2023年北京市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（二）

2023年北京市高考數(shù)學(xué)模擬試卷(二)

一、單選題(本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合4={%|-2Vx<4},B={x|log2x<1},則4nB=()

A.{x|-2<%<2]B.{x|-2<%<4]

C.{x|0<x<2}D.{x|0<%<1}

2.在(2-％)5的展開式中，爐的系數(shù)為()

A.20B.-20C.40D.-40

3.己知雙曲線圣一，=1的一個漸近線方程為y=x，則離心率為()

A.yB.0C.CD.2

4.2023年是我國規(guī)劃的收官之年，2022年11月23日全國22個省份的832個國家級貧困縣全

部脫貧摘帽.利用電商平臺，開啟數(shù)字化科技優(yōu)勢，帶動消費扶貧起到了重要作用.阿里研究院

數(shù)據(jù)顯示，2013年全國淘寶村僅為20個，通過各地政府精準(zhǔn)扶貧，與電商平臺不斷合作創(chuàng)新，

2014年、2015年、2016年全國淘寶村分別為212個、779個、1311個，從2017年起比上一年

約增加1000個淘寶村，請你估計收官之年全國淘寶村的數(shù)量可能為()

A.4212個B.4311個C.4779個D.8311個

5.已知直線h：(3+a)x+4y=5-3a,%：2x+(5+a)y=8.若lJ/L平行，則a的值為()

A.-7B.-1C.—7或—1D.-2或4

6.已知4,B為圓C：(x-m)2+(y-n)2=4(?n,n6R)上兩個不同的點(C為圓心)，且滿足

\CA+CB\=2\/~3,則|AB|=()

A.2V-3B.2\[~2C.2D.4

7.已知函數(shù)/(x)=x-|x-a|的圖象與直線y=-4的公共點不少于兩個，則實數(shù)a的取值范

圍是()

A.a<—4B.aW-4C.-4<a<0D.a>—4

8.若B點的坐標(biāo)為(3,2),點P為拋物線C：產(chǎn)=6%上的動點，?是拋物線C的焦點，當(dāng)APBF

周長取得最小值時APBF的面積為()

A.|B.|C.ID.3

9.設(shè)等比數(shù)列{冊}的前幾項和為%,則%+<2。2'是Sn-l<0'的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.17世紀(jì)德國著名的天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)這樣說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定

理，另一個是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦

黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它

是一個頂角為36。的等腰三角形(另一種是頂角為108。的等腰三角形),例如，五角星由五個黃金

三角形與一個正五邊形組成，如圖所示，在其中一個黃金△ABC中，毀=耳.根據(jù)這些信

AC2

息，可得立幾1674。=()

AmB3+CQC+iD4+n

二、填空題(本大題共5小題，共25.0分)

11.復(fù)數(shù)z=2的模為.

12.己知x>1,當(dāng)》=時，，y=加工+log^lO取到最小值為.

13.已知非零向量%E，不共面，寫出一組滿足等式@不評=日(右？)的向量落3向量五，

H坐標(biāo)分別為.

14.在△4BC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c若si?i4=cos6-8),a=3,c=2,

則cosC=_(1)_;△ABC的面積為_(2)_.

15.已知函數(shù)f(%)=4"+：121,g(x)=as譏(級+學(xué)-2a+2(a>0),給出下列

1一b+；，尤€［跋

結(jié)論：

①函數(shù)f(x)的值域為［0市；

②函數(shù)g(x)在[0,1]上是增函數(shù)；

③對任意a>0,方程/(x)=gQ)在[0,1]內(nèi)恒有解；

④若存在石，xG[0,1],使得f(xi)=g(X2)成立，則實數(shù)a的取值范圍是:<a<

2v5

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題(本大題共6小題，共85.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(本小題13.0分)

如圖，在直角梯形44道避中，乙41aB=90。，A[B]”AB,AB=AAt=2A1B1=2,直角梯形

441GC通過直角梯形4&B1B以直線44i為軸旋轉(zhuǎn)得到，且使得平面4&GC平面斗&口述.”

