2023屆北京首都師大附中中考數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2023年中考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的

1,春季是傳染病多發(fā)的季節(jié)，積極預(yù)防傳染病是學(xué)校高度重視的一項工作，為此，某校對學(xué)生宿舍采取噴灑藥物進(jìn)行

消毒.在對某宿舍進(jìn)行消毒的過程中，先經(jīng)過5min的集中藥物噴灑，再封閉宿舍lOmin,然后打開門窗進(jìn)行通風(fēng)，室

內(nèi)每立方米空氣中含藥量y(根g/根3)與藥物在空氣中的持續(xù)時間x(min)之間的函數(shù)關(guān)系，在打開門窗通風(fēng)前分別滿

足兩個一次函數(shù)，在通風(fēng)后又成反比例，如圖所示.下面四個選項中錯誤的是()

A.經(jīng)過5min集中噴灑藥物，室內(nèi)空氣中的含藥量最高達(dá)到10機(jī)g//??

B.室內(nèi)空氣中的含藥量不低于即咫/加3的持續(xù)時間達(dá)到了11min

C.當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量不低于5mg/m3且持續(xù)時間不低于35分鐘，才能有效殺滅某種傳染病毒.此次消毒完全有

效

D.當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量低于2根g/病時，對人體才是安全的，所以從室內(nèi)空氣中的含藥量達(dá)到2〃吆/〃?3開始，需

經(jīng)過59min后，學(xué)生才能進(jìn)入室內(nèi)

2.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線.丫=/+2彳+3繞著它與)，軸的交點旋轉(zhuǎn)180。，所得拋物線的解析式是().

A.y=-(x+1)2+2B.y=-(x-l)2+4

C.y=-(x-l)2+2D.y=-(x+l)2+4

3.如圖所示，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,對角線AC、BD相交于點O,過點O作OE垂直AC交AD于點E,

則DE的長是()

AED

---------------

3715

A.5B.—C.-D.—

244

4.如圖，AB是定長線段，圓心O是AB的中點，AE、BF為切線，E、F為切點，滿足AE=BF,在旗上取動點G,

國點G作切線交AE、BF的延長線于點D、C,當(dāng)點G運(yùn)動時，設(shè)AD=y,BC=x,貝!Iy與x所滿足的函數(shù)關(guān)系式為（）

A.正比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k=0,x>0）

B.一次函數(shù)丫=1?^4）（k,b為常數(shù)，kb邦，x>0）

C.反比例函數(shù)y=&（k為常數(shù)，片0,x>0）

x

D.二次函數(shù)y=ax?+bx+c（a,b,c為常數(shù)，a#）,x>0）

5.已知拋物線y=ax2+bx+c（a#）的對稱軸為直線x=2,與x軸的一個交點坐標(biāo)為（4,1）,其部分圖象如圖所示,

下列結(jié)論：

①拋物線過原點；②a-b+cVl；③當(dāng)x<l時，y隨x增大而增大；

④拋物線的頂點坐標(biāo)為（2,b）；⑤若ax?+bx+c=b,則b?-4ac=l.

A.①②③B.①④⑤C.①②④D.③④⑤

6.如圖，△ABC的內(nèi)切圓。O與AB,BC,CA分別相切于點D,E,F,且AD=2,BC=5,則△ABC的周長為（）

7.如圖是一個空心圓柱體，其俯視圖是（）

8.某班要從9名百米跑成績各不相同的同學(xué)中選4名參加4x100米接力賽，而這9名同學(xué)只知道自己的成績，要想讓

他們知道自己是否入選，老師只需公布他們成績的（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

9.如圖，在正五邊形ABCDE中，連接BE,則NABE的度數(shù)為（）

A.30°B.36°C.54°D.72°

10.據(jù)中國電子商務(wù)研窕中心（100EC.CN）發(fā)布《2017年度中國共享經(jīng)濟(jì)發(fā)展報告》顯示，截止2017年12月，共有

