村委會所在地的距離都相等（A、B、C不在同一直線上，地理位置如下圖），請你用尺規(guī)作圖的方法確定點P的位置．要求：寫出已知、求作；不寫作法，保留作圖痕跡． 《三角形的證明》全章復(fù)習與鞏固(提高)【學習目標】1.經(jīng)歷回顧與思考的過程，深刻理解和掌握定理的探索和證明.2.結(jié)合具體實例感悟證明的思路和方法，能運用綜合、分析的方法解決有關(guān)問題.3.能正確運用尺規(guī)作圖的基本方法作已知線段的垂直平分線和角的平分線，以及繪制特殊三角形.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、等腰三角形1.三角形全等的性質(zhì)及判定全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即“三線合一”）3.等邊三角形的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)定理：等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°；等邊三角形的三條邊都滿足“三線合一”的性質(zhì)；等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸.判定定理：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形.4.含30°的直角三角形的邊的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.要點詮釋：等邊三角形是中考中?？嫉闹R點，并且有關(guān)它的計算也很常見，因此對于等邊三角形的特殊數(shù)據(jù)要熟記于心，不如邊長為a的等邊三角形他的高是，面積是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中邊與角的關(guān)系，打破了以往那種只有角或邊的關(guān)系，同時也為我們學習三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ).要點二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.2.命題與逆命題命題包括題設(shè)和結(jié)論兩部分；逆命題是將原命題的題設(shè)和結(jié)論交換位置得到的；正確的逆命題就是逆定理.3.直角三角形全等的判定定理定理：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（HL）要點詮釋：①勾股定理的逆定理在語言敘述的時候一定要注意，不能說成“兩條邊的平方和等于斜邊的平方”，應(yīng)該說成“三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方”.②直角三角形的全等判定方法，還有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5種判定方法.要點三、線段的垂直平分線1.線段垂直平分線的性質(zhì)及判定性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.2.三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.3.如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線分別以線段的兩個端點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于點M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線.要點詮釋：①注意區(qū)分線段的垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理,注意二者的應(yīng)用范圍；②利用線段的垂直平分線定理可解決兩條線段的和距離最短問題.要點四、角平分線1.角平分線的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；判定：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上.2.三角形三條角平分線的性質(zhì)定理性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.3.如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線要點詮釋：①注意區(qū)分角平分線性質(zhì)定理和判定定理,注意二者的應(yīng)用范圍；②幾何語言的表述，這也是證明線段相等的一種重要的方法.遇到角平分線時，要構(gòu)造全等三角形.【典型例題】類型一、能證明它們么1.如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于點F，BD分別交CE、AE于點G、H．試猜測線段AE和BD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由．舉一反三：【變式】將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖1方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F．

（1）求證：AF+EF=DE；

（2）若將圖1中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α，且0°＜α＜60°，其它條件不變，請在圖2中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立；

（3）若將圖1中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角β，且60°＜β＜180°，其它條件不變，如圖3．你認為（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說明理由．類型二、直角三角形2.下列說法正確的說法個數(shù)是（）

①兩個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，

②斜邊及一銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，

③兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，

④一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．A1B2C3D43.如圖：AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，EF過點C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE=DF．

求證：Rt△BCE≌Rt△DCF．類型三、線段垂直平分線4.如圖，在銳角△ABC中，AD、CE分別是BC、AB邊上的高，AD、CE相交于F，BF的中點為P，AC的中點為Q，連接PQ、DE．

（1）求證：直線PQ是線段DE的垂直平分線；

（2）如果△ABC是鈍角三角形，∠BAC＞90°，那么上述結(jié)論是否成立？請按鈍角三角形改寫原題，畫出相應(yīng)的圖形，并給予必要的說明． 舉一反三：【變式】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交BC的延長線于M，∠A=40度．

（1）求∠M的度數(shù)；

（2）若將∠A的度數(shù)改為80°，其余條件不變，再求∠M的大??；

（3）你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？試證明；

（4）將（1）中的∠A改為鈍角，（3）中的規(guī)律仍成立嗎？若不成立，應(yīng)怎樣修改．類型四、角平分線5.如圖，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分線CD和∠ABC的平分線BE交于點G．求證：GE=GD．舉一反三：【變式】如圖：在△ABC中，∠C=90°

AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；

證明：（1）CF=EB．

（2）AB=AF+2EB．《三角形的證明》全章復(fù)習與鞏固（提高）【鞏固練習】一.選擇題1．有一塊邊長為24米的正方形綠地，如圖所示，在綠地旁邊B處有健身器材，由于居住在A處的居民踐踏了綠地，小明想在A處樹立一個標牌“少走▇米，踏之何忍”請你計算后幫小明在標牌的“▇”填上適當?shù)臄?shù)字是（） A． 3米 B． 4米 C． 5米 D． 6米 2.設(shè)M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形，Q表示等腰直角三角形，則下列四個圖中，能表示它們之間關(guān)系的是（）ABCD3.如圖，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D為AB中點，有以下結(jié)論：(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。其中結(jié)論正確的是（）A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(3)，(4)D、(1)，(2)，(4)4.如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E，且AB=6cm，則△A、4cmB、6cmC、85.如圖，△ABC中，AB=AC，點D在AC邊上，且BD=BC=AD，則∠A的度數(shù)為（）A、30°B、36°C、45°D、70°6.如圖，已知AC平分∠PAQ，點B，B′分別在邊AP，AQ上，如果添加一個條件，即可推出AB=AB′，那么該條件不可以是（）A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′