為線段BC的中點，P為線段上的動點.

(I)求證：41G_LAP；

(口)當(dāng)點P是線段BBi中點時，求二面角P-AM-B的余弦值.

17.(本小題13.0分)

在①函數(shù)y=/。)的圖象關(guān)于直線x=制?稱，②函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點P管,0)對稱，③

函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點Q(與2)這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并解答.

問題：已知函數(shù)/(x)=2sina)xcos(p+2cos3xsin<p(3>0,\(p\<])最小正周期為兀.

(I)求函數(shù)f(x)的解析式；

(□)函數(shù)f(x)在有芻上的最大值和最小值.

18.(本小題14.0分)

2020年初新冠肺炎全球爆發(fā),我國在控制疫情的同時，也開始緊鑼密鼓地研制新冠疫苗,2021

年初國產(chǎn)新冠疫苗就開始投入使用，目前北京18歲及以上人群接種率達(dá)76.71%.疫苗正式投

入使用前，都需要進(jìn)行三期的臨床試驗，某款國藥新冠疫苗進(jìn)行三期臨床試驗時，在某地區(qū)

招募了100名志愿者，他們的年齡在30歲至80歲之間，將年齡按［30,40)、［40,50)、［50,60)、

［60,70)、［70,80］分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(I)求。的值，并求該次臨床試驗志愿者的平均年齡(每個分組取中間值作代表)；

(口)現(xiàn)從年齡在［50,60)、［70,80］的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機抽取

3人，用X表示抽到志愿者的年齡在［70,80］的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(ID)該疫苗結(jié)束三期試驗后，需要調(diào)查該地區(qū)居民打針意愿，若用樣本的頻率代替概率，用

隨機抽樣的方法從該地區(qū)30歲至80歲之間的居民中抽取20名進(jìn)行調(diào)查，其中有k名居民的年

齡在［30,50)的概率為與(卜=0,1,2，…,20),當(dāng)與最大時，求A的值.(只需寫出結(jié)論)

19.(本小題15.0分)

已知橢圓C：m+［=l(a>b>0)的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn)2,短軸長為2,橢圓C的左頂

ab

點到&的距離為

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(11)設(shè)直線1與橢圓。交于4B兩點，已知M(0,手，若為？?而為定值，則直線?是否經(jīng)過定點？

若經(jīng)過定點，請求出定點坐標(biāo)和定值；若不經(jīng)過定點，請說明理由.

20.(本小題15.0分)

已知函數(shù)/(%)=三"，g(x)=mcosx-x,m>0.

(I)討論函數(shù)/。)在(一m0)u(O,zr)上的單調(diào)性；

(II)若方程時(x)=g(x)在區(qū)間(0年)上有且只有一個實數(shù)根，求m的取值范圍.

21.(本小題15.0分)

設(shè)數(shù)列｛廝｝和｛%｝的項數(shù)均為m,則將數(shù)列｛an｝和｛4｝的距離定義為￡乙11bi\.

(1)給出數(shù)列1,4,6,7和數(shù)列3,4,11,8的距離；

(II)設(shè)4為滿足遞推關(guān)系即+i=普的所有數(shù)列｛斯｝的集合，｛%｝和｛7｝為4中的兩個元素，

1—an

且項數(shù)均為若瓦=2,q=3,｛%｝和｛0｝的距離小于2016,求小的最大值；

(4)記S是所有7項數(shù)列｛郁［1<n<7,an=0或1｝的集合，7US,且T中任何兩個元素的距離

大于或等于3,證明：7中的元素個數(shù)小于或等于16.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解:集合4={x|-2<x<4},B={x|log2x<1]={x|0<x<2},

則4CB={x|0<x<2].

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合交集的定義，即可求解.