190家共享經(jīng)濟(jì)平臺獲得1159.56億元投資，數(shù)據(jù)1159.56億元用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

A.1159.56x1()8元B.11.5956x10'°%C.1.15956x10"%D.1.15956x1()8元

11.如圖，在正方形A3C。中，E為45的中點，G,F分別為A。、8c邊上的點，若AG=LBF=2,ZGEF=90°,

則GF的長為（）

A.2B.3C.4D.5

12.在R3ABC中，ZC=90°,AC=1,BC=3,則NA的正切值為（）

1

AaRrV10n3配

A.3B.—C?-------D.------

31010

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.已知平面直角坐標(biāo)系中的點A（2,-4）與點B關(guān)于原點中心對稱，則點B的坐標(biāo)為

14.比較大?。很诙?■1（填“V”或“〉”或

2

15.一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180。，則這個多邊形的邊數(shù)是.

16.計算：718-72=.

17.經(jīng)過兩次連續(xù)降價，某藥品銷售單價由原來的50元降到32元，設(shè)該藥品平均每次降價的百分率為x,根據(jù)題意

可列方程是.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-2,1）,B（1,0）,將線段AB繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BA，,

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）為給鄧小平誕辰110周年獻(xiàn)禮，廣安市政府對城市建設(shè)進(jìn)行了整改，如圖所示，已知斜坡長60血米,

坡角（即NBAC）為45。,BC1AC,現(xiàn)計劃在斜坡中點。處挖去部分斜坡,修建一個平行于水平線CA的休閑平臺DE

和一條新的斜坡BE（下面兩個小題結(jié)果都保留根號）.

若修建的斜坡BE的坡比為石：1,求休閑平臺DE的長是多少米？一座建筑物G"距離

A點33米遠(yuǎn)（即AG=33米），小亮在。點測得建筑物頂部，的仰角（即“DM）為30。.點3、C、A、G,“在同一

個平面內(nèi)，點C、A、G在同一條直線上，且HG上CG,問建筑物G4高為多少米？

20.（6分）為做好防汛工作，防汛指揮部決定對某水庫的水壩進(jìn)行加高加固，專家提供的方案是：水壩加高2米（即

CD=2米），背水坡DE的坡度i=l：1（即DB：EB=1：1）,如圖所示，已知AE=4米，ZEAC=130°,求水壩原來的

高度BC.（參考數(shù)據(jù)：sin50°?0.77,cos50°?0.64,tan50°-1.2）

21.（6分）在。。中，弦AB與弦CD相交于點G,OA_LCD于點E,過點B作。O的切線BF交CD的延長線于點

（I）如圖①，若NF=50。，求NBGF的大小:

（II）如圖②，連接BD,AC,若NF=36。，AC:〃BF,求NBDG的大小.

22.（8分）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，連接DE.若DE：AC=3：

,、AD

5,求---的值.

AB

23.（8分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)乂=&+耳左。0）與反比例函數(shù)〉2=:（加力0）的圖像交于點4（3,1）

和點5,且經(jīng)過點。（0,-2）.

求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；求當(dāng)X＞乂時自變量x的取值范圍?

24.（10分）如圖，△5AZ）是由ABEC在平面內(nèi)繞點〃旋轉(zhuǎn)60。而得，S.ABLBC,BE=CE,連接OE.求證:

△BDE出ABCE；試判斷四邊形A5EO的形狀，并說明理由.

D

25.(10分)已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點A(0,6),B(6,0),C(-2,0),點P是線段

AB上方拋物線上的一個動點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)當(dāng)點P運(yùn)動到什么位置時，APAB的面積有最大值？

(3)過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D,再過點P做PE〃x軸交拋物線于點E,連結(jié)DE,請問是否存在點P

使APDE為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

26.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系——中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點-＜，_?直線-與x

軸交于點二求二，二的值；過第二象限的點二.一二二，作平行于X軸的直線，交直線二=二二一二于

點C,交函數(shù)的圖象于點D.

①當(dāng)-__?時，判斷線段PD與PC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若之；二二，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出n的取值范圍.

27.(12分)尺規(guī)作圖：用直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡.

已知：如圖，線段a,h.

求作：△ABC,使AB=AC,且NBAC=,Na,高AD=h.

h

參考答案

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)

1、C

【解析】

利用圖中信息一一判斷即可.

【詳解】

解:A、正確.不符合題意.

B、由題意x=4時，y=8,...室內(nèi)空氣中的含藥量不低于8mg/m3的持續(xù)時間達(dá)到了Umin,正確，不符合題意；

C、y=5時，x=2.5或24,24-2.5=21.5V35,故本選項錯誤，符合題意；

D、正確.不符合題意，

故選C.

【點睛】

本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型.

2、B

【解析】

把拋物線y=x?+2x+3整理成頂點式形式并求出頂點坐標(biāo)，再求出與y軸的交點坐標(biāo)，然后求出所得拋物線的頂點，再

利用頂點式形式寫出解析式即可.

【詳解】

解：Vy=x2+2x+3=(x+1)2+2,

二原拋物線的頂點坐標(biāo)為(-1,2),

令x=0,則y=3,

...拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0,3）,

???拋物線繞與y軸的交點旋轉(zhuǎn)180°,

???所得拋物線的頂點坐標(biāo)為（1,4）,

二所得拋物線的解析式為：y=-x?+2x+3［或y=-（x-1）2+4|.

故選:B.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用頂點的變化確定函數(shù)解析式的變化可以使求解更簡便.

3、C

【解析】

先利用勾股定理求出AC的長，然后證明小AEO-AACD,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可.

【詳解】

VAB=6,BC=8,

AAC=10（勾股定理）；

1

..AO=—AC=5,

2

VEO±AC,

/.ZAOE=ZADC=90°,

ZEAO=ZCAD,

AAAEO^AACD,

.AEAO

??=9

ACAD

AE5

n即n一=-,

108

解得，AE=—,

4

257

.\DE=8------=-,

44

故選：C.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式是解

題的關(guān)鍵.

4、C

【解析】

延長AD,BC交于點Q,連接OE,OF,OD,OC,OQ,由AE與BF為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到AE與EO

垂直，BF與OF垂直，由AE=BF,OE=OF,利用HL得到直角三角形AOE與直角BOF全等，利用全等三角形的對

應(yīng)角相等得到NA=NB,利用等角對等邊可得出三角形QAB為等腰三角形，由O為底邊AB的中點，利用三線合一

得到QO垂直于AB,得到一對直角相等，再由NFQO與NOQB為公共角，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到

三角形FQO與三角形OQB相似，同理得到三角形EQO與三角形OAQ相似，由相似三角形的對應(yīng)角相等得到

ZQOE=ZQOF=ZA=ZB,再由切線長定理得到OD與OC分別為NEOG與NFOG的平分線，得到NDOC為NEOF

的一半，即NDOC=NA=NB,又NGCO=NFCO,得到三角形DOC與三角形OBC相似，同理三角形DOC與三角

形DAO相似，進(jìn)而確定出三角形OBC與三角形DAO相似，由相似得比例，將AD=x,BC=y代入，并將AO與OB

換為AB的一半，可得出x與y的乘積為定值，即y與x成反比例函數(shù)，即可得到正確的選項.