本題主要考查交集的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：(2-乃5的展開式通項公式為CJ25-r(_%)『=CJ25T

故爐的系數(shù)為底22x(-1)3=-40.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合二項式定理，即可求解.

本題主要考查二項式定理，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：己知雙曲線的方程為馬—馬=1,

a2b

則雙曲線圣―，=1的漸近線方程為丫=±5%,

???雙曲線'一，=1的一個漸近線方程為y=x,

a—b,

故選：B.

由雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線離心率的求法求解即可.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點考查了雙曲線離心率的求法，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，從2017年起比上一年約增加1000個淘寶村，2016年有淘寶村1311個，

???可以看成首項為1311,公差為1000的等差數(shù)列，

求2023年淘寶村的數(shù)量，

。2。23=。2016+7d=1311+7000=8311.

故選：D.

根據(jù)題意，分析可得2017年起，淘寶村的數(shù)量大體上是以1311為首項，1000為公差的等差數(shù)列,

結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)分析可得答案.

本題考查數(shù)列的應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：知直線k(3+a)久+4y=5—3a,%：2%+(5+a)y=8,

若平行，則等=U-羊耳，求得a=-7,

故選：A.

由題意利用兩條直線平行的性質(zhì)，求得a的值.

本題主要考查兩條直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：設(shè)圓C：(x-m)2+(y-n)2=4與y軸交于4,B兩點，取線段4B的中點D,

則由弦的性質(zhì)可得CD1AB,且而="(”+而)，故CO的長度即為圓心C到弦4B的距離.

二圓心C到AB的距離為d=2面+畫=gx2，？=C,由于圓的半徑為r=2,

故48=2V4-3=2,

故選：C.

利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，求得C到4B的距離d,再由弦長公式求得弦長|48|

的值.

本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，弦長公式的應(yīng)用，求出C到AB的距離d

是解題的關(guān)鍵，屬中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：中)=i-叫=因::咒

①當(dāng)a>0時，其圖象如下：

函數(shù)/(x)=尤?|x-a|的圖象與直線y=-4的公共點只有1個，不符合題意.

②當(dāng)a<0時，其圖象如下：

?

7T^

?

1

：一的公共點不少于兩個時，

函數(shù)/(%)=x-\x-a|的圖象與直線y=4/(2)=-^<_4)

解得a<-4；

③當(dāng)Q=0時，其圖象如下：

JZ

Z.

結(jié)合圖象，不符合題意.

綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是：a〈-4.

故選:B.

分a>0,a<0,a=0畫出圖象即可.

本題考查了函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

8.【答案】C

點8(3,2)在拋物線內(nèi)部，過B作BM垂直于拋物線的準(zhǔn)線，

交拋物線于P,連接PF,此時△PBF的周長最小，yp=ye=2,

孫=；=3則P(|,2),

\PB\=3-1=|,F到BP所在直線的距離為2,

???△PB尸的面積為S=gx：x2=(.

故選：C.

由題意畫出圖形，求出滿足APB?周長取得最小值時的P點坐標(biāo)，則APBF的面積可求.

本題考查拋物線的性質(zhì)，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運算求解能力，是中檔題.

9.【答案】A

2

【解析】解：，,,等比數(shù)列{an},%+a3V2a2=%(q一l)<0,at<0且qH1,

由S2n_iVO,

①當(dāng)qH1時，--<0,則由<0且qH1,

②當(dāng)q=l時，(2九一1)。1<0,即。1<0且q=l,

??.at+a3<2a2是Szn.i<0的充分不必要條件.

故選：/.

根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，前n項和公式，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可.

本題考查了等比數(shù)列的通項公式，前n項和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了充分必要條件的判斷,

屬于中檔題.

10.【答案】C

【解析】解：由題意可得：44cB=72。，且cos/ACB=逆="匚，

AC4

所以cosl44。=2cos272?！?=2x(^―1--)2-1=->：+1,

v474

所以sinl674°=s譏234°=sin(144°+90°)=cosl44°=一^^，

故選：C.