【詳解】

延長AD,BC交于點Q,連接OE,OF,OD,OC,OQ,

VAE,BF為圓O的切線，

AOEXAE,OF±FB,

.,.ZAEO=ZBFO=90°,

在RtAAEO和RtABFO中，

AE=BF

V{,

OE=OF

/.RtAAEOgRtABFO(HL),

.,.NA=NB,

...△QAB為等腰三角形，

又為AB的中點，即AO=BO,

...QOJLAB,

.?.ZQOB=ZQFO=90°,

又；NOQF=NBQO,

/.△QOF^AQBO,

:.NB=NQOF,

同理可以得到NA=NQOE,

:.NQOF=NQOE,

根據(jù)切線長定理得：OD平分NEOG,OC平分NGOF,

ZDOC=-ZEOF=ZA=ZB,

2

XVZGCO=ZFCO,

.,.△DOC^AOBC,

同理可以得到△DOCs/XDAO,

,?,△DAO^AOBC,

.ADAO

??=f

OBBC

：.AD?BC=AO?OB=-AB2,即xv」AB?為定值，

44

ik

設(shè)k=—AB,得到y(tǒng)=一,

4x

則y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式為反比例函數(shù)y=&（k為常數(shù)，k#0,x>0）.

x

故選C.

【點睛】

本題屬于圓的綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，切線長定理，直角三角形全等的判定與性質(zhì)，反比

例函數(shù)的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，做此題是注意靈活運(yùn)用所學(xué)知識.

5、B

【解析】

由拋物線的對稱軸結(jié)合拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)，可求出另一交點坐標(biāo)，結(jié)論①正確；當(dāng)x=-l時，y>L得到

a-b+c>l,結(jié)論②錯誤；根據(jù)拋物線的對稱性得到結(jié)論③錯誤；將x=2代入二次函數(shù)解析式中結(jié)合4a+b+c=l,即可

求出拋物線的頂點坐標(biāo)，結(jié)論④正確；根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)為（2,b）,判斷⑤.

【詳解】

解：①I?拋物線y=ax2+bx+c（a,l）的對稱軸為直線x=2,與x軸的一個交點坐標(biāo)為（4,1）,

...拋物線與x軸的另一交點坐標(biāo)為（1,1）,

.?.拋物線過原點，結(jié)論①正確；

②?.,當(dāng)x=-1時，y>L

Aa-b+c>l,結(jié)論②錯誤；

③當(dāng)xVl時，y隨x增大而減小，③錯誤；

④拋物線y=ax2+bx+c（a丹）的對稱軸為直線x=2,且拋物線過原點，

:.4a+b+c=l,

當(dāng)x=2時，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b,

拋物線的頂點坐標(biāo)為（2,b）,結(jié)論④正確；

⑤???拋物線的頂點坐標(biāo)為（2,b）,

ax2+bx+c=b時，b2-4ac=l,⑤正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有：①④⑤.

故選B.

【點睛】

本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y

軸的交點拋物線與x軸交點的個數(shù)確定.

6、B

【解析】

根據(jù)切線長定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】

1?△ABC的內(nèi)切圓。O與AB,BC,CA分別相切于點D,E,F,

.,.AF=AD=2,BD=BE,CE=CF,

VBE+CE=BC=5,

.,.BD+CF=BC=5,

.".△ABC的周長=2+2+5+5=14,

故選B.

【點睛】

本題考查了三角形的內(nèi)切圓以及切線長定理，熟練掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵.

7、D

【解析】

根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

【詳解】

該空心圓柱體的俯視圖是圓環(huán)，如圖所示：

故選D.

【點睛】

本題考查了三視圖，明確俯視圖是從物體上方看得到的圖形是解題的關(guān)鍵.

8、B

【解析】

總共有9名同學(xué)，只要確定每個人與成績的第五名的成績的多少即可判斷，然后根據(jù)中位數(shù)定義即可判斷.

【詳解】

要想知道自己是否入選，老師只需公布第五名的成績，

即中位數(shù).

故選B.

9、B

【解析】

在等腰三角形△ABE中，求出NA的度數(shù)即可解決問題.

【詳解】

解：在正五邊形ABCDE中，ZA=1x(5-2)x180=108°

又知△ABE是等腰三角形，

；.AB=AE,

.\ZABE=-(180°-108°)=36°.

2

故選B.

【點睛】

本題主要考查多邊形內(nèi)角與外角的知識點，解答本題的關(guān)鍵是求出正五邊形的內(nèi)角，此題基礎(chǔ)題，比較簡單.

10、C

【解析】

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中10a|＜lO,n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動

了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù).

【詳解】

1159.56億=115956000000,

所以1159.56億用科學(xué)記數(shù)法表示為1.15956X1011,

故選C.

【點睛】

本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中l(wèi)W|a|<10,n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正

確確定a的值以及n的值.

11、B

【解析】

???四邊形ABCD是正方形，

.*.ZA=ZB=90o,

.\NAGE+NAEG=90。，ZBFE+ZFEB=90°,

VZGEF=90°,

.,.ZGEA+ZFEB=90°,

，NAGE=NFEB,NAEG=NEFB,

.,.△AEG^ABFE,

.AEAG

?.,

BFBE

XVAE=BE,

/.AE2=AG?BF=2,

-,.AE=V2（舍負(fù)），

.*.GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=l+2+2+4=9,

AGF的長為3,

故選B.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，利用勾股定理即可得解，解題的關(guān)鍵是證明△AEGs^BFE.

12、A

【解析】

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可.

【詳解】?.?在R3ABC中,ZC=90°,AC=1,BC=3,

.?.NA的正切值為吐='=3,

AC1

故選A.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，能熟記銳角三角函數(shù)的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.

二、填空題：(本大題共6個小題，每小題4分，共24分.)

13、(-2,4)

【解析】

根據(jù)點P(x,y)關(guān)于原點對稱的點為(-x,-y)即可得解.

【詳解】

解：?.?點A(2,-4)與點B關(guān)于原點中心對稱，

???點B的坐標(biāo)為：(-2,4).

故答案為：(24).

【點睛】

此題主要考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

14、<

【解析】

J?-1

V—~-=0.62,0.62<1,

2

.布-1々［

2

故答案為V.

15、7

【解析】

根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式得：(n-2)xl8O°.得：

(36O°x3-180。)-180。+2=7

16、20

【解析】

試題解析：原式=30—a=2血.

故答案為2立.

17>50(1-x)2=1.

【解析】

由題意可得，

50(l-x)2=l,

故答案為50(l-x)2=l.

18、(2,3)

【解析】

作AC±x軸于C,作AC_Lx軸，垂足分別為C、C,證明△ABC^ABA^S可得OC，=OB+BC=1+1=2,AC=BC=3,

可得結(jié)果.

【詳解】

如圖，作AC_Lx軸于C,作ACx軸，垂足分別為C、C,

?.?點A、B的坐標(biāo)分別為(-2,1)、(1,0),

：.AC=2,BC=2+1=3,

VNABA，=90。，

...ABC+NA'BC'=90°,

■:ZBAC+ZABC=90°,

ZBAC=ZA,BC,,

VBA=BASZACB=ZBC,A,,

.,.△ABC^ABATS

...OC，=OB+BC=1+I=2,AC=BC=3,

.,.點A，的坐標(biāo)為(2,3).

故答案為(2,3).

【點睛】

此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，點的坐標(biāo)的確定.解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形.

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、(1)(30-10/)m(2)(30+21我米

【解析】

分析：(1)由三角函數(shù)的定義，即可求得AM與AF的長，又由坡度的定義，即可求得NF的長，繼而求得平臺MN

的長；(2)在RTABMK中，求得BK=MK=5()米，從而求得EM=84米；在RTAHEM中，求得HE=286，繼

而求得HG=28后+50米.

詳解：

（1）'：MF//BC,：.ZAMF=ZABC=45°,

?.?斜坡A3長100夜米，M是A5的中點，.?.AM=50夜（米）,

AF=MF=AM*cosZAMF=500x—=50（米），

在RT_ANF中，,??斜坡AN的坡比為百：1,=

NF1

5050G

NF

150-50百

:.MN=MF-NF=50-

33

（2）在RTABMK中，BM=50&,/.BK=MK=50（米）,

EM=BG+BK=34+50=84（米）

在RTAHEM中，NHME=30°,:.=tan30°=—,

EM3

/o

???HE=—x84=28V3,

3

；?HG=HE+EG=HE+MK=280+50（米）

150-50百

答：休閑平臺。E的長是米；建筑物G"高為（28右+50）米.