直接利用三角函數(shù)恒等變換，利用誘導(dǎo)公式，二倍角公式的應(yīng)用即可求出結(jié)果.

本題考查了二倍角的余弦公式和誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】<2

【解析】解：復(fù)數(shù)2=等=湍告5=1-八

故|z|=J1.2+(-1)2=V-2-

故答案為：<2.

先化簡復(fù)數(shù)2=2,再計算模長即可.

本題主要考查復(fù)數(shù)模長的計算，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】102

【解析】解：?.,X>1,

???Igx>0,

?'?y=Igx+logx10=Igx+上22JIgx,我=2,當(dāng)且僅當(dāng)％=10時，等號成立，

故答案為：10；2.

轉(zhuǎn)化后結(jié)合基本不等式求解即可.

本題主要考查基本不等式的應(yīng)用以及對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】(LI),(2,2)

【解析】解：可取不=(1,1)兄=(2,2),K=(x,y),

a'b=x+y,b-c=2x+2y>(x+y)(2,2)=(2x+2y)(l,l).

故答案為：(1,1),(2,2).

可看出，當(dāng)五兄共線時，便可滿足(3%)工=3@?，可取五=(1,1)1=(2,2).

本題考查了共線向量基本定理，向量坐標(biāo)的數(shù)量積運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】\

2>/~2

【解析】解：在AZBC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c.

sinA=cos(^-B)=sinB,a=3,c=2,

:.b=a=3,

「a2+b2-c29+9-4147

-'-cosC=^r-=-^3=X8=9

sinC=J1-(§2=殍，

???△4BC的面積S=^absinC=|x3x3x殍=2VT

故答案為：2A/-2-

由s譏4=cos^-B)=sinB,a=3,c=2,得b=a=3,由此能求出cosC,從而得到sinC,進(jìn)

而能求出AABC的面積.

本題考查三角形中角的余弦值和三角形面積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意正弦定

理、余弦定理、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的合理運用.

15?【答案】①②④

【解析】解:①當(dāng)G,1］時,f(x)=*=1-金單調(diào)遞增，<f(x)W/(l),即！<f(x)<

1

3,

當(dāng)xe[0,；]時,由函數(shù)f(%)=-基+；單調(diào)遞減，???/《)4f(*)4f(0),BPO</(%)<i

ZZ4Z4

???函數(shù)f(x)的值域為［0幣.因此①正確.

②9(%)=-acos^x—2a+2,xG［0,1］>,,?因此cos寫在［0,1］上單調(diào)遞減，

又a>0,；.g(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，因此正確.

③由②可知：g(0)<g(x)<g(l),二—3a+2<g(_x)<—+2.

若任意a>0,方程f(x)=g(x)在［0,1］內(nèi)恒有解，

則必須滿足/'(x)的值域［0由￡(g(x)lx6［0,1］).

-3a+2<0,—cz+2>解得。=：,因此③)不正確；

④存在與，x2e［0,l］,使得—g%)成立，則秒*咤償丁以

由③可知：gCOmax=g(l)=-|a+2，g(x)min=g(0)=-3a+2,

-3a+2<i,-|a+2>0,解得群a.，

???實數(shù)a的取值范圍是，<a<吉正確.

綜上可知：只有①②④正確.

故答案為：①②④.

①當(dāng)工€41］時，利用/)=金=1一急單調(diào)遞增，可得筋)</Q)Sf(l).

當(dāng)xe［o》時，函數(shù)/。)=一梟+3利用一次函數(shù)的單調(diào)性可得抬)s/(x)s/(o).

即可得到函數(shù)/(%)的值域.

②利用誘導(dǎo)公式可得g(x)=-acosfx-2a+2,利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出g(x)在［0刀上

單調(diào)性.

③由②可知：g(0)<g。)Wg(i)，若任意a>o,方程f(x)=g(x)在［0,1］內(nèi)恒有解，

則必須滿足f(x)的值域［0百￡{5(x)1%e［0,1］}.解出判定即可.

④存在與，％250,1］，使得/%)=9(%2)成立，則［喳產(chǎn)仁，僅皿解出即可.

聞犯

max^fWmin

本題綜合考查了分段函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考

查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題.

16.【答案】解：（I）證明：由已知411AB=乙4通。

且平面441&CJL平面441&B,

所以NBAC=90。，即4clAB.

又因為AC1且4BnAAr=A,

所以ACL平面AA/i8.

由已知4G〃ac,所以4Gi平面力4Bi8.

因為4PU平面44/1B,

所以公614P.

（口）由（I）可知AC,AB,兩兩垂直.

分別以AC,AB,為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.

由已知AB=AC=AAr=2A1B1=2A1C1=2,

所以4(0,0,0),8(0,2,0),C(2,0,0),Bj(0,1,2),4式0,0,2).

因為M為線段BC的中點，P為線段幽的中點，所以“(1,1,0),P(0,1,l).

設(shè)平面4PM的一個法向量為j?=(x,y,z),

n-AM=x+y=0

則一一3，?。?2,得完=(2,—2,3),

n?AP=-y+z=0

平面ABM的法向量沆=(0,0,1),

由圖知二面角P-AM-B的大小為銳角，

,,一一、?\mn\33<T7

???Icosvm,n>\=]^=7==-

???二面角P-AM-B的余弦值為甯！

【解析】（I）證明AC14B.結(jié)合AC1441，證明AC1平面力&叢區(qū)推出4G_L平面斗&口述.即可證

明41cl14P.

（口）以4c,4B,為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面48M的一個法向量，平面4PM

的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角P-AM-B的余弦值.

本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置

關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬中檔題.

17.【答案】解：/(%)=2sina)xcos(p4-2cosa)xsin(p=2sin(a)x4-(p),

因為/⑶的最小正周期為兀，所以兀=2，解得3=2,

所以/(%)=2sin(2x+<p),

選擇①：(I)因為函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=亨對稱,

所以24+8=]+Mr,keZ,則中=而一看,keZ,

又191Vp所以W=

所以/'(x)=2sin(2x-1).

(口)因為X6生自，所以2%_旨碎用],

當(dāng)2#一3=1即3飄,/(x)取得最大值2；

當(dāng)2#_*巳,即x建時，/(x)取得最小值1.

選擇②：(I)因為函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點P償,0)對稱，

所以2；+@=/OT,k&Z,則租=上兀-3，kEZ,

Oo

又l<pl<p所以0=

所以/(X)=2sin(2x-^).

(II)因為芻，所以2x-]e[0,爭，

當(dāng)2x//即x='時,/(x)取得最大值2；

當(dāng)2x*=0,即％建時，/㈤取得最小值0.

選擇③：(I)因為函數(shù)y=/(%)的圖象經(jīng)過點Qg,-2),

所以2sin(2,+(p)=—2,即與+W=手+2kli)k6Z,

所以8=21兀+3，k&Z,

又|刎<々，所以3屋，

所以/(x)=2sin(2x+^).

(口)因為口6有號,所以"+旨臣篇，

當(dāng)2x+a=》即刀=泄，/(x)取得最大值2；

當(dāng)2%+5=*即％號時，/(x)取得最小值1.

【解析】結(jié)合輔助角公式與正弦函數(shù)的周期性，求得3=2,

選擇①：(I)根據(jù)正弦函數(shù)的軸對稱性，求得0的值，即可；

(H)由得再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得解；

選擇②：(I)根據(jù)正弦函數(shù)的中心對稱性，求得W的值，即可；

(II)由無得2x冶e［0,等，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得解；

選擇③：(1)將點＜2a,-2)代入/0)的解析式中，求得0的值，即可；

(n)由xe冷芻，得"+髀/部再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得解.