3

點睛：本題考查了坡度坡角的問題以及俯角仰角的問題.解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，將實際問題轉(zhuǎn)化為

解直角三角形的問題；掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想在題中的運(yùn)用.

20、水壩原來的高度為12米

【解析】

試題分析：設(shè)BC=x米，用x表示出AB的長，利用坡度的定義得到BD=BE,進(jìn)而列出x的方程，求出x的值即可.

試題解析：設(shè)BC=x米，

在RtAABC中，ZCAB=180°-ZEAC=50°,AB==二=,

tan50*12o

在RtAEBD中，

Vi=DB：EB=1：1,，BD=BE,ACD+BC=AE+AB,

即2+x=4+-,解得x=12,即BC=12,

6

答：水壩原來的高度為12米..

考點：解直角三角形的應(yīng)用，坡度.

21、(I)65°；(II)72°

【解析】

(I)如圖①，連接OB,先利用切線的性質(zhì)得NOBF=90。，而OAJ_CD,所以NOED=90。，利用四邊形內(nèi)角和可計算

出NAOB=130。，然后根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出N1=NA=25。，從而得到N2=65。，最后利用三角形

內(nèi)角和定理計算NBGF的度數(shù)；

(II)如圖②，連接OB,BO的延長線交AC于H,利用切線的性質(zhì)得OB1.BF,再利用AC〃BF得到BHLAC,與

(I)方法可得到NAOB=144。，從而得到NOBA=NOAB=18。，接著計算出NOAH=54。，然后根據(jù)圓周角定理得到

ZBDG的度數(shù).

【詳解】

解：(D如圖①，連接OB,

,.,BF為。O的切線，

AOBXBF,

.INOBF=90。，

VOA1CD,

.?,ZOED=90°,

:.ZAOB=180°-ZF=180°-50°=130°,

,.JOA=OB,

/.Z1=ZA=-(180°-130°)=25°,

2

AZ2=90°-Zl=65°,

:.ZBGF=1800-Z2-ZF=180°-65°-50°=65°；

(ID如圖②，連接OB,BO的延長線交AC于H,

TBF為。O的切線，

.,.OB1BF,

VAC/7BF,

.\BH±AC,

與(I)方法可得到NAOB到80。-ZF=180°-36°=144°,

VOA=OB,

.,.ZOBA=ZOAB=-(180°-144°)=18°,

2

■:ZAOB=ZOHA+ZOAH,

.*.ZOAH=144°-90°=54°,

:.NBAC=NOAH+NOAB=540+18°=72°,

二ZBDG=ZBAC=72°.

圖①圖②

【點睛】

本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出

垂直關(guān)系.也考查了圓周角定理.

1

22、一

2

【解析】

根據(jù)翻折的性質(zhì)可得NBAC=NEAC,再根據(jù)矩形的對邊平行可得AB〃CD,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得

ZDCA=ZBAC,從而得到NEAC=NDCA,設(shè)AE與CD相交于F,根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得AF=CF,再求出DF=EF,

從而得到△ACF和AEDF相似，根據(jù)相似三角形得出對應(yīng)邊成比，設(shè)DF=3x,FC=5x,在R3ADF中，利用勾股定

理列式求出AD,再根據(jù)矩形的對邊相等求出AB,然后代入進(jìn)行計算即可得解.

【詳解】

解：???矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處,

.*.CE=BC,ZBAC=ZCAE,

'矩形對邊AD=BC,

；.AD=CE,

設(shè)AE、CD相交于點F,

在小ADF和ACEF中,

NADF=NCEF=90。

<ZAFD=ZCFE,

AD=CE

/.△ADF^ACEF(AAS),

，EF=DF,

TAB#CD,

.,.ZBAC=ZACF,

又TNBAC=NCAE,

.\NACF=NCAE,

.?.AF=CF,

AAC#DE,

.,.△ACF^ADEF,

.EFDE3

*'CF-^C-5(

設(shè)EF=3k,CF=5k,

由勾股定理得CE=J(5左y一(3后『=4k,

/.AD=BC=CE=4k,

又；CD=DF+CF=3k+5k=8k,

AAB=CD=8k,

AAD：AB=(4k)：(8k)=-.