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握輔助角公式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，

考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(I)由頻率分布直方圖知(0.005+0.010+a+0.030+0.035)x10=1,解得a=

0.020,

所以該次臨床試驗志愿者的平均年齡為(0.005x35+0.035x45+0.030x55+0.020x65+

0.010x75)x10=54.5；

(口)年齡在［50,60)的人數(shù)為0.030x10x100=30,年齡在［70,80］的人數(shù)為0.010x10x100=

10,

根據(jù)分層抽樣，可知年齡在［50,60)的抽取6人、年齡在［70,80］的抽取2人，

所以X的可能取值為0,1,2,

23=0)=等=得〃(*=1)=警=5「”=2)=等=&，

所以X的分布列為

X012

P515—3

142828

所以E(X)=0x得+1X1|+2X9='；

(DI)由題可知,年齡在［30,50)內(nèi)的頻率為(0.005+0.035)x10=0.4,

設(shè)年齡在［30,50)的人數(shù)為y,所以y?B(20,0.4),

k20k

Pk=P(Y=k)=C%?0.4-(1-0.4)-(fc=0,1,2,-,20),

沿上匕_第0。小(1-0.4產(chǎn)從_2(21-k)_

以亡一亡一南瓦產(chǎn)二二嚴(yán)一一~12…,20),

由t>1得％<8.4,此時&_1<Pk；

由t<l得k>8.4,此時&_1>2上.

所以當(dāng)k=8時，Pk最大.

【解析】(I)由頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為1，求出a的值，再將所有矩形底邊中點值

乘以矩形面積，再將所得的數(shù)相加即可得出該次臨床試驗志愿者的平均年齡；

(U)先根據(jù)分層抽樣得知，所抽取的8人中，年齡在［50,60)的抽取6人、年齡在［70,80］的抽取2人，

可得出隨機變量X的可能取值為0、1、2,并利用古典概型的概率公式計算出隨機變量X分別取0、

1、2時的概率，列出隨機變量X的分布列，并利用數(shù)學(xué)期望公式計算出隨機變量X的數(shù)學(xué)期望；

(W)設(shè)年齡在［30,50)的人數(shù)為Y,可知丫?8(20,0.4),利用獨立重復(fù)試驗的概率公式得出七=

P(Y=k)=C%-0.4k-(1-0.4)2。-氣k=0,i,2,…,20),分析出數(shù)列｛PQ(0<fc<20,kGN)的單調(diào)

性，可求出外的最大值及對應(yīng)的k的值.

本題考查了概率與統(tǒng)計的綜合，考查了離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題.

19.【答案】解：(I)因為橢圓C的短軸長為2,橢圓C的左頂點到Fi的距離為C-1,

b=1,i即b2=a2-c2=1

所以

a—c=v2-1,a—c=y/~2—1'

也即卜+c=*=°+l,解得仁「

a-c=\1~2-1(ft=1

所以橢圓C的方程為：y+y2=1；

(II)當(dāng)直線［的斜率存在時，設(shè)直線L的方程為：y=kx+m,

笆*期2=1、一

由2y,消兀整理得，(2/c2+l)x2+4kmx+2(m2—1)=0,

y=kx+m

22222

所以4=16/cm—4(2fc+1)?2(m-1)=8(21—m+1)>0,

設(shè)/(%,%),8(%2，先)，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，

"】+"2=^^收1不=?黑廂=(修/1一》，麗=。2/2一》，

xx2

所以拓^.MF=xrx2+(yi-])(丫2-J=i2+(kxi+m-^)(fcx2+m=(fc4-+

k(m-+x)+(m-J)2=(fc2+1)x攀二，+k(m-；)x+(m-=

2

■?降2+(3皿2一如一強

2k2+i'

又國?麗為定值，

157131

可得二E=3o7712m~16.