【點睛】

本題考查了翻折變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，綜合題難度較大，求

出4ACF和△DEF相似是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點.

3

23、(1)y=-,y=x-2；(2)一IvxvO或元＞3.

x

【解析】

(1)把點A坐標(biāo)代入y=—(m豐0)可求出m的值即可得反比例函數(shù)解析式；把點A、點C代入％=kx+b(kH0)

X

可求出k、b的值，即可得一次函數(shù)解析式；(2)聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式可求出點B的坐標(biāo)，根據(jù)圖象，

求出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方時，x的取值范圍即可.

【詳解】

(1)把A(3,l)代入y=H(mK0)得m=3.

X

3

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=1

x

1—3k+b

把A(3,l)和B(0「2)代入y=kx+b得;,

解得。k-1c

b=-2

...一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x-2.

-_2

(2)由，=不得B(-L-3)

y^x-2

.,.當(dāng)-1<x<0或x>3時，Y]>y2.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，解決問題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.求反比例函數(shù)與一

次函數(shù)的交點坐標(biāo)時，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解，則兩者有交點，若方程組無解，則兩者

無交點.

24、證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DB=CB,ZABD=ZEBC,NABE=60。，然后根據(jù)垂直可得出NDBE=NCBE=30。，繼而可

根據(jù)SAS證明△BDE^ABCE；

(2)根據(jù)(1)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，△BDE@Z\BCEgABDA,繼而得出四條棱相等，證得四邊形ABED為菱形.

【詳解】

(1)證明：??,△BAD是由ABEC在平面內(nèi)繞點B旋轉(zhuǎn)60。而得，

.,.DB=CB,ZABD=ZEBC,NABE=60。，

VAB1EC,

.,.ZABC=90°,

.?.ZDBE=ZCBE=30°,

在4BDE^flABCE中，

DB=CB

VZDBE=ZCBE,

BE=BE

/.△BDE^ABCE；

(2)四邊形ABED為菱形；

由(1)得ABDEg△BCE,

VABAD是由△BEC旋轉(zhuǎn)而得，

/.△BAD^ABEC,

.\BA=BE,AD=EC=ED,

又：BE=CE,

/.BA=BE=ED=AD

???四邊形ABED為菱形.

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定.

25、(1)拋物線解析式為丫=-；x?+2x+6；(2)當(dāng)t=3時，△PAB的面積有最大值；(3)點P(4,6).

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得；

(2)作PMLOB與點M,交AB于點N,作AG_LPM,先求出直線AB解析式為y=-x+6,設(shè)P(t,-1t2+2t+6),

則N(t,-t+6),由SAPAB=SAPAN+SAPBN=LpN?AG+LpN?BM=LpN?OB列出關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)

222

的性質(zhì)求解可得；

(3)由PH_LOB知DH〃AO,據(jù)此由OA=OB=6得NBDH=NBAO=45。，結(jié)合NDPE=90。知若△PDE為等腰直角三

角形，則NEDP=45。，從而得出點E與點A重合，求出y=6時x的值即可得出答案.

【詳解】

(1),??拋物線過點B(6,0)、C(-2,0),

???設(shè)拋物線解析式為y=a(x-6)(x+2),

將點A((),6)代入，得：-12a=6,

解得：a=-：,

2

所以拋物線解析式為y=-yy(x-6)(x+2)=-yX2+2X+6；

(2)如圖1,過點P作PM_LOB與點M,交AB于點N,作AG_LPM于點G,

圖1

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,

將點A(0,6)、B(6,0)代入，得:

b=6

6k+b=Q'

k=—1

解得：