2~1

整理得67n2—m—2=0,

解得TH=-g或巾=I，故直線［的方程為y=kx-g或y=fcx+I，

所以直線l過定點(0,-3或(0,勺，此時忌-MB=-^；

當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線的方程為x=n,

不妨設(shè)4(n,J1-y),B(n,-J1-y)，

.??兩.麗="+2—(一4)=一普+4，

loZ16L

又為晨而為定值，

所以n=0,

所以直線I的方程為x=0,

此時直線，過定點(0,-今或(0,|),=符合題意；

綜上所述，若為入而為定值，則直線，過定點(0,-》或(0,|),定值為-得.

【解析】(I)根據(jù)已知條件和橢圓的幾何性質(zhì)列出關(guān)于a,b,c的方程組，求解a,b,c可得橢圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)分斜率存在與不存在兩種情況，當(dāng)直線的斜率存在時?，設(shè)出直線的方程為y=kx+m,并與

橢圓的方程聯(lián)立，可得韋達(dá)定理，根據(jù)旃?麗為定值，列出方程解得m的值，代回直線的方程可

得直線所過的定點；當(dāng)直線的斜率不存在時.，設(shè)直線的方程為x=n,表示出4B的坐標(biāo)，由拓？.MB

為定值可得n=0,從而可得直線的方程，進(jìn)而可得直線過的定點.

本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系以及橢圓中的定點問題，屬于中檔題.

20.【答案】解：(I)由/(乃=哈則/'(%)=xcosx-sinx

令九(％)=xcosx—sinx,九'(％)=cosx—xsinx—cosx=—xsinx,

當(dāng)％6(一加,0)時，九'(%)<0,九(%)單調(diào)遞減,

當(dāng)％6(0,7T)時，"(%)VO,/l(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)％E(一兀0)時，h(x)>h(0)=0,當(dāng)％W(0,e)時,h(x)<h(0)=0,

所以當(dāng)x￡(一再0)時,f(x)>0,當(dāng)％W(O,TT)時,/'(%)V0,

所以f(%)在(-兀,0)上單調(diào)遞增，在(0,兀)上單調(diào)遞減.

(口)由題意得笠'"=mcosx-%,即/_mxcosx+msinx=0在區(qū)間(0,：)上有且只有一個實數(shù)

根，令F(x)=%2-mxcosx+msinx,則F(x)在(0年)上有且只有一個零點，

F'(%)=2x—mcosx+mxsinx+mcosx=2%+mxsinx—x(2+msinx')9

①當(dāng)0<mW2時,一2<msinx<2,所以F'(x)>0,F(x)在(0岑)上單調(diào)遞增,F(x)>F(0)=0,

所以尸(x)在(0年)上無零點；

②當(dāng)m>2時，令尸'(%)=0,所以sinx=-鼻€(-1,0),所以存在唯一打G(0,y),使尸'Q)=0,

當(dāng)x6(0,沏)時，F(xiàn)z(x)>0,尸(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(xo,岑)時，r(x)<0,FQ)單調(diào)遞減，因為

F(0)=0,F(y)=竽一m，當(dāng)/(當(dāng)>0時，即2<mW竽時，/⑶>0在(0,會上恒成立，F(xiàn)(x)

在(0號)上無零點，不符合題意；當(dāng)尸(3<0時，即瓶>竽時，F(xiàn)(x)在(0,當(dāng)上有且只有一個零

點，符合題意.

綜上所述，血的取值范圍是(苧,+8).

【解析】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系，考查分類討論

思想與運算求解能力，屬于困難題.

(1)對/(切求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解；

(口)由題意可得F(x)="-mxcosx+msinx在(0,當(dāng))上有且只有一個零點，對F(x)求導(dǎo)，再對m

分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求出尸(x)的單調(diào)性，從而可得F(x)有且只有一個零點時m的取值范圍.